✶

❚r❛♥❣
▼Ö❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✶ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Ci) ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✱ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶ ▼æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺


✷

❈⑩❈ ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆
m

A⊆M
A ≤e M

✿ A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M
✿ A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝èt ②➳✉ ❝õ❛ M

Hom(N, M )
⊕


A →M





ữủ t t t trữớ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ t P ổ ũ
t tọ ỏ t ỡ s s t ữớ ữợ
t t sốt q tr ồ t ự
ụ t ỷ ớ ỡ t t qỵ
ổ ỏ t ồ rữớ ồ
trữớ ồ ỗ ợ
số ỵ tt số t ồ t ủ ở
ú ù t t t õ ồ tỹ ữủ

ũ õ ố s ổ t tr ọ ỳ
t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ ừ
t ổ ồ ữủ t ỡ
tr trồ ỡ

t




✹

▼Ð ✣❺❯
❈ò♥❣ ✈î✐ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛

1 tt ổ t tr R Rổ tr
r ữỡ ú tổ tr ỵ
ũ ự t q t t ừ ổ ở

Ci ừ ổ
Ci ừ ổ

M Rổ t t s ố ợ M
C1 ợ ộ ổ A ừ M tỗ t ởt tỷ trỹ
t X ừ M A ốt tr X
(1 C1) ợ ộ ổ U ừ M U tỗ t ởt
tỷ trỹ t X ừ M U ốt tr X
(C2) ởt ổ A ừ M ợ tỷ trỹ
t ừ M t A tỷ trỹ t ừ M
(C3) M1 M2 ỳ tỷ trỹ t ừ M s
M1 M2 = 0 t M1 M2 ụ tỷ trỹ t ừ M



ổ M ữủ ồ t ổ CS ổ M tọ
(C1)
ổ M ữủ ồ t ổ ố ợ ổ M õ
(1 C1 )
ổ M ữủ ồ tử õ tọ (C1) (C2)
ổ M ữủ ồ tỹ tử M tọ (C1) (C3)
M Rổ ởt ổ N ữủ ồ M ở ồ





(C3) t
M1 M M = M1 M
t
m

: M1 M M1
x1 + x2 x1

s ự

M1 M2 = M1 M2

t


✼

▲➜②

x1 + x2 ∈ M1 ⊕ M2 ⇒ x2 ∈ M2
⇒ x2 ∈ M
⇒ x2 = x1 + x∗1
⇒ π(x2 ) = π(x1 + x∗1 ) = x∗1
⇒ x∗1 ∈ πM2
⇒ x1 + x2 = (x1 + x1 ) + x1 ∗
⇒ x1 + x2 ∈ M1 ⊕ πM2 .

▼➦t ❦❤→❝✱ ❧➜② y1 + πy2 ∈ M1 + πM2, (y2 ∈ M2)✳ ❱➻ y2 ∈ M2 ♥➯♥ y2 ∈ M ✳
❉♦ ✤â✱ y2 = y1 + y1∗✱ s✉② r❛ y1∗ = y2 − y1 ✈➔ π(y2) = y1∗✳
❚❛ ❝â

ừ A M X t X = M

ổ M tọ (C1) ồ

ổ õ tr M tỷ trỹ t
ự
sỷ ổ M tọ (C1) t ự
ồ ổ õ tr M tỷ trỹ t t
ồ A ổ õ ừ M M tọ (C1)
tỗ t B ổ ừ M s




B M, A B.

A õ A = B ứ õ s r A
M
ừ sỷ ồ ổ õ tr M tỷ trỹ
t t ự M tọ (C1)
õ ợ ồ ổ B ổ ừ M ổ tỗ t õ
B ừ B õ B ổ tố õ B õ tr M t
tt ồ ổ õ tỷ trỹ t B tỷ
trỹ t ừ M M tọ (C1)
ổ ở tọ (C1)
ổ tỹ ở ổ tử
ự sỷ M ổ tỹ ở t ự M
ổ tử t ự M tọ (C1) (C2)
t t ự M tọ (C1) t
m

M tọ (C2)

ổ ở ổ tỹ ở tử
M N R ổ

ổ M ữủ ồ N ở ợ ồ ổ X ừ N ồ
ỗ f : X M rở ữủ t ỗ g : N M
tự ỗ s
g i = f tr õ i ú ỗ
ổ M ữủ ồ tỹ ở M M ở
ổ M ữủ ồ ổ ở M N ở ợ ồ ổ
N
ổ M N ữủ ồ ở M N ở




M ở
ở ừ ổ M E(M ) ổ ở t s
M ốt tr E(M )
N

M Rổ tr õ

M ở M = E(M )
N e M t E(N ) = E(M )
M Q Q ổ ở t Q = E(M ) E
A E(M) ở t A ỳ t E(
A E(M )


t ồ
S = {(T, ) | X T N, : T M, |x = g}.

t (X, g) S r S = ỉ tự tỹ t S t q ữ s
(T1 , 1 ) (T2 , 2 )

T1 T2
2 |T1 = 1

ự S tọ ờ r
t s tự tỹ t t ừ S s
(T1 , 1 ) (T2 , 2 ) ... (Tn , n ) ...(1).

t T =
i=1 r T N
: T M ợ x T r k : x Tk
(x) = k (x) tr ữủ ỗ
õ (T, ) tr ừ ờ r S õ tỷ tố
(B, ) S ự B = N g =
t B N s r a N \B t H = B + Ra r
B H a B
ỗ h : H M h(b + ra) = (b) + rm tr
õ m ữủ ữ s
ồ I = {r R | ra B} t tr ữủ I tr ừ
R ỗ g : I M g(r) = (ra), r I ữ
B H t ừ h h rở ừ
t ợ t tố ừ (B, )
B = N g = r g rở ừ g

ổ M ở ợ ồ tr I


✶✳✷✳✼✳ ❇ê ✤➲✳ ❈❤♦ M1 ✈➔ M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✈➔ M

= M1 ⊕ M2 ✳

❚❤➳
t❤➻✱ M2 ❧➔ M1✲♥ë✐ ①↕ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ❝õ❛ M ♠➔
N ∩ M2 = 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ K ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ M = K ⊕ M2 ✈➔
N ≤ K✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✭⇒✮ ●✐↔ sû M2 ❧➔ M1 ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ♠➔
N ∩ M2 = 0✳ ●å✐ πi : M −→ Mi , (i = 1, 2) ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳




t = 1|N , = 2|N N M2 = 0 ỡ M2
M1 ở tỗ t ỗ : M1 M2 s =
K = {m1 + (m1 ) | m1 M1 }

ợ ồ n N t n = m1 + m2 õ (n) = (n) (m1) = m2
ứ t s r n = m1 + (m1) K õ N K õ m1 M1
m2 M2 s m1 + (m1) = m2 t m1 = m2 (m1) M2
m1 = 0 m2 = 0 ữ K M2 = 0
t ợ ồ m M t
m = m1 + m2 = m1 + (m1 ) + m2 (m1 ) K M2 .

M = K M2
sỷ ồ ổ N ừ M N M2 = 0 tỗ t ổ
K ừ M s M = K M2 N K X ổ ừ

N = 0 t ồ ổ 0 ừ M ốt tr


M t N M N M
õ M tọ ổ ộ ổ N ừ M
õ rở ốt tỷ trỹ t ừ M ự M tọ
ợ tỷ trỹ t M1, M2 ừ M M1 M2 = 0
t M1 M2 ụ ởt tỷ trỹ t ừ M
t M1 = 0 M2 = 0 t t tt M t
õ ồ ổ 0 ừ M ốt tr M tự




M1 M, M2 M,

õ M1 M2 = 0 tr ợ tt t ợ M1 M2 = 0
ổ t r ỗ tớ M1 = 0, M2 = 0 t ổ õ

M1 M 2 M
M ổ tỹ ở tử

ử ổ s ổ tỹ ở tử

ú
ổ ỡ
Z số ợ p số tố n N õ Z
ổ Z/Zp õ ổ tỹ ở tử
Q t số ỳ t QZ Zổ õ ộ ổ
0 ừ QZ ổ tỹ ở tử


✷✳✶✳ ▼æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕
✷✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ M, N ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✳ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ N ✲

❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ A ❝õ❛ N ✱ ✈î✐ ♠å✐ ✤ì♥ ❝➜✉ f : A −→ M
✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M ✳
M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ♥➳✉ M ❧➔ M ✲❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳
✷✳✶✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭✐✮ ▼ët ❞➣② ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ R✲♠æ✤✉♥
fn

fn+1

... −→ An−1 −→ An −→ An+1−→...

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤î♣ t↕✐ An ♥➳✉ Imfn = Kerfn+1✳ ❚❛ ♥â✐ ❞➣② ♥➔② ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣
♥➳✉ ♥â ❦❤î♣ t↕✐ An ✈î✐ ♠å✐ n✳
✭✐✐✮ ▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞↕♥❣
f

g

0 −→ M −→ N −→ K −→ 0

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ♥➳✉ f ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✱ g ❧➔ t♦➔♥ ❝➙✉ ✈➔ Imf = Kerg✳
f
✭✐✐✐✮ ▼ët t♦➔♥ ❝➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ M −→
N −→ 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛
♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M s❛♦ ❝❤♦ f g = 1N ✳
f
✭✐✈✮ ▼ët ✤ì♥ ❝➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ 0 −→ M −→

= B õ A B ổ ở
ự
sỷ f : M N ởt ỡ f 1 : f (M ) M
ừ f M N ở õ ởt ỗ f : N M
rở ừ f 1 t u = f ã f f (M ) r tr N
ứ M ổ N ở N õ ộ ỡ
M N r õ M ở õ M ổ ở
M N ở N M N ở N
sỷ X ởt ổ ừ A f : X M ởt ỡ
õ X ụ ởt ổ ừ N N ở ừ M f
rở ữủ t ỗ f : N M f |A ừ f ợ A
ởt ỗ A M ụ ởt rở ừ f




õ M ổ A ở
sỷ M ổ N ở A tỷ trỹ t ừ M
tự M = A B ợ B M ự A ổ ở
X A f : X A ởt ỡ õ iAf : X M
ụ ởt ỡ tr õ iA : A M ú M
ở iAf rở ữủ t ỗ : M M t = |A
: M = A B A g = : A A t õ
giX = iX = iA f = f,

tr õ iX : X A ú g rở ừ f t
A ổ ở
sỷ M ổ N ở : E(N ) E(M ) ởt
ỡ
X = {n N |(n) M }

g : A M1 M2 ợ g(a) = (f (a), a) ợ ồ a A õ g
ởt ỡ
ứ t t õ M1 M2 M2 ở õ g rở
ữủ t ỗ g : M2 M1 M2 ồ 1 : M1 M2 M1
tỹ ừ M1 M2 M1 t 1g : M2 M1 ởt
ỗ rở ừ f õ M1 M2ở
ự tữỡ tỹ t ụ õ ữủ M2 M1ở

q

i Mi

ổ ở t Mj Mk

ở ợ ồ j, k
ự s r tứ ỵ

q ợ ồ số tỹ n 2 M n ở

M tỹ ở
ự
M n ổ ở t t q M M ở
õ M ổ tỹ ở
ữủ M ổ tỹ ở t M n ổ tỹ ở
tr trữớ ủ t M n ổ ở




r trữớ ủ t ồ MR = RR t q õ r


t ởt ổ ở ổ sỷ M

ởt ổ ừ ổ ữ s
õ N1
= N2 tỹ ỗ ừ Ni ởt tứ Z/(2) ỹ
tỗ t ổ ữủ t ử ừ tt ữủ
tr tr ờ




M ổ ở ró r M ổ tọ
(C1)

q ởt ổ ở tử

ự ứ ỵ t s r ự
ợ r ởt P D ởt s ộ Dổ
ở

t ởt ổ tử ổ t tt ổ

ở ữ ử tr r sỷ D ởt P õ
ổ tự ởt ử tr s tỗ
t ởt D ữ ớ sỷ E(D) ở ừ D E(D)/D
ổ ỷ ỡ E(D) ởt ổ ợ t M ữ D õ
M Dổ tử ó r M ổ
ổ ở õ M õ t ổ ở
õ ú t õ t s

ỡ õ fi õ t rở t ỗ fi : M M fi|E
ởt ỡ fi(E) ợ Ej f i(Ei) = 0 ỡ ỳ M/Ej ổ
s ứ õ s r fi(Ei) Ej õ t õ f i|E : Ei Ej
rở ừ fi õ Ej Eiở ợ ồ i, jinI r
Pr ổ E = iI Ei tỹ ở ợ ú ỵ r
t ổ tt t R ổ õ số ỳ
ợ ộ E ỹ sỷ õ ởt ổ X ừ M tỹ ở
ự E F I ởt t ỳ T = iF Ei ự
n = |F | ợ T tỷ trỹ t ừ X
ợ n = 1 ró r Ei õ tr M õ Ei ụ õ tr X
õ ởt tỷ trỹ t ừ X
sỷ ự ú ợ ồ t I ợ ỹ ữủ < n
i

i

1




õ
X = (Ei1 ... Ein1 ) Y

t ổ ú t õ
Ei1 ... Ein1 Ein = Ei1 ... Ein1 Z

ợ Z = Ei ... Ei Ei Y
ó r Z
= Ei

tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳ ❈ö
t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ s❛✉ ✤➙②✳
✶✳ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ♠ët sè
t➼♥❤ ❝❤➜t✳

✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ❞ü❛

✈➔♦ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤✉➞♥ ❜à tr÷î❝✳


✷✺

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖
❚✐➳♥❣ ❱✐➺t
❬✶❪ ❉÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❱✐➺t ✭✷✵✵✾✮✱ ▲þ t❤✉②➳t ♠♦❞✉❧❡✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ s÷
♣❤↕♠✳

❚✐➳♥❣ ❆♥❤
❬✷❪ P✳ ❈✳ ❇❤❛r❛❞✇❛❥✱ ❆✳ ❑✳ ❚✐✇❛r② ✭✶✾✽✷✮✱ Ps❡✉❞♦ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❇✉❧❧✳
▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ❙❝✐✳ ▼❛t❤✳ ❘♦✉♠❛♥✐❡✱ ❘✳ ❙✳✭◆✳❙✮✱ ✷✻✭✼✹✮✱ ✷✶✲✷✺✳
❬✸❪ ❉✐♥❤✱ ❍✳ ◗ ✭✷✵✵✺✮✱ ❆ ♥♦t❡ Ps❡✉❞♦✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✸✱ ✸✻✶✲✸✻✾✳
❬✹❪ ❙✳ ❑✱ ❏❛✐♥✱ ❙✳ ❙✐♥❣❤ ✭✶✾✼✺✮✱ ◗✉❛s✐✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ♣s❡❞♦✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✲
✉❧❡s✱ ❈❛♥❛❞✳ ▼❛t❤✳ ❇✉❧❧✱ ✶✽✱ ✸✺✾✲✸✻✻✳
❬✺❪ ❙✳ ❍✳ ▼♦❤❛♠❡❞✱ ❇✳ ❏✳ ▼✉❧❧❡r ✭✶✾✾✵✮✱ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❉✐s❝r❡t❡ ▼♦❞✉❧❡s✱
▲♦♥❞♦♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡ ❙❡r✱ ✶✹✼✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳