TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA tOÁN
====== o0o ======

HOÀNG THỊ CẨM NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
GVC. VƯƠNG THÔNG

Hà Nội – 2013

-1-


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ
bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện
thuận lợi. Em đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập
nghiêm túc để hoàn thành đề tài. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực
của bản thân mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ
em. Đặc biệt là thầy Vương Thông thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn
thành tốt đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI ............................................................. 3
1.1. Hàm số chứa tham số ......................................................................... 3
1.1.1. Tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số ............................................. 3
1.1.2. Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số. Tìm m để họ đồ thị
tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng. ................................ 13
1.1.3. Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m. Tìm quỹ tích
điểm M khi m thay đổi................................................................................ 18
1.2. Phương trình chứa tham số ............................................................... 26
1.2.1. Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f  x, m   0 có
nghiệm trên D ............................................................................................. 26
1.2.2. Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f  x, m   0 có
nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D .................................... 31
1.3. Bất phương trình chứa tham số ........................................................ 36
1.3.1. Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình .................. 36
1.3.2. Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình

f  x, m   0

-4-


có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D. .............................. 39
1.4. Hệ phương trình ( bất phương trình) chứa tham số....................... 42
1.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức toán học ................... 47

CHƯƠNG 2: XÉT MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ DẠNG

X  d  ..................................................................................................... 54


trong chương trình học. Tuy nhiên các dạng bài toán này chưa được phân
loại rõ ràng và hệ thống đầy đủ cũng chưa đưa ra được các phương pháp
giải một cách tường minh.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được
sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, em đã quyết định chọn đề tài
“Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số ” để trình bày trong
khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là phân dạng và đưa ra phương
pháp giải một cách chi tiết các bài toán chứa tham số

-6-


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp giải của dạng bài toán chứa
tham số
b) Phạm vi nghiêm cứu.

Phạm vi nghiên cứu là một số dạng bài tập và phương pháp giải các
bài toán chứa tham số
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài toán chứa
tham số
5. Phương pháp nghiên cứu



Có nhiều phương pháp giải cho bài toán này song ta thường sử
dụng phương pháp đa thức và phương pháp gán giá trị.
Phương pháp đa thức.

Dựa vào kết quả sau: một đa thức bậc n không có quá n nghiệm, do
đó đa thức bậc n, f ( x)  a0 x n  a1 x ( n1)  ...  an có nhiều hơn n nghiệm
khi và chỉ khi đa thức đồng nhất bằng đa thức không, tức là khi và chỉ
khi a0  a1    an  0 , từ đó ta có hệ phương trình ẩn x0 , y0 , giải hệ
phương trình này ta tìm được x0 , y0 .
-8-


- Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm của họ hàm số
y  f (m, x ), m  A . Khi đó, theo định nghĩa thì điểm M nằm trên mọi đồ
thị của họ hàm số đã cho tức là y0  f ( m, x0 )  m  A  hay

y0  f  m, x0   0  m  A 

(1)

 a0  x0 , y0  m k  a1  x0 , y0  m k 1    ak  x0 , y0   0 (m  A) (2) .

Theo tính chất của đa thức từ (2) ta suy ra:
 a0  x0 , y0   0

 a1  x0 , y0   0





Phương pháp gán giá trị.

Không phải khi nào đồ thị hàm số cũng có thể đưa về dạng đa thức,
chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này trong các trường hợp đó.
- Bước 1: Ta gán cho m giá trị thứ nhất, ta sẽ có được hàm số f1 ( x ) .
Gán cho m giá trị thứ hai, ta sẽ tìm được hàm số f 2 ( x ) ...
- Bước 2: Tìm giao điểm của các hàm số f1 ( x) , f 2 ( x) ...
- Bước 3: Ta chứng minh giao điểm đó là điểm cần tìm.
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho họ hàm số
y  x 3   m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  2m(2m  1) (*) m   là tham số.

Tìm tất cả những điểm cố định của họ đường cong này.
Giải :

Cách 1.
Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm. Khi đó,
y0  x03   m  1 x02   2m 2  3m  2  x0  2m(2m  1)

hay  4  2 x0  m 2   3 x0  x02  2  m   x03  x02  2 x0  y0   0 (m) .
Điều này tương đương với:

4  2 x0  0

2
3x0  x0  2  0
 3
2
 x0  x0  2 x0  y0  0.

Chọn m  0,1,  1 ta có:
Khi m  0 thì (*) trở thành: y  x3  x 2  2 x (1)
Khi m  1 thì (*) trở thành: y  x3  2 x 2  x  2 (2)
Khi m  1 thì (*) trở thành: y  x3  7 x  6 (3)
Gọi M ( x0 , y0 ) là giao điểm của (1) và (2). Vậy x0 là nghiệm của
phương trình:
x3  x 2  2 x  x3  2 x 2  x  2
 x2  x  2  0
- 11 -


 x  1

x  2

Vậy đồ thị của (1) và (2) giao nhau tại 2 điểm M 1 (1,0) và M 2 (2,0)
Gọi N ( x1 , y1 ) là giao điểm của (1) và (3). Vậy x1 là nghiệm của phương
trình:
x3  x 2  2 x  x3  7 x  6

 x2  5x  6  0
x  2

x  3

Vậy đồ thị của (1) và (3) giao nhau tại 2 điểm N1 (2,0)  M 1 và N 2 (3,12)
Ta sẽ chứng minh họ hàm số đi qua N1 (2,0) với mọi m.
Thật vậy: thay tọa độ điểm N1 (2,0) vào họ hàm số (*) ta được:

0  23  (m  1)22  (2m 2  3m  2)2  2m(2m  1)



2
Điều này tương đương với  x0  x0  0
x  y x  y  0
0 0
0
 0
Hệ này vô nghiệm. Vậy họ đồ thị của hàm số đã cho không có điểm cố
định.
Hàm số đã cho có thể viết dưới dạng

m2  1
y  mx  1 
x 1
Do đó tiệm cận xiên của họ đồ thị này là đường thẳng y  mx  1,khi

m  1 vì
 mx 2   m  1 x  m 2

m2  1
lim 
  mx  1   lim
0
x 
x  x  1
x
1




hay

     1,   m  1


m 1
  4   2,    2
Giải hệ phương trình này ta được   2,   1 . Vì 1  m  1  m  2 và

1  

m 1
 m  1 nên với   2,   1 họ đồ thị đã cho nhận
2

A(1, 1) và B  2, 2  làm điểm cố định
Cách 2 Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định của họ đồ thị. Khi đó:

y0 

mx0  
(m  1, m  2)
 x0  m  1

hay

 y0  x0  m   x0 y0   y0     0
Điều này tương đương với



họ đường cong này.
Đáp số: (0, 1);(3, 1) với m  0; m  6 .
Bài 2: Cho hàm số y  mx 2  2  m  2  x  3m  1 . Chứng minh rằng với

mọi m đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định
Đáp số: (1, 3) và (3,13) .
Bài 3: Tìm điều kiện của  ,     0  để đồ thị của hàm số

y

mx  
có một điểm cố định duy nhất
 x  m 1
Đáp số:  

1
.
4

Bài 4: Cho hàm số:

y

 m  1  x 2  3x   2(2m  1)
mx  m

Chứng minh rằng với mọi m khác không thì đồ thị của hàm số luôn có
một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một
điểm cố định.

y0

3m  1 x0  (m 2  m)


x0  m

vô nghiệm, hay phương trình :

m 2   y0  3 x0  1 m  x0  y0  1  0 vô nghiệm. Điều này tương đương

với:

   y0  3 x0  1  4 x0  y0  1  0
2

hay là ( y0  1) 2  10 x0  y0  1  9 x02  0
hay là ( y0  1) 2  9 x0  y0  1  x0  y0  1  9 x02  0
hay là  y0  1 y0  1  9 x0   x0  y0  1  9 x0   0
hay là  y0  1  9 x0  y0  1  x0   0
 y  x0  1
hoặc
Như vậy : hoặc  0
y
9
x
1


0

Vậy trên đường thẳng x  1 , đồ thị của hàm số không bao giờ đi
qua những điểm có tung độ: y  

13
.
3

c) Bài toán áp dụng

mx 2  x  m
Bài 1: Cho hàm số y 
xm
Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả những điểm mà tiệm cận xiên của đồ
thị của hàm số không thể đi qua khi m thay đổi

x2 
Đáp số: M  ( x, y ) : y 
.
x
4
1



2 x 2  (m  1) x  (2m  1) 2
Bài 2: Cho hàm số y 
x  (3m  1)

Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà đồ thị hàm số không thể đi qua
khi m thay đổi

số y  f  x, m  ; y  g ( x) tương đương với việc khảo sát sự có nghiệm
của phương trình f ( x, m)  g ( x) . Phương trình f ( x, m)  g ( x) có bao
nhiêu nghiệm thì F và G có bấy nhiêu giao điểm
- Bước 1: Ta thiết lập phương trình f ( x, m)  g ( x) (*)
- Bước 2: Từ phương trình trên và theo yêu cầu bài toán ta có
Nếu 2 đồ thị không cắt nhau thì phương trình (*) vô nghiệm
Nếu 2 đồ thị tiếp xúc với nhau thì hệ sau có nghiệm
 f  x, m   g ( x )

 f '  x, m   g '( x)
Nếu 2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình sau có
từng đó nghiệm: f ( x, m)  g ( x) .
- Bước 3: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số y  x 3  m  x  1  1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị

hàm số tiếp xúc với trục hoành.

- 18 -


Giải

Ta có :
y  x 3  m  x  1  1   x  1  x 2  x  1  m  x  1   x  1 ( x 2  x  1  m)

Cách 1 Điểm mà tại đó đồ thị tiếp xúc với trục hoành y  0 là điểm có
tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
 x  1  x 2  x  1  m   0 (1)
 2


3
4

 Hoặc phương trình x 2  x  1  m  0 có một nghiệm là x  1 , tức

là 1  1  1  m  0 hay là m  3
Vậy m  3; m 

3
thỏa mãn điều kiện đề bài
4
- 19 -


mx 2  x  m
VD2: Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng khi m thay đổi
xm
tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định
Giải

Viết hàm số dưới dạng:

y  mx  m2  1 

m3
xm

ta được tiệm cận xiên là y  mx  m 2  1, m  0


Vậy parabol cố định cần tìm là y 

1 2
x 1
2

Cách 2 Xác định a, b, c để parabol y  ax 2  bx  c luôn nhận các đường
thẳng y  mx0  m2  1 làm tiếp tuyến.
Gọi  x0 , y0  là tiếp điểm. khi đó

- 20 -


ax0 2  bx0  c0  mx0  m 2  1

2ax0  b  m
a  0

thỏa mãn với mọi m . Từ (ii) suy ra x0 

(i)
(ii )

mb
, thay vào (i) ta được
2a

1  4a  m 2  2bm  b 2  4ac  4a  0  m  .
Điều này tương đương với

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định. Xác định phương trình của hai đường thẳng đó.
Giải

Giả sử rằng m  0 đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng
y  ax  b . Thế thì, phương trình:

 3m  1 x   m2  m 
xm

 ax  b

phải có nghiệm kép m  0 , hay là phương trình:

ax 2   a  3 m   b  1  x  m2   b  1 m  0
Phải có nghiệm kép m  0 . Điều này tương đương với:
- 21 -


a  0
2

2
   a  3 m   b  1   4a  m   b  1 m   0
Với mọi m  0 hay là
a  0

2
2
2

b, 1  m  2  2 2

(m  1) x 2  m2
Bài 2: Cho hàm số y 
xm

- 22 -

5
3
.


a) Chứng minh rằng mọi tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số luôn tiếp
xúc với một parabol cố định. Xác định parabol đó.
b) Tìm tất cả những điểm mà tiệm cận xiên không thể đi qua dù m lấy
bất cứ giá trị nào.

1
1
1
Đáp số: a, Parabol y   x 2  x 
4
2
4

.

b, Những điểm nằm phía trong parabol .
Bài 3: Giả sử đồ thị của hàm số y  ax 2  bx  c, a  0 cắt trục hoành.

Đối với quỹ tích xác định, chúng ta nên chia thành hai trường hợp sau:
i) Nếu điểm cần tìm quỹ tích nằm trên đồ thị hàm số đã cho thì chỉ
cần tìm biểu thức của hoành độ điểm ấy:
x  F ( m) .
Từ đây biểu diễn m qua x: m  N ( x) rồi thay vào vị trí m trong biểu thức
hàm số đã cho sẽ được phương trình quỹ tích y  Q( x) .
ii) Nếu điểm cần tìm quỹ tích không nằm trên đồ thị của hàm số đã
cho thì bắt buộc phải biểu diễn cả tung độ và hoành độ của M ( x, y ) qua
m như (*) rồi từ đó khử m để dẫn tới phương trình quỹ tích y  Q( x) .
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho họ parabol y  x 2  mx  m . Hãy tìm quỹ tích đỉnh parabol khi

m thay đổi.
Giải:

Cách 1 Tọa độ đỉnh parabol là

m

x

(1)

2

2
 y  m  4m (2)

4
Từ (1) ta có : m  2 x


a) Trước hết ta tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
mx  2
m
x  x  m  1



Tiệm cận ngang: y  b  lim



Tiệm cận đứng: x  m  1

Giao điểm của 2 tiệm cận là điểm I (m  1, m) . Dễ dàng chứng minh
được I là tâm đối xứng của đồ thị. Cần tìm quỹ tích điểm I khi m thay
đổi. Ta có:
 x  m  1 (1)

(2)
y  m

Từ (1) ta có m  1  x thay vào (2) ta được y  1  x . Vậy quỹ tích của
tâm đối xứng khi m thay đổi là đường thẳng y  1  x .
b) Cách 1 Giả sử y  ax  b là đường thẳng không cắt đồ thị với m . Khi
đó phương trình:
mx  2
 ax  b(a  0)
x  m 1
vô nghiệm với mọi m. Biến đổi phương trình về dạng: