TÀI LIỆU
DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG
MÔN TOÁN
( LƯU HÀNH NỘI BỘ)
I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Nội dung
Tiết thứ
CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết)
Tính chất cơ bản của phân thức
1-2
Phân tích đa thức thành nhân tử
3-4
Quy đồng mẫu nhiều phân thức
5-6
Phép cộng, trừ các phân thức đại số
7
Phép nhân, chia các phân thức đại số
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
16
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình bậc hai một ẩn.
17
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
18
Công thức nghiệm thu gọn.
19
Hệ thức Vi-ét.
20
Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích.
21
Tìm điều kiện xác định của một phương trình.
22
trên máy tính bỏ túi
Bài tập tổng hợp về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Kiểm tra 1 tiết
31
32 - 33
34
CHUYÊN ĐỀ4:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀHỆ PHƯƠNG TRÌNH (12 tiết)
I. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆPHƯƠNG TRÌNH
Dạng toán số - chữ số
Dạng toán chuyển động
35
36 - 37
Dạng toán năng suất
38 - 39
II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Dạng toán số - chữ số
40
Dạng toán chuyển động
Tỉ số lợng giác của góc nhọn
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Kiểm tra
4
5
6
7
8
9
10
CHUYấN 2: GII CC BI TON V T GIC
Tứ giác
11
Hình thang - Hình thang cân
12 - 13
Hình bình hành - Hình chữ nhật
14 - 15
Hình thoi, hình vuông
16 - 17
Liờn h gia cung v dõy
25
Tip tuyn ca ng trũn
26
Gúc ni tip.
Mi liờn h gia gúc ni tip v cung b chn
27
Gúc to bi tip tuyn v dõy cung
28
Gúc cú nh bờn trong ng trũn, gúc cú nh bờn ngoi ng
trũn.Cung cha gúc
29
T giỏc ni tip
30
di ng trũn, din tớch hỡnh trũn
31
3
(m, n ∈ N,m ≥ n)
am:an = am-n
n
m n
(x ) = x
x
xn
(x.y) = x .y ; ÷ = n
y
y
m.n
n
n
n
( y ≠ 0)
b) Ví dụ:
a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7
b) 15m9 : 3m7 = 5m2
b) (5x3 - x2)(1 - 5x)
Giải:
2
3
2
3
2
3
2
3
a) (3xy - x2 + y) x2y = 3xy. x2y + (-x2). x2y + y. x2y
= 2x3y2 -
2 4
2
x y + x2y2
3
3
b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3
5
= - 25x4 + 10x3- x2
Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
b) ( x + y )( x 2 + y − x y )
a) ( x + 2 )( x − 2 x + 4 )
Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chia đa thức cho đơn thức:
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức
A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả
với nhau.
Ví dụ:
(15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2
= (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)
= 5xy + 4x2 -
10
y
3
2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1. (6 x 2 + 13x − 5) : (2 x + 5)
Giải:
6 x 2 +13 x − 5
2x + 5
6
Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng
A
, trong đó A, B là các đa thức và B
B
khác đa thức 0.
1
6 x2 y 2
Ví dụ:
5 ;
8x y
x+2
b) Phân thức bằng nhau:
Ví dụ:
A C
=
B D
nếu AD = BC
x +1
1
=
vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1
2
x − 1 x -1
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?
x − x2
x
=
a)
5 x 2 − 5 5( x + 1)
x 2 + 8 3x 2 + 24 x
=
b)
2x −1
6x − 3
Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
45 x(3 − x) − 45 x( x − 3)
=
= –3
15 x( x − 3)
15 x( x − 3)
Bài 3. Tính:
a)
2300
23
b)
63x 3
= 3x
với x > 0
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn phân thức:
10 xy 2 ( x + y )
b)
15 xy ( x + y ) 2
6 x2 y 2
a)
8x y5
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
( x y + y x )( x − y )
= x− y
xy
với x > 0 và y > 0
x 3 + 3 xy + 2 y 2
1
=
b) 3
2
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 = ( x − 2 )
2
2. x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3)
2
2
3. ( x + y ) − ( x − y ) = [ ( x + y ) + ( x − y ) ] [ ( x + y ) − ( x − y ) ] = 2 x.2 y = 4 xy
Cách khác: ( x + y )2 − ( x − y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 4 xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
x)
b) 2 x y + 3z + 6y +
xy
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 5 x ( x - 2010) -
x + 2010 = 0
b) x3 - 13 x = 0
TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ≠ 0 )
b1b2 = ac
b1 + b2 = b
nếu
Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
b) y − 3 y + 2 = y − y − 2 y + 2
10
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x
= (x + 2)2 - ( 2 x ) = ( x − 2 x + 2 ) ( x + 2 x + 2 )
2
g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
=(a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
b) 27 x3 y − a 3b3 y = y ( 27 x 3 − a 3b3 )
3
= y (3 x)3 − ( ab )
= y ( 3x − ab ) ( 9 x 2 + 3 xab + a 2b 2 )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)
a)
= ( 2 x ) − y 3 + ( 4 x 2 − y 2 )
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
x 2 +xy-y 2
a)
2x 2 -3xy+y 2
2x 2 -3x+1
b)
x 2 +x-2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) xy + y x + x + 1
b)
a 3 − b3 + a 2b − ab 2
TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:
5
7
và
12 30
* Bước 1: Tìm MTC.
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
2x +4 = 2(x + 2)
12
x2 - 4 = (x - 2) (x + 2)
- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)
+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3x ( x − 2 )
3x
3x
=
=
2 x + 4 2( x + 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 )
2 ( x + 3)
x+3
x+3
=
=
2
x − 4 ( x + 2)( x − 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
10
;
x+2
1 − 2x
x2 + x +1
5
2x − 4
TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)
I. Luyện tập:
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:
2x
x
và
x 2 − 8x + 16
3x 2 − 12x
Phân tích các mẫu:
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
3x2 - 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
13
2x
2x
2x.3x
4−3
1
Bài 3: Giải phương trình:
x+2 1
2
= +
x − 2 x x ( x − 2)
Giải: ĐKXĐ: x ≠ 0;x ≠ 2
x+2 1
2
2
2
= +
x − 2 x x ( x − 2 ) ⇒ x + 2x = x − 2 + 2 ⇔ x + x = 0
x = 0 ( kTM®K )
.Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −1}
⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔
x
=
−
1
TM®K
(
)
6
TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.
Ví dụ: Tính:
a)
A C A+C
+ =
B B
B
x2
4x + 4 x 2 + 4x + 4 x + 2
+
=
=
3x + 6 3x + 6
3x + 6
3
14
b)
x2
(y -12)y
y − 12
y − 12
6
6.6
+
=
+
=
+
2
y − 6 y 6( y − 6)
6 y ( y − 6)
6 y − 36
y ( y − 6)
6y(y-6)
y−6
y 2 − 12 y + 36
( y − 6) 2
=
=
= 6y
6 y ( y − 6)
6 y ( y − 6)
*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán:
A C C A
+ = +
B
D
B
A C
A C
=
+ −
B D
B D
Ví dụ:
( x + 3)
x +1
+
2
− x( x − 1)
( x − 1)
a)
x +1
x+3
=
- 2
2
x −1 x − x
=
( 3 − x)
3−x
x−2
x−2
( 3 + x)( 3 − x) ( x + 2 ) ( x − 2 )
=
+ −
( x − 2) 3 − x
( x − 2)( 3 − x)
(
)
2
2
2
3
−
x
−
(
x
2x 2 − x
2 − x2
+
=
x −1
x −1
x −1
x −1
=
( x − 1) 2
= x −1
x −1
Bài 2: Rút gọn biểu thức
x +1
2 x
( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2)
+
=
x−4
x −2
x +2
P =
=
x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x
3x − x + 2
(B; D ≠ 0)
B D B.D
Ví dụ:
a)
b)
x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1)
x2 −1
.
=
= 2
x + 2 x − 2 ( x + 2)( x − 2) x − 4
3 + x x − 3 ( 3 + x)( x − 3) x 2 − 3
.
=
= 2
x +1 1− x
( x + 1)(1 − x)
x −1
2. Phép chia các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
A C A D
: = .
( B, C , D ≠ 0)
B D B C
- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân
thức .
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính:
7 x + 2 14 x + 4 7 x + 2 x 2 y
(7 x + 2) x 2 y
x
:
=
.
=
=
3
2
3
3
3 xy
x y
3xy 14 x + 4 3 xy (14 x + 4) 6 y 2
Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =
x
1− x
=
=
x−2
.
x + 2 4 x
x
+
x +1 x + 2 x + 3
:
.
x + 2 x + 3 x +1
TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A ⇔ A ≥ 0
−A ⇔ A < 0
2
a, A = A =
c,
A
A
=
B
B
( A ≥ 0,B > 0 )
a
1 1
2
−
:
+
÷
÷
÷
a −1 a − a a + 1 a −1
Bài 2: Cho biểu thức: A =
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
b) Tìm a để A > 0
Giải: a) Điều kiện A xác định: a > 0; a ≠ 1
1
a
1
2
−
:
+
÷
÷
+
3 +1
3 −1
Bài 2: Cho biểu thức: Q =
a
− 1+
a 2 − b2
a 2 − b2
a
b
÷:
2
2
a− a −b
a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
2+ x
Bài 3: Cho biểu thức P =
2− x
−
A B
=
B
B
c)
d)
( AB ≥ 0,B ≠ 0 )
AB
( B > 0) ;
(
C A− B
C
=
A−B
A+ B
)
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ) .
(
C A+ B
C
Giải:
1
a +1
1
M =
+
÷:
a − 1 a − 2 a + 1
a− a
1+ a
a +1
=
÷:
2
a ( a − 1) ( a − 1)
=
a −1
1
= 1−
a
a
Suy ra M = 1 −
1
< 1 (Vì a > 0, a ≠ 1 ). Vậy M < 1
a
2
=3
x +1
x −1
.
−
÷
÷
÷ x −1
x +1 ÷
a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1
19
x2 x
x
P =
−
4 x
x +1− x +1
x −1
)
=
(
) ( x −1)
( x − 1) ( x + 1)
2
x +1 −
2
x ( x − 1) ( x + 1) 2 x − 2
.
x −1
4 x
x −1
2 x
x = 0
b) Để P = 0 ⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔
TIẾT 11: LUYỆN TẬP
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
(
)
y 2 − 3y + ( xy − 3x ) y ( y − 3 ) + x ( y − 3 ) ( y − 3 ) ( x + y ) y − 3
y 2 − 3y + xy − 3x
=
=
=
=
a)
x2 − y2
( x + y) ( x − y)
( x + y) ( x − y)
( x + y) ( x − y) x − y
(
)
2 x2 − 2x + 4
2 x2 − 4 x + 8
2
=
=
b)
3
>2
x
Giải:
a) Điều kiện: x ≥ 0 : x ≠ 1
2
x −1
x + 1 1
x
P =
−
÷
÷ 2 x − 2 ÷
÷ =
x
+
1
x
−
1
(
) (
( x − 1) (
2
P
1− x
1
1
>2⇔
>2⇔ x
∆ = 81 = 9
−1 + 9
−1 − 9
x1 =
= 4; x 2 =
= −5 ,
2
2
x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5.
TIẾT 12: KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy
b)
2x + 2 + 3y
x 2 − 4x 3 + 3
a) 2
x − 5x + 6
Câu 2: Tính:
xy − 4y
2xy + 4y
c) x 2 y3 + x 2 y3
x +1
a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
3
4
c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tính:
(
1
2− 5
)
2
−
(
1
2+ 5
x−
Câu
Câu 1
Lời giải
a)
x 2 − 4x 3 + 3 ( x − 1) ( x − 3)
x −1
=
=
2
x − 5x + 6 ( x − 2 ) ( x − 3) x − 2
Điểm
1đ
22
b)
4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy 4 − ( 4x 2 + 12xy + 9y 2 )
=
2x + 2 + 3y
2x + 3y + 2
4 − ( 2x + 3y )
( 2 + 2x + 3y ) ( 2 − 2x − 3y )
2 −1
4−2 3
Câu 2
=
=
2 +1
x
4−2 3
2 −1
(
3 + 1)
2 −1
( 4 − 2 3) ( 4 + 2 3)
2
1
1
=
16 − 12 2
=
x2 − x + x2 + x
( x −1)
2 x2
=2 x
x
1đ
1đ
3
3
b) Với x = ⇒ A = 2 = 3
4
4
c) A < 8 ⇔ 2 x < 8 ⇔ x < 4 ⇔ x < 16
2đ
1đ
kết hợp với điều kiện 0 < x < 16; x ≠ 1 .
ĐỀ SỐ 2
Câu
Câu 1
5−2
)
2
(
1
2+ 5
)
2
1đ
1
−
(
5+2
)
2
⇔ x2 + 2x = 4 − 4x + x2 ⇔ x =
2
3
1đ
2
Vậy nghiệm của phương trình là x = .
3
Câu 3
a) TXĐ: a ≥ 0; a ≠ 4
A = 1 −
(
)(
)
a a −2
a −3 3− a
A = 1 −
+
a −2
⇔
(
(
(
)(
)(
) ÷
) ÷
a −2
a −3 3− a 3+ a
÷:
+
+
a −3 ÷ a +3 2− a
a −2
a +3
a ( a − 3)
a +3
0,5 đ
0,5 đ
2đ
a = 5 ⇔ a = 25
a = −1(l )
CHUYÊN ĐỀ2: PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Tiết 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀCÁCH GIẢI
I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a ≠0, được gọi là
phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ:
5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
và đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 t ừ v ế trái sang v ế ph ải v à
đổi dấu thành +2 ta được x = 2
2
2
+ x = 0, chuyển hạng tử từ vế trái sang vế phải và
3
3
2
2
a) 2 – x = 0;
b) 8x – 3 = 0;
c) 0x – 3 = 0
;
d)
3x – 2 = 3.
Bài 2: Giải phương trình: a) 3 -
1
x =0
2
b) x + 8 = 0
25
Copyright: Tài liệu đại học ©