TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====

TRẦN THỊ QUÝ

PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO
MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Phạm Lƣơng Bằng

HÀ NỘI - 2015


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy giáo, cô
giáo trong tổ Đại số, đặc biệt là thầy giáo - thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng
đã tận tình hƣớng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu
đề tài này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình làm đề tài
nhƣng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu xót, em rất mong nhận
đƣợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa
luận của em đƣợc đầy đủ hơn và hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ....................................................................... 1
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................. 1
Chƣơng 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ ...................................................................... 2
1.1. Khái niệm bất phƣơng trình ........................................................... 2
1.2. Tập xác định của bất phƣơng trình ................................................ 2
1.3. Tập nghiệm của bất phƣơng trình .................................................. 2
1.4. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng ...................................................... 2
1.5. Phép biến đổi tƣơng đƣơng ........................................................... 2
1.6. Phân loại bất phƣơng trình ............................................................ 2
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH.............. 4
2.1. Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình về bất phƣơng trình hàm ....... 4
2.2. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản khi giải bất phƣơng trình ............ 7
2.3. Phƣơng pháp hàm liên tục ........................................................... 14
2.4. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange ...................................... 17
2.5. Phƣơng pháp phân khoảng tập xác định ...................................... 18
2.6. Sử dụng phƣơng pháp hình học ................................................... 21
2.7. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng ............................................ 22
2.8. Phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số ......................................... 30
2.9. Phƣơng pháp đồ thị...................................................................... 33
2.10. Phƣơng pháp điều kiện cần và đủ .............................................. 36
2.11. Phƣơng pháp tham biến ............................................................. 38
2.12. Phƣơng pháp hàm lồi ................................................................. 39

Trần Thị Quý

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

phƣơng pháp giải bất phƣơng trình và sáng tác ra một số đề toán mới về
bất phƣơng trình.
Chính vì những lí do trên cùng với sự góp ý, động viên và tận tình
giúp đỡ của các thầy cô, đặc biệt là thầy Phạm Lƣơng Bằng cùng với sự
say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận
với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo ra các đề toán mới về bất
phương trình”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải và sáng tác ra các đề toán về
bất phƣơng trình.
Từ đó giúp học sinh nhận dạng và lựa chọn phƣơng pháp giải phù
hợp.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tập về bất phƣơng trình.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, quan sát, điều tra, tổng kết kinh nghiệm.

Trần Thị Quý

1

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chƣơng 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1.1. Khái niệm bất phƣơng trình
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lƣợt Df và Dg.
Đặt D = Df  Dg. Bất phƣơng trình là kí hiệu của hàm mệnh đề:

Khóa luận tốt nghiệp
1. Các bất phƣơng trình đại số bậc k là các bất phƣơng trình trong đó
f(x) là đa thức bậc k
2. Các bất phƣơng trình vô tỷ là các bất phƣơng trình có chứa phép
khai căn
3. Các bất phƣơng trình mũ là các bất phƣơng trình có chứa hàm mũ
4. Các bất phƣơng trình logarit là các bất phƣơng trình có chứa hàm
logarit (chứa biến trong dấu logarit ).

Trần Thị Quý

3

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chƣơng 2.
CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình về bất phƣơng trình hàm
2.1.1. Phương pháp giải
Dựa vào kết quả: Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu ( giả sử tăng) trên
khoảng (a; b) và x; y (a; b) thì:
f(x) > f(y)  x > y
Ta có thể sáng tác và giải đƣợc nhiều bất phƣơng trình hay và khó,
thƣờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi. Để vận dụng đƣợc phƣơng
pháp này ta thƣờng biến đổi bất phƣơng trình đã cho thành bất phƣơng
trình hàm f((x)) > f((x)), trong đó f là hàm đơn điệu. Từ đây dẫn đến
một bất phƣơng trình đơn giản hơn (x) > (x). Để giải đƣợc các bài toán

Bước 3: Khi đó: (2)  u < v
2.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
4 |2x-1| (x2-x+1) > x3-6x2+15x-14

(1)

Lời giải:
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:

|2x-1| [(2x-1)2+3] > (x-2)3+3x-6
3
3
 |2x-1| +3 |2x-1| > (x-2) +3(x-2)

(2)

Xét hàm số f(x) = t3 +3t là hàm đồng biến
Khi đó: (2)  f(|2x-1|) > f(x-2)  |2x-1| > x-2
x>-1
 
x
(2)

t+2 + t , t [1;3]. Ta có:

f'(t) =

1
1
+
> 0, t [1;3].
2 t+2 2 t

Do đó hàm số đồng biến trên [1;3].

Trần Thị Quý

5

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó (2) đƣợc biến đổi nhƣ sau:
f(x-1) > f(3-x)  x-1>3-x  x>2
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là 2

 (x-1) (do x  1)

2

 x -4x+3

 0  x3

Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x  3.
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình:
 x2-x-12
 -x
log3 
 7-x 

x2-x-12 -7.

(1)

Lời giải:
Điều kiện:

2
x -x-12>0

7-x>0

x

 x2-x-12  (7-x)2  x 

61
13

x
2
2

7

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình

|x2-3x+1| -

2
 0
|x -3x+1|+1

(1)

2

Lời giải:
2
Đặt t = |x -3x+1|, điều kiện t  0

Khi đó (1)  t-

2
t2+t-2
2

Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là [0;1]  [2;3].
2.2.2. Phép khai căn
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất
phƣơng trình với một ẩn phụ
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất
phƣơng trình với một ẩn phụ nhƣng các hệ số vẫn còn chứa x
- Dùng 2 ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một
bất phƣơng trình 2 ẩn phụ và khéo léo biến đổi bất phƣơng trình thành
bất phƣơng trình tích
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một hệ
bất phƣơng trình với 2 ẩn phụ
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một hệ
bất phƣơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x
Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình
x+

Trần Thị Quý

2x
>3 5
x2-4

8

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:

2

x 0   2
x >25
4

2

|x|>5
 
|x|< 5

Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là (2; 5 )  (5;+  ).
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình
5 x +

5
2 x

< 2x +

1
+4
2x

Lời giải:
Điều kiện: x > 0
Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng:
5( x +


K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

t2 = ( x +

1
2 x

)2 = x +

1
1
+1  x +
= t2-1
4x
4x

Khi đó bất phƣơng trình có dạng:
5t < 2(t2-1) + 4  2t2-5t+2 > 0


t2





2



0< x2+ 2

2



Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là (0;

0
2
2v +2u  (u+v)
u+v  0

2
(u-v)  0



 u=v  0

x-2  0

 x=x-2
x  2
2
x -5x+4=0



 x=4

Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x=4.
2.2.3. Một số phép đặt ẩn phụ khác
- Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình mũ hoặc bất phƣơng trình
logarit về bất phƣơng trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phƣơng
trình bậc hai. Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình

2512x x  912x x  34.152x x

5
25( )2(2x x )  9  34.( )2x x
3
3
2

2

5
5
 25( )2(2x x )  34.( )2x x  9  0
3
3
2

5
5
Đặt t  ( ) 2x  x , 0


25
3
25


1  t  5
1  ( 5 ) 2x  x  5


3
3
3
2

2

2



2x-x  -2

2
0  2x-x  1



x  1- 3

t2

 3

-t2

- 18.3
t2

 3

- 18.

+ 3> 0

1
t2

+ 3> 0

(2)

3
t2

Đặt u= 3

,u>0

Khi đó:


t1  
t>1

>3

log3x1



x3

1
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: (0; )  (3;+  ).
3
Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình
log23x

3

1
x

log3

u 0  u2+3u-18>0  u>3
u>3

u

t2

t 1  t>1  log x>1


3

x3



0
x > 1 + 3 x-1 > 0

(2)

3

x-1 > -1  1+ 3 x-1 > 0 (luôn đúng)
x > 1+ 3 x-1  x > (1+ 3 x-1 )2

 x > 1+2 3 x-1 + 3 (x-1)2
 x-1-2 3 x-1 - 3 (x-1)2 > 0
Đặt t= 3 x-1 ,

(3)

t > -1 (do x>0)

Khi đó (3)  t3 - 2t - t2>0  t3 - t2 - 2t > 0  t(t+1)(t-2) > 0

-1< 3 x-12

-1

 ( 3 x+6 - 2) +( x-1 -1) = x2 - 4
x-2


3

+

(x+6)2+2 3 x+6+4

x=2
1

+

3
 (x+6)2+2 3 x+6+4

x-2
= (x-2)(x+2)
x-1+1

1
=x+2(2)
x-1+1

Với x  1, ta có: x+2  3, trong khi
1
3

x-1 - (x2-1) là hàm liên tục trên nửa

khoảng [1; +). Theo kết quả giải phƣơng trình (1) thì f chỉ đổi dấu
đúng một lần tại điểm x = 2. Ta có:
f(5) = 3 11 + 2 - 24 < 0.
Vậy f(x)  0  x  [1;2]
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình đã cho là [1;2].
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình:
5+4 9- 2x  2 13(13-x).
Lời giải:
Điều kiện: 0  x 

Trần Thị Quý

81
. Trƣớc hết ta giải phƣơng trình:
2

15

K37C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

5+4 9- 2x = 2 13(13-x)

(1)

x13(2)

1

( 9- 2x+2)(5+

13
(27-2x)(5)
2x) 4
=

1
1
 < 1; 27-2x  1 nên (5) vô nghiệm, còn (4)
( 9- 2x+2)(5+ 2x) 5

cho ta nghiệm x =

25
25
. Vậy (1)  x =
2
2

Vì hàm số f(x)=

 81
5+4 9- 2x - 2 13(13-x) liên tục trên 0; 2  và

f(x) = 0  x =




Khóa luận tốt nghiệp
Đặt x+1 = 1 - t, điều kiện t  1. Kết hợp với (*), ta đƣợc:
 x+1=1-t
2
x=t -2t


 -x=t3+3t2+3t-6  t3 + 4t2 + t - 6 = 0  t  {1, -2,-3}

 3 7-x=1+t

Với t = 1 ta có x = -1, với t = -2 ta có x = 8, với t = -3 ta có x = 15.
Thử lại thấy x = -1, x = 8, x = 15 thỏa mãn (*). Do đó (*) có ba nghiệm
x = -1, x = 8, x = 15
Vì f(x) =

x+1 +

3

7-x - 2 là hàm số liên tục trên nửa khoảng [-1; +)

nên f chỉ đổi dấu khi đi qua các điểm x = -1, x = 8, x = 15. Ta có
f(7) = 8 – 2 > 0, f(9) = 10 + 3 -2 -2< 0, f(34) = 35 + 3 -27 - 2 > 0.
Do đó tập nghiệm của bất phƣơng trình (-1;8)  (15; +).
2.4. Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange
Đây là một phƣơng pháp đặc biệt, mới xuất hiện trong thời gian gần
đây. Cơ sở c ủa phƣơng pháp này là định lý sau:
Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có

 x2 - 4  0
 x  (-; -2]  [2; + )
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: x  (- ;-2]  [2; + ).
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình:
2x - 22x+1  (x+1) 3x
Lời giải:
Tập xác định R. Xét hàm số f(x) = 2x xác định và lien tục trên R, có
f'(x) = 2x ln2, x R. Theo định lý Lagrange, có c nằm giữa x và 2x+1
sao cho:
2x - 22x+1 = f(x) - f(2x+1)= f'(c) [x - (2x+1)] = - (x+1)2c ln2
Bởi vậy bất phƣơng trình tƣơng đƣơng:
- (x+1) 2c ln2  (x+1) 3x  (x+1)(3x + 2c ln2)  0  x  -1
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm là x  -1.
2.5. Phƣơng pháp phân khoảng tập xác định
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:

(2+

2 
x2-7x+12) x-1 



(

14x-2x2-24+2) logx

2
x


1
2
2
2 3-1  2 log3  -  log3   3


3
3
3
3
-

1

3
2
 log3  log33
3

 23  32 (Sai)
- Với x = 4 bất phƣơng trình trở thành:
2 
2
1
1
-1
1
24-1  2log4  -  log4   -log4 2 = - ( đúng)




9
7

9
4
Kết hợp với điều kiện (*) ta đƣợc:
5 3
5

1
3



27
1
 (loại)
125 5

Vậy bất phƣơng trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình:
x2-4

3

+ (x2-4) 3x-2  1

(1)

Lời giải:
Điều kiện: D = R
x2-4
2

- Với |x| > 2 thì x - 4> 0 và x - 2 > 0. Do đó 3