Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

Mục lục
Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài................................................................................ 3
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................... 3
3. Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu ...................................................... 3
4. Ph-ơng pháp nghiên cứu .................................................................... 3
5. Cấu trúc khoá luận ............................................................................. 4
Ch-ơng 1: Ph-ơng pháp dồn biến và dồn biến mạnh
1. Ph-ơng pháp dồn biến
1.1. Định lí dồn biến ................................................................................ 5
1.2. Ph-ơng pháp dồn biến đối với các bất đẳng thức 3 biến với cực trị đạt
đ-ợc đối xứng.................................................................................... 8
1.2.1. Bất đẳng thức 3 biến với cực trị đạt tại tâm ............................. 8
1.2.2. Bất đẳng thức ba biến với cực trị đạt đ-ợc có tính đối xứng ... 15
1.3. Ph-ơng pháp dồn biến đối với các bất đẳng thức 3 biến với cực trị đạt
tại biên ............................................................................................... 17
1.4. Dồn biến bằng hàm lồi
1.4.1. Khái niệm ................................................................................ 21
1.4.2. Định lí 1(BĐT Jensen) ............................................................. 21
1.4.3. Định lí 2 ................................................................................... 22
1.5. Ph-ơng pháp dồn biến bằng kĩ thuật hàm số .................................... 26
2. Ph-ơng pháp dồn biến mạnh
2.1. Bổ đề(Dồn biến tổng quát) ................................................................ 30
2.2. Định lí dồn biến mạnh ...................................................................... 33
2.3. Chú ý khi dùng ph-ơng pháp dồn biến mạnh .................................. 34
2.4. Ví dụ.................................................................................................. 34
3. Ph-ơng pháp dồn biến toàn miền EMV

Nh- chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một chuyên đề
hấp dẫn và t-ơng đối khó với học sinh. Nó đói hỏi phải có t- duy sáng tạo,
thông minh, kiên trì song càng đi sâu tìm hiểu thì càng lôi cuốn.
Chuyên đề bất dẳng thức xuyên suốt trong quá trình học không chỉ trong
các lớp THCS, THPT mà ĐH vẫn đ-ợc giảng dạy. Để giải các bài toán bất
đẳng thức thì có không ít các ph-ơng pháp giải chẳng hạn: ph-ơng pháp biến
đổi t-ơng đ-ơng, ph-ơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, ph-ơng
pháp tam thức bậc hai, Trong những phương pháp đó ta không thể không kể
đến một ph-ơng pháp khá đặc biệt đó là ph-ơng pháp dồn biến.
Là một sinh viên sắp ra tr-ờng, với mong muốn nắm vững kiến thức,
ph-ơng pháp, nắm chắc kiến thức ở bậc THPT tạo tiền đề cho việc dạy học
sinh sau này. Giúp học sinh không chỉ giảm bớt những khó khăn mà còn phát
huy tính tích cực, chủ động của các em trong quá trình học tập, đặc biệt là
những kiến thức khó như bất đẳng thức. Chính vì vậy em đã chọn đề tài
Ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh ứng dụng giải các bài toán và
sáng tạo các bài toán sơ cấp.
2) Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức ở bậc THPT và các
ph-ơng pháp chứng minh bất dẳng thức.
3) Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối t-ợng nghiên cứu:
Nội dung về bất đẳng thức trong ch-ơng trình toán THPT.
b. Phạm vi nghiên cứu
Kiến thức về bất đẳng thức trong sách giáo khoa THPT.
4) Ph-ơng pháp nghiên cứu

3


Khóa luận tốt nghiệp

Ph-ơng pháp dồn biến là tìm cách giảm tối đa số biến có thể đ-ợc. Đối với
những bài toán có ít nhất là 3 biến thì ph-ơng pháp dồn biến đ-ợc sử dụng
hiệu quả.
1. PHƯƠNG PHáP DồN BIếN
1.1. ĐịNH Lý DồN BIếN
Giả sử f(x1, x2, , xn ) là một hàm số liên tục và đối xứng với tất cả n biến
x1, x2, , xn xác định trên một miền liên thông thoả mãn điều kiện sau:
f(x1, x2, , xn )

f

x1 + x2 , x1 + x2 , x , , x
3
n
2
2

(1)

Khi đó bất đẳng thức sẽ thoả mãn:
f(x1, x2, , xn )

f(x, x, , x)

Trong đó: x = x1 + x2 +.+ xn
n
Chú ý :
o Khái niệm miền liên thông trong R là đoạn hoặc khoảng có dạng :
[a,b], (a, b], (a, b), (a, +


Chứng minh:
Đặt f( a1, a2, , an) = a1 + a2 + + an n n a1a2an
Ta có ( a1 a2)2

0

a1 + a2

2 a1a2

Nên suy ra
a1 + a2 + + an n

n

a1a2an

f(a1, a2, , an)

2 a1a2 + a3 + + an n

n

a1a2an

f( a1a2, a1a2, a3, , an)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2
Do đó f(a1, a2, , an)


+
b+c a+c a+b

3
.
2
Chứng minh:

Đặt f(a, b, c) =
Xét f( a, b, c) =

a
b
c
a+b
+
+
và t =
b+c a+c a+b
2
a2 + b2 + c(a + b)
c
+
2
ab + c + c(a + b) a + b

Mà ta có:
(a + b)2

2(a2 + b2)

t + c + 2ct 2t

f(a, b, c)

2

=

2t(t + c) c
+
(t + c)2
2t

=

2t
c
+
t + c 2t

= f(t, t, c).
Do đó f(a, b, c)

f(t, t, t) =

Ví dụ 3: Giả sử a, b, c, d, e

3
a+b+c
với t =

a+b
2 cd

a+b
a
+ cde + de 2 + e
2

a
= (e + c)
2
a
*
2

b
2

b
2

2

+d

b
2

2


a+b+c+d+e
= 1.
5

5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = e = 1.
1.2. PHƯƠNG PHáP DồN BIếN ĐốI VớI CáC BấT ĐẳNG THứC
BA BIếN VớI CựC TRị ĐạT ĐƯợC ĐốI XứNG.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức f(a, b, c)

0 với a, b, c là các biến

số thực thỏa mãn các tính chất nào đó. Khi đó ta chứng minh 2 b-ớc sau:
- B-ớc 1: Đánh giá f(a,b,c)

f( t, t, c) với t là biến sao cho

bộ số (t, t, c) thoả mãn mọi tính chất của bộ số (a, b, c).
- B-ớc 2: Đánh giá f(t, t, c)

0.

1.2.1. Bất đẳng thức ba biến với cực trị đạt tại tâm
Đối với những bất đẳng thức không có điều kiện thì dồn biến theo các
đại l-ợng trung bình nh- t =

a+b
, t = ab, t =
2

x+y
.
2

Thật vậy, ta có:

8


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

x y
2

2

xy

3

0

3

xyz

x y
2

2t + z + 3 3 t2z

2. ( tz +

t. 3 t2z )

2t + z + 3 3 t2z

2.2.

t. 3 t2z

tz.

0 với t =

x+y
.
2

t. 3 t2z

4
3 2

2t + z + 3 t z

t2z. 3 t2z

4.

.
2

0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

9


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c

R. Chứng minh rằng:

(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)

9(ab + bc + ca) ;

(1)

Chứng minh:
Do vế trái của (1) là hàm chẵn với các biến a, b, c nên chỉ cần chứng
minh bất đẳng thức đúng với a, b, c là các số thực d-ơng.
- B-ớc 1:
Đặt f(a, b, c) = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) - 9(ab + bc + ca) với a, b, c
Giả sử a

b

c

4 ab

4c

( a b )2 [ 2(c2 + 2).4c 9c]

= ( a b )2 [8c3 + 7c]
Hay d

0

f (a, b, c)

f( ab, ab, c)

- B-ớc 2: Chứng minh f( ab, ab, c)

0.

Thật vậy, ta có
f( ab, ab, c) = (ab + 2)2(c2 + 2) 9(ab + 2c ab)
Đặt t = ab. Biểu diễn f(t, t, c) d-ới dạng tam thức bậc hai của ẩn c :

10


Khóa luận tốt nghiệp



4(a + b+ c 1)

Chứng minh:
Đặt f(a, b,c) = (a + b)(b + c)(c + a) 4(a + b+ c 1)
= ab(a + b) + bc(b+ c) + ca( c+ a) 4(a + b + c) + 6.
Bài toán trở thành chứng minh f(a, b, c)
Giả sử a

b

0.

c > 0 .Ta có

d = f(a, b, c) f(a, bc , bc)
= ab(a + b) + bc(b+ c) + ca( c+ a) 4(a + b + c) + 6 2a bc(a + bc)
2bc bc + 4(a + 2 bc) 6
= a2(b + c 2 bc) + bc(b + c 2 bc) + a(b2 + c2 2bc)
4(b + c 2 bc)
= ( b c )2( a2 + bc 4 + a( b + c )2)
= ( b c )2[(a + b)(a + c) + 2a bc 4).
Vì (a + b)(a + c)

4 4 a2bc

f(a, b, c)

4 ( vì abc = 1 và a



b6 4b4 + 4b3 2b + 1

0

(b 1)2 ( b4 + 2b3 b2 + 1)

0

(b 1)2 [(b 1)2 + 2b3 + b2 )

0 ( luôn đúng).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét 2: Việc chứng minh không cần sử dụng một công cụ mạnh
nào cả, thậm chí phù hợp với trình độ THCS. ý t-ởng chính trong ph-ơng pháp
chứng minh là thực hiện hai b-ớc sau (đối với bất đẳng thức f(a, b, c)
- Chứng minh f(a, b, c)

f(a, bc, bc) nếu a

- Chứng minh f(a, b, c)

0 nếu b = c.

0):

b c.

Từ hai b-ớc này thì hiển nhiên ta suy ra kết quả bài toán. Ta chứng

0.

12


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

- B-ớc 1: Xét hiệu
d = f(x, y, z) f(x, yz, yz)
2

= x2 + y2 + z2 2xy 2xz 2yz + 3(xyz)3
2

(x2 + 2yz 4x yz 2yz + 3(xyz)3)
= y2 + z2 2yz + 4x yz 2x(y + z)
= ( y z)2 2x(y + z 2 yz)
= (y z)2 2x( y z)2
= ( y z)2(( y + z)2 2x)
= y z)2((y + z 2x) + 2 yz)

0 ( vì z

- B-ớc 2: Chứng minh f(x, yz, yz)

y

x

4(x yz) = 4x yz.
2

Khi đó, ta có f(x, yz, yz) = x2 + 2yz 4x yz 2yz + 3(xyz)3

0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
a+b+c

a2b2 + b2c2 + c2a2.
Chứng minh:

Giả sử a

b

c

a

1

b2 + c2

2

b+c


b2 + c2
b 2 + c2

2
2

2 2

=b+cbc 2
=

2

2

b2 c2 2
(b c)2

2
b + c + 2(b2 + c2)
( vì (b + c + 2(b2 + c2))(b + c 2(b2 + c2)) = (b c)2 ).

(b + c)2
1

= (b c)
4
b + c + 2(b2 + c2)
2


4

Nên f(a, b, b) = a + 2.

3(a 1)2
4a2(3 a2) (3 a2)2
=
+3+
4
3 + a 2(3 a2)
=

3(a 1)2
3(a2 1)2 12
+
3
+
4
3 + a 2(3 a2)

3
3(a 1)2
2
= (a 1) 4(a + 1)
3 a + 2(3 a2)
2

3
3
= (a 1)2 4(a + 1)2 4

Đặt f(a, b, c) =
Giả sử a

1
1
1
+
+
a +b b + c c + a

b c.
- B-ớc 1: Chứng minh f(a, b, c)
t2 + 2ct = ab + bc + ca = 1

f(t, t, c) với t > 0 sao cho

(t + c)2 = (a + c)(b + c) = 1 + c2 .

Thật vậy, ta có
f(t, t, c) =

1
2
+
.
2t c + t

Bất đẳng thức trên t-ơng đ-ơng với
1
1

1
+

2
2t
(a + c)(b + c) a + b

1
b c

1
c a

2

1
b+c

1
c+a

a + b 2t
2t(a + b)
=

a + c 2(t + c) + b + c
2t(a + b)

( a + c b + c)2
=

2

(1)

; với a2 + 2ac = 1

1
2a
5
+
2
2a 1 + a
2

c=

1 a2
2a

0

1 + a2 + 4a2 5a(1 + a2)
1 + 5a2 5a 5a3

0

0

(1 a)(5a2 4a + 1)


= (b + c 2t) + 3a(bc t2)
Xét điều kiện ab + bc + ca + 6abc = 2at + t2 + 6at2
t2 bc =

a
(b + c 2t)
6a + 1

16


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

b + c 2t < 0
Ta thấy nếu t2 bc < 0

b+c
< t < bc
2

b + c 2t
t2 bc 0

Vô lý

0

3a2

2t + 6t2

2
9 t2
2 9 t
f(a, t, t) =
+ 2t + 3t 2t + 6t2
2t + 6t2

=

3t4 + 12t3 + 30t2 + 9
2t + 6t2

=

3(3 t)(t + 1)(t 1)2
+6
2t + 6t2

6.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hoặc a = 0, b = c = 3 cùng các
hoán vị của nó.
1.3. PHƯƠNG PHáP DồN BIếN ĐốI VớI CáC BấT ĐẳNG THứC
BA BIếN VớI CựC TRị ĐạT TạI BIÊN.
Trong phần tr-ớc ta có thể hiểu dồn biến là đẩy hai biến lại gần nhau
thì trong trường hợp này ta phải hiểu dồn biến là đẩy một biến ra biên.
Nh- xét bất đẳng thức f(x, y, z)
f(x, y, z)


Chứng minh:
- B-ớc 1:
Đặt f(a, b, c) = a3 + b3 + c3 + 3abc - a2(b + c) - b2(c + a) - c2(a + b)
Xét
a
a
f(0, b + , c + ) = b
2
2

a
2

3

= (a + b + c)

3

a
c
2
b

a
2

a
b

b

a
2

2

a
a
(a + b + c) c + 2 b + 2
= (a + b + c)(b - c)2
= b2(a + c) + b3 - 2bc(a + b + c) + c3 + c2(a +b)
Khi đó, ta có
a
a
da = (a, b, c) - f(0, b + , c + )
2
2
= a3 + 2bc(a + b + c) - a2(b + c) + 3abc
= a(a + b - 2c)(a + c - 2b)
T-ơng tự ta có:
db= b(a + b - 2c)(b + c - 2a)
dc = c(a + c - 2b)(b + c - 2a)
Giả sử da = max{da, db, dc} và da < 0. Khi đó
da. db .dc = abc(a + b - 2c)2(a + c - 2b)2(b + c - 2a)2 < 0 (vô lý)
18


Khóa luận tốt nghiệp



0, ab + bc + ca = 1. Chứng minh:
1
1
1
+
+
a+b b+c c+a

5
.
2

Chứng minh:
B-ớc 1:
Đặt f(a, b, c) =
Xét f(a + b,

1
1
1
+
+
a+b b+c c+a

1
, 0) =
a+b

1

1
1
+
(a + b) 1 + (a + b)2 + 1
1 - ab
1 - ab
b+
a+
a+b
a+b

1
1
2 + (a + b)2
+
= (a + b) 1 + b2 1 + a2 1 + (a + b)2
1
1 + (a + b)2 - (2 + (a + b)2)(1 + a2)
+
= (a + b) 1 + b2
(1 + (a + b)2)(1 + a2)
= (a + b)

ab[2(1 ab) ab(a + b)2]
(1 + a2)(1 + b2)(1 + (a + b)2)

Giả sử c = max{a, b, c} thì

19


Thậy vậy, ta có
Đặt s = a + b +
f(a + b,

1
a+b

s

2

1
1 s 1 3s
, 0) = s + = 4 + s +
a+b
s
4

1+

3 5
= .
2 4

Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh.
Ví dụ 3: Cho a, b, c

0, a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3c3 + c3a3)

a3)

a3( b3 + c3 + 6c3)
a3( b3 + c3 + 3b2c + 3bc2) (vì b

c)

20


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

= a3(b + c)3.
Nên f(a, b, c)

f(a, b + c, 0).

B-ớc 2: Chứng minh f(a, b, c)

0 với c = 0.

Thậy vậy, ta có
f(a, b+ c, 0) = 36ab a3b3(b3 + a3)
f(a, b, c)

0

36

2
2

Hoặc nếu cực trị đạt tại biên mà các biến còn lại không bằng nhau thì ta có thể
xét bộ (t, s, 0) nh- (a, b + c, 0).
1.4. DồN BIếN BằNG HàM LồI
1.4.1. Khái niệm: Một hàm số f: [a, b]
f(tx + (1 t)y)

tf(x) + (1 t)f(y)

R đ-ợc gọi là lồi nếu
x, y

[a, b], t

[0, 1].

Nhận xét:
Nếu f khả vi hai lần thì f(x) lồi khi f (x)

0 với mọi x

[a, b].

Nếu f lồi thì f liên tục. Ng-ợc lại nếu f liên tục thì f có tính chất
f

x+y
2

bằng 1 thì
f( 1x1 +

x ++

2 2

f(x1) +

x)

n n

1

1.4.3. Địng lí 2: Cho f là hàm lồi [a, b]
f(x)

f(x2) + +

f(xn).

2

n

R. Khi đó

max{f(a), f(b)}


2 = 2f(x0)
f(a) = f(x0) (vì f(a) + f(x1) 2f(x0)).
Tr-ờng hợp 2: | x0 b | | x0 a | (nghĩa là x0 gần b hơn a)
f(a) + f(x1)

2f

Chứng minh t-ơng tự ta cũng có f(x0) = f(b).
Vậy ta đ-ợc điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: (Bất đẳng thức Cauchy) Cho n số thực d-ơng xi.
Chứng minh rằng:

x1 + x2 + + xn
n

n

x1. x2 xn

Chứng minh:
Do 2 vế của BĐT luôn d-ơng nên lấy ln hai vế ta có
ln
ln

x1 + x2 + + xn
n
x1 + x2 + + xn
n

ln( n x1. x2 xn )

n
n ln

x1 + x2 + + xn
n

ln(x1) + ln(x2) + + ln(xn)
.
n

Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh.
Ví dụ 2: Cho các số thực x, y, z có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng:

x
y
z
+
+
1 + x2
1 + y2
1 + z2

9
.
10

Chứng minh:
Xét f(t) =



[0, 3 ]
0

x

1 (vì x + y + z = 1)

[0, 3 ]

0 nên g(x) là hàm lồi hay ta đ-ợc điều phải chứng minh.

Tr-ờng hợp 2: z < 0
1
+ Nếu y < thì x > 0
2

1 + x2 > 2x

23


Khóa luận tốt nghiệp

Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán

x
y
z
1 2


x
1+
=

*3

z

1
2

2

y

+
1+

1
2

2

z

+
1+

1

x+y=1z=4

x

2 nên

x
y
z
2 1
9
+ +0= .
2 +
2 +
2

0

0.

Vậy đẳng thức đ-ợc chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 4: Cho 0 < p < q và n số thực xi

[p, q]. Chứng minh rằng

1
1
1
(x1 + x2 + + xn) x + x + + x
1
2
n

n2 (p q)2
n + 4
pq
2

Trong đó kí hiệu [x] là chỉ phần nguyên của x.
Chứng minh:
Giả sử trong n số xi có k số p và (n k) số q thì biểu thức vế trái đ-ợc
biểu diễn là
k nk
p
q
(kp + (n k)p) p + q = k2 + (n k)2 + k(n p) q + p

i i

25