iii

Giải và khai thác một số dạng toán về
các phép biến đổi ma trận vuông

Trần Văn Quân


iii

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa………………………………………………………………………………i
Lời cảm ơn ………………………………………………………………………………..ii
Mục lục …………………………………………………………………………………...iii
Danh mục các ký hiệu…………………………………………………………………….iv
MỞ ĐẦU...............................................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận...................................................................................1
2. Mục tiêu khóa luận............................................................................................................2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn..........................................................................................3
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ..........................................................................................4
1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán..................................................................................................................4
1.1.2. Khai thác đề toán...........................................................................................................................4
1.1.3. Tìm tòi lời giải................................................................................................................................5
1.1.4. Trình bày lời giải.............................................................................................................................6
1.1.5. Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán................................................................................7
1.2.1. Một số ma trận đặc biệt.................................................................................................................7
1.2.2. Không gian vectơ...........................................................................................................................8
1.2.3. Phép nhân trên ma trận.................................................................................................................9
1.2.4. Nhóm.............................................................................................................................................9
1.3.1. Ma trận chuyển cơ sở..................................................................................................................10


3.2. Các đa thức triệt tiêu....................................................................................................42
3.2.1. Định lý Cayley và Hamilton...........................................................................................................42
3.2.2. Định lý các hạt nhân.....................................................................................................................43
3.2.3. Đa thức tối tiểu............................................................................................................................44
3.2.4. Một số dạng toán.........................................................................................................................45

3.3. Phân tích Dunford........................................................................................................51
3.3.1. Không gian con đặc trưng............................................................................................................51
3.3.2. Phân tích Dunford........................................................................................................................52

Trần Văn Quân


iii
3.3.3. Các ví dụ về ứng dụng phân tích Dunford....................................................................................53

3.4. Phép thu gọn Jordan.....................................................................................................58
3.4.1. Cấu trúc của các tự đồng cấu lũy linh..........................................................................................58
3.4.2. Thu gọn Jordan của các tự đồng cấu............................................................................................59
3.4.3. Một số dạng toán về phép thu gọn Jordan..................................................................................59

KẾT LUẬN.........................................................................................................................67
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………..67

Trần Văn Quân


iv




1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận
Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng nhiều
trong toán học và nhiều bộ môn khoa học khác. Ma trận là công cụ để nghiên cứu lí
thuyết về hệ phương trình tuyến tính. Nhờ có ma trận mà các ánh xạ tuyến tính được
nghiên cứu sâu sắc hơn. Ngoài ra, ma trận còn giúp cho việc xác định được giá trị
riêng, vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính, xác định những dạng ánh xạ tuyến tính
đặc biệt. Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, phương
trình vi phân tuyến tính hệ số là hằng số.
Ma trận giúp cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính được sâu sắc hơn. Mỗi ánh
xạ tuyến tính đều có một cấu trúc riêng, cấu trúc càng phức tạp thì việc khảo sát ánh xạ
này càng trở nên khó khăn. Nhưng trong mỗi cơ sở thì mỗi ánh xạ đều tương ứng với
một ma trận. Ma trận của ánh xạ tuyến tính chính là ngôn ngữ giúp mô tả chúng một
cách cụ thể. Do vậy để khảo sát cấu trúc một ánh xạ tuyến tính thì việc biến đổi để tìm
ra ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính ở dạng đơn giản nhất là rất cần thiết.
Biến đổi ma trận của tự đồng cấu để đưa về ma trận dạng chéo được tác giả
Đoàn Quỳnh trình bày một cách sâu sắc giúp cho việc khảo sát cấu trúc của tự đồng
cấu thuận tiện hơn [6]. Các bài tập về chéo hóa ma trận được hai tác giả Khu Quốc
Anh và Nguyễn Anh Kiệt trình bày chi tiết giúp cho người đọc hiểu cách thức chéo hóa
ma trận của tự đồng cấu [1]. Nhưng không phải ma trận nào cũng đưa về dạng chéo
được. Vậy đối với những ma trận không đưa được về dạng chéo thì chúng có thể có
dạng đơn giản nhất như thế nào? Chúng ta có thể biến đổi những ma trận đó về dạng
đơn giản hơn qua việc sử dụng phép tam giác hóa, phân tích Dunford, phép thu gọn
Jordan [11]. Nhưng các tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn giải bài toán
mà hạn chế trong việc khai thác lời giải bài toán. Việc khai thác bài toán thể hiện sự

• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng
dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa
luận.

Trần Văn Quân


3

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Đối tượng nghiên cứu: các phép biến đổi ma trận vuông.

•

Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài
toán về các phép biến đổi ma trận vuông mà phần tử thuộc các trường số thực,
số phức.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về các phép biến đổi
ma trận vuông, đồng thời trên cơ sở nghiên cứu lời giải của những bài toán đã cho, đề
xuất các hướng khai thác chúng dưới dạng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. Qua
đó, cung cấp thêm thông tin khai thác bài toán, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được chia
thành 3 chương.
Chương 1 trình bày sơ lược về giải và khai thác một số bài toán; kiến thức cơ
bản về ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn của nó trong các cơ sở khác nhau; vectơ

1.1.2. Khai thác đề toán
Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái gì? Đâu
là các dữ liệu? Đã cho biết những gì? Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ các
giả thiết, kết luận.
Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài toán đại số và số
học, đó có thể là các đồ thị, đoạn thẳng, có thể là các hình hình học (chẳng hạn các bài
toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số). Nếu cần có
thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong hình vẽ, … cảm nhận
trực giác trên hình vẽ có thể giúp ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán.

Trần Văn Quân


5

Đối với nhiều đề toán, ta phải đưa vào một số kí hiệu. Cách kí hiệu thích hợp có
thể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn. Các kí hiệu dùng để ghi các đối tượng và
quan hệ giữa chúng trong bài toán cần được đưa vào một cách ngắn gọn, dễ nhìn,..
1.1.3. Tìm tòi lời giải
Đây là bước quan trọng – nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài
toán. Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể
đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được
đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn.
Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, nhuần
nhuyễn thì càng dễ tới thành công hơn.
• Nhận dạng và tập hợp kiến thức
Cần “khoanh vùng” bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta
nhận dạng được bài toán thuộc loại nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài toán
thì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từ
trước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt yếu tố cần thiết để giải bài toán này.

tương tự?
+ Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không?
Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có
cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không?
+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?
+ Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan
mà dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một
bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua
các điều kiện khác. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi
như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ
ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn hoặc các
dữ kiện sao cho các ẩn mới và các dữ kiện mới gần nhau hơn không?
+ Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ý
đến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
1.1.4. Trình bày lời giải
Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập
luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận
chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến
tính chính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của
lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện mà
không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc đã trình bày trước đó.
Trần Văn Quân


7

Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác
với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải, thậm chí có thể ngược nhau, vì khi tìm tòi
lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích, còn khi trình bày lời giải để ngắn gọn
ta lại thường sử dụng phương pháp tổng hợp. Lời giải phải được trình bày gọn gàng,


(

)

i) Ta nói A là ma trận tam giác trên nếu ∀ ( i, j ) ∈ { 1,...., n} , i > j ⇒ aij = 0 . Ta
2

ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác trên cấp n với hạng tử trong K là Tn ,s ( K ) .

(

)

ii) Ta nói A là ma trận tam giác dưới nếu ∀ ( i, j ) ∈ { 1,...., n} , i < j ⇒ aij = 0 . Ta
2

ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác dưới cấp n với hạng tử trong K là Tn ,i ( K ) .
iii) Ta nói A là ma trận tam giác nếu khi A là ma trận tam giác trên hoặc A là ma
trận tam giác dưới.
Định nghĩa 1.2.4. [10]

( )

Cho n ∈ ¥ * . Một ma trận vuông A = aij

1≤i , j ≤ n

thuộc M n ( K ) được gọi là ma trận


n, p

ij ij

n, p

ij ij

n, p

ij ij

∀α ∈ K , ∀ ( aij ) ∈ M n , p ( K ) ,α .( aij ) = ( α .aij )
ij

Mệnh đề 1.2.2. [10]

Trần Văn Quân

ij

ij ij

ij

ij

ij ij



j =1

ij

jk

gọi là

tích của A với B ký hiệu là AB .
Định nghĩa 1.2.6. [10]
Giả sử A ∈ M n , p ( K ) .
i) Hạt nhân của A là không gian vectơ con của M p ,1 ( K ) , ký hiệu là Ker ( A ) được

{

}

xác định bởi: Ker ( A ) = X ∈ M p ,1 ( K ) : AX = 0 .
ii) Ảnh của A là không gian vectơ con của M n ,1 ( K ) , ký hiệu là Im ( A ) , được xác
định bởi:

Im ( A ) = { Y ∈ M n ,1 ( K ) : ∃X ∈ M p ,1 ( K ) , Y = AX } = { AX : X ∈ M p ,1 ( K ) } .
1.2.4. Nhóm GLn ( K )
Định nghĩa 1.2.7. [10]
Một ma trận A thuộc M n ( K ) được gọi là khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại một

A ' ∈ M n ( K ) sao cho AA ' = A ' A = I n . Nếu A khả nghịch thì A ' là duy nhất và được
gọi là nghịch đảo của A ký hiệu là A−1 .
Ta ký hiệu tập hợp các ma trận khả nghịch thuộc M n ( K ) là GLn ( K ) .


Định nghĩa 1.3.2. [10]
Giả sử A, B ∈ M n , p ( K ) ta nói A tương đương với B nếu:

∃ ( P, Q ) ∈ GL p ( K ) × GLn ( K ) , B = Q −1 AP .
Trần Văn Quân


11

1.3.4. Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu
Mệnh đề 1.3.3. [10]
Giả sử E là một không gian vectơ n chiều với hai cơ sở là β , β ' , P = Pass ( β , β ' ) ,

f ∈ L ( E ) , A = Mat β ( f ) , A ' = Matβ ' ( f ) . Khi đó: A ' = P −1 AP
Định nghĩa 1.3.3. [10]
Cho A, B ∈ M n ( K ) . Ta nói A đồng dạng với B , và ký hiệu A : B , khi và chỉ khi tồn
tại P ∈ GLn ( K ) sao cho: B = P −1 AP .

1.4. Vectơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu.
Định nghĩa 1.4.1. [7]

ur
Giả sử E là một không gian vectơ f : E → E là một tự đồng cấu. Vectơ α ≠ 0 của
→

ur
ur
E được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại số k ∈ K sao cho f α = kα . Số k

( )


uu
r uuur
uu
r r
f ε j = ε j +1 , (j= 1,…,n-1) và f ε n = 0 . Cơ sở như thế gọi là cơ sở xiclic đối với f

( )

( )

trong cơ sở đó ma trận của f có dạng:

0
1 0


1 O

O





÷
÷
÷
÷
0


∃x ∈ E , x ≠ 0 và f ( x ) = λ x
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của f là phổ của f , và ký hiệu SpK ( f ) ,(hay Sp ( f
)

)

uur

• Cho x ∈ E . Ta nói rằng x là một vectơ riêng (viết tắt: vtr ) của f khi và chỉ khi:

x ≠ 0 và ( ∃λ ∈ K , f ( x ) = λ x )
*
ii) Giả sử n ∈ ¥ , A ∈ M n ( K )

• Cho λ ∈ K . Ta nói rằng λ là một giá trị riêng (viết tắt: gtr) của A khi và chỉ khi:

∃X ∈ M n ,1 ( K ) , X ≠ 0 và AX = λ X
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của A là phổ của A , và ký hiệu SpK ( A ) (hay Sp ( A ) )

uur

• Cho X ∈ M n ,1 ( K ) . Ta nói rằng X là một vectơ riêng (viết tắt: vtr ) của A khi và
chỉ khi: X ≠ 0 và ( ∃λ ∈ K , AX = λ X )
Các giá trị riêng và các vectơ riêng được gọi chung là các phần tử riêng.
Mệnh đề 2.1.1. [11]
i) Giả sử E là K − kgv , e = Id E , f ∈ L ( E )

Trần Văn Quân


SpK ( f ) ⊃ { λ1 ,..., λN } ). Khi đó các không gian con riêng của f liên kết với λ1 ,..., λN
có tổng trực tiếp.

2.2. Đa thức đặc trưng
Định nghĩa 2.2.1. [11]
i) Cho A ∈ M n ( K ) . Ánh xạ K → K , λ a det ( A − λ I n ) là một đa thức, được gọi là
đa thức đặc trưng của A , ký hiệu là χ A .
ii) Cho f ∈ L ( E ) . Ánh xạ K → K , λ a det ( f − λ e ) là một đa thức, được gọi là đa
thức đặc trưng của f , ký hiệu là χ f .
Trần Văn Quân


15

Mệnh đề 2.2.1. [11]
Giả sử n ∈ ¥ − { 0,1} , A ∈ M n ( K ) . Ta có:

∀λ ∈ K , χ A ( λ ) = ( −1) λ n + ( −1)
n

n −1

tr ( A ) λ n−1 + ... + det ( A ) . Đặc biệt, χ A có bậc n

Mệnh đề 2.2.2. [11]
Hai ma trận vuông đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng.
Nói cách khác: ∀ ( A, B ) ∈ ( M n ( K ) ) , ( A : B ⇒ χ A = χ B )
2

Mệnh đề 2.2.3. [11]


ii) Giả sử A ∈ M n ( K ) . Ta nói rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một ma
trận chéo D thuộc M n ( K ) sao cho A đồng dạng với D .
Mệnh đề 2.3.1. [11]
Giả sử f ∈ L ( E ) . Các tính chất sau đây từng đôi một tương đương:
(i) f chéo hóa được.

uur

(ii) Tồn tại một cơ sở của E được tạo nên từ các vtr của f .
(iii) Tổng các KGCR của f bằng E .
(iv) Tổng các số chiều của các KGCR của f bằng dim ( E ) .
Định lý 2.3.1. [11] ( Điều kiện cần và đủ của tính chéo hóa được)
i) Cho f ∈ L ( E ) , f chéo hóa được khi và chỉ khi:
• χ f tách được trên K .
• Với mỗi gtr λ của f , dim ( KGCR ( f , λ ) ) bằng cấp bội của λ .
ii) Cho A ∈ M n ( K ) , A chéo hóa được khi và chỉ khi:
• χ A tách được trên K .
• Với mỗi gtr λ của A , dim ( KGCR ( A, λ ) ) bằng cấp bội của λ .
Hệ quả 2.3.1. [11] (Điều kiện đủ của tính chéo hóa được)
i) Giả sử f ∈ L ( E ) . Nếu f có n giá trị riêng từng đôi phân biệt ( trong đó

n = dim ( E ) ) thì chéo hóa được.
ii) Giả sử A ∈ M n ( K ) . Nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo hóa
được.

2.4. Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận
Định nghĩa 2.4.1. [11]
N
Giả sử P = a0 + a1 X + ... + aN X ∈ K [ X ]

ii) Giả sử A ∈ M n ( K ) , P ∈ K [ X ] . Ta nói rằng P triệt tiêu A (hay P là đa thức
triệt tiêu của A ) khi và chỉ khi: P ( A ) = 0 .
Định lý 2.4.1. [11]
i) Giả sử E là một K − kgv hữu hạn chiều, f ∈ L ( E ) . Để f chéo hóa được cần và
đủ là tồn tại P ∈ K [ X ] tách được trên K và có các nghiệm đơn sao cho P ( f ) = 0 .
*
ii) Giả sử n ∈ ¥ , A ∈ M n ( K ) . Để A chéo hóa được cần và đủ là tồn tại P ∈ K [ X ]

tách được trên K và có các nghiệm đơn sao cho P ( A ) = 0 .

2.5. Ứng dụng của việc chéo hóa
2.5.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông
Giả sử A ∈ M n ( K ) , A chéo hóa được tức là tồn tại P ∈ GLn ( K ) , D ∈ Dn ( K )
sao cho A = PDP −1 . Ta chứng minh bằng quy nạp: ∀k ∈ ¥ , Ak = PD k P −1 .
Tính chất này là tầm thường với k = 0 (vì A0 = D 0 = I n ) và đúng với k = 1 . Nếu nó

(

k +1
k
k −1
đúng với k ∈ ¥ , thì A = A A = PD P

 λ1

O
Mặt khác, kí hiệu D = 

O


0

0
÷
÷. Từ đó suy ra giá trị của k .
A
÷
÷
λnk ÷


2.5.2. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi

( )

*
Giả sử n ∈ ¥ , A = aij

ij

∈ M n ( K ) , ( α1 ,...,α n ) ∈ K n . Ta xét các dãy truy hồi

(

tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi x1,k

)

k∈¥



Vậy ta có: ∀k ∈ ¥ , X k = Ak X 0 và việc xác định X k quy về việc tính Ak .
2.5.3. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi

(

)

*
p
Giả sử p ∈ ¥ , α 0 ,...,α p −1 ∈ K . Ta xét các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số

không đổi ( un ) n∈¥ xác định bởi:

( u0 ,...,u p −1 ) ∈ K p

p −1

∀
n
∈
¥
,
u
=
aiun +i = a0un + ... + a p −1un + p −1

∑
n+ p
i =0

 un 
 un+1   0 1
 u ÷
u ÷ 
O
n
+
1
÷, X =  n+ 2 ÷ = 
Xn = 
 M ÷ n +1  M ÷ 
0

÷

÷

÷
 un + p ÷  a0 L
 un+ p −1 

 

O
0
a p−2

0  un 
÷ u ÷
÷ n+1 ÷ = AX

riêng của f .
a) Phân tích
Ta sẽ sử dụng định nghĩa để tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của f , tức là tìm

λ ∈ £ , P ∈ E − { 0} sao cho f ( P ) = λ P .
b) Bài giải
'
Giả sử λ ∈ £ , P ∈ E − { 0} sao cho f ( P ) = λ P , tức là ( X + α ) P + ( 1 − λ ) P = 0 .

Nếu λ ≠ 1 , ta suy ra P ( −α ) = 0 . Vậy tồn tại k ∈ { 0,..., n} và Q ∈ £ [ X ] sao cho

 P = ( X + α ) k Q
( k là cấp bội của nghiệm α của P )

Q ( −α ) ≠ 0
'
Thế vào phương trình trên: ( X + α ) Q + ( k + 1 − λ ) Q = 0 .

Vì Q ( −α ) ≠ 0 ta suy ra k + 1 − λ = 0 , rồi Q ' = 0 , vậy deg ( Q ) = 0 .
Trần Văn Quân


20

Như vậy tồn tại C ∈ £ − { 0} và k ∈ { 0,..., n} sao cho λ = k + 1 và P = C ( X + α )

f (( X + α ) ) = ( k + 1) ( X + α )
k

với mọi k ∈ { 0,..., n} .

và KGCR ( f , −3) = Vect ( X + 1) , KGCR ( f ,1) = Vect ( X − 3) ).

Tổng quát bài toán 1 ta được bài toán 1.2
Bài toán 1.2.

uur

Xác định các gtr, vtr của tự đồng cấu f của £ [ X ] được xác định bởi:
n
∀P ∈ £ [ X ] , f ( P ) = ( ( X + α1 ) ...( X + α n ) P ) , trong đó ( α1 ,...,α n ) ∈ £ .
'

Bài toán 2.
*
Cho n ∈ ¥ , E = ¡

n

[ X ] , với mọi P thuộc E , ta ký hiệu:
f ( P ) = X ( 1 − X ) P ' + nXP

i) Hãy kiểm chứng: f ∈ L ( E ) .

uur

ii) Xác định các gtr và vtr của f .
a) Phân tích
Ta cần chỉ ra f là một tự đồng cấu của E hay f là một ánh xạ tuyến tính và dựa vào

uur