ax 2 + bx + c
Chuyên đề: Các bài toán liên quan đến hàm số y =
(1)
a, x + b,
I/ tính đơn điệu
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s y =

x 2 + mx − 1
đồng biến trên từng khoảng
x −1

xác định.

Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {1}
+/ Ta có y ' =

x 2 − 2x + 1 − m

( x − 1)

2

.

+/ YCBT ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ≠ 1 ⇔ g(x) = x 2 − 2x + 1 − m ≥ 0 ∀x ≠ 1
+/ #’= m ≤ 0 => g(x) > 0 ∀x ≠ 1 => h/s đã cho đ/b trên từng khoảng xác định.
+/ Nếu #’=m >0 => g(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < 1< x2. Khi đó hàm
số sẽ nghịch biến trên các khoảng (x1; 1) và (1; x2) => không thỏa mãn YCBT.
+/ Vậy các giá trị m phải tìm là m ≤ 0 .


1


+/ Ta có u ' ( x ) =

14 ( 2x + 4 )

(x

2

min u ( x ) = u (1) = −
[1;+∞ )

+ 4x )

2

≥ 0 ∀x ≥ 1 ⇒ u(x) đồng biến trên [1;+∞ ) , do đó

14
.
5

+/ Vậy các giá trị phải tìm là m ≤ −

14
.
5


Ii/ Cực trị.
x 2 + 2m 2 x + m 2
Vớ dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có cực trị.
x +1

Giải :
+/ TXĐ D = R \ {−1}
1 − m2
x 2 + 2x + m 2
+/ Ta cú y = x + 2m − 1 +
t ừ đó y ' =
2
x +1
( x + 1)
2

+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT
g(x) = x 2 + 2x + m 2 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-1)

1 − m 2 > 0
∆ ' > 0
⇔
⇔ 2
⇔ −1 < m < 1
g
−
1
≠
0

+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT
g(x) = x 2 + 2mx − m = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-m)
m 2 + m > 0
∆ ' > 0
m > 0
⇔
⇔ 2
⇔
.
 m < −1
g ( −m ) ≠ 0 − m − m ≠ 0
+/ Vậy với m > 0 hoặc m < -1 thỡ h/s đó cho cú cực đại, cực tiểu.
+/ Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực trị, khi đó x1, x2 là hai nghiệm của PT g(x) = 0.
+/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy khi và chỉ khi x1.x2 < 0 hay –m < 0 hay
m > 0.
+/ Vậy với m > 0 thì h/s đã cho có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục Oy

Ví dụ 3. Cho h/s y =

x 2 − mx + m
. CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng
x −1

cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi.

Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {−1}
+/ Ta có y ' =

x 2 − 2x

+/ Ta có 0 = y ' ( x 0 ) =
⇒ y(x 0 ) =

u '(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v '(x 0 )
2

[ v(x 0 )]

⇒ u '(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v '(x 0 ) = 0

u ( x 0 ) u '( x 0 )
=
(đpcm).
v ( x 0 ) v '( x 0 )

Ví dụ 5. Cho h/s y =

x 2 − 2x + m + 2
(Cm ) .
x + m −1

1/ Tìm m để h/s có cực trị.
2/ Viết PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm).

Giải:
1/ TXĐ: D = R \ {1 − m}
+/ Ta có y ' =

x 2 + 2(m − 1)x − 3m


Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để h/s y =

− x 2 + 3x + m
có CĐ, CT thoả mãn
x−4

yCD − yCT = 4 .
Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {4}
+/ Ta có y ' =

− x 2 + 8x − m − 12

( x − 4)

2

+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT
g ( x ) = − x 2 + 8x − m − 12 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 4
∆ ' = 4 − m > 0
⇔
⇔m u’(x) = -2x + 3
v(x) = x - 4 => v’(x) = 1
+/ Do y’(x1) = y’(x2) = 0 nên
y1 = y ( x1 ) =


(

)

2m 2 x 2 + 2 − m 2 ( mx + 1)
mx + 1

− x 2 + mx − m 2
Bài 2. Cho hàm số y =
( Cm )
x−m
1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT;
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (Cm).
2x 2 − 3x + m
Bài 3. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có CĐ, CT và | yCĐ - yCT | > 8.
x−m

Bài 4. Tìm các giá trị của m để h/s y =

( m − 1) x 2 + x + 2
( m + 1)x + 2

có CĐ, CT và

(yCĐ - yCT )(m+1) + 8 = 0.

Bài 5. Tìm các giá trị của m để h/s y =

x 2 + 2mx + 2

6

 −1 
I 1; 
 2 


+/ Gọi M(xM; yM) , Đặt xM = m => y M =
+/ Ta có y ' =

m
1
−1+
2
m −1

1
1
1
1
−
⇒ y'(m) = −
2
2 ( x − 1)
2 ( m − 1)2

+/ PTTT của (C) tại M là (d): y= y(m) (x-m) + y(m)
=>

1

xA + xB
= m = x M nên M là trung điểm AB.
2

2/ Ta có khoảng cách từ M đến TCĐ là d1 = | m – 1 |, khoảng cách từ M đến TCX là
d2 =

2
5 m −1

+/ d1.d 2 =

2
(đpcm)
5

1
1 2
3/ Kẻ BH ⊥ AI ⇒ dt ( ∆ABC ) = BH.AI = .
. 2 ( m − 1) = 2 (đvdt) Từ đó ta có
2
2 m −1

điều phải chứng minh..
2x 2 − 7x + 7
Ví dụ 2 . Cho h/s y =
(C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song
x−2
với đường thẳng y = x + 4.


+/ Ta có y ' =

x 2 + 2x + 3 − a

( x + 1)

2

+/ Đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x
khi và chỉ khi PT

x 2 + 2x + 3 − a

( x + 1)

2

2

= −1 có nghiệm ⇔ 2 ( x + 1) = a − 2 có nghiệm x

khác (-1) ⇔ a − 2 > 0 ⇔ a > 2 .
+/ Với a > 2 thì PT x2 + 2x +3 – a = 0 có hai nghiệm phân biệt khác (-1) hay PT y’ =
0 có hai nghiệm phân biệt.
+/ Vậy hàm số đã cho có CĐ, CT.

Ví dụ 4
x2 + x − 1
Cho hàm số y =
x+2

2

( d1 ) : y = − x + 2

2 −5

+/ Với x = −2 −

2
3 2
⇒y=−
− 3 Phương trình tiếp tuyến là
2
2

( d1 ) : y = − x − 2

2 −5

Ví dụ 5. Cho hàm số y =

x 2 + 4x + 1
x

Qua điểm A(1; 0) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị.

Giải:
+/ Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến

hệ phương trình sau có nghiệm:

(3)
 x = − 2
⇒ (H) ⇔ 
1 − 1 = k (2)
 x 2
+/ (H) sẽ có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm thỏa mãn (2)

k + 4 ≠ 0
k ≠ 4

⇔  ( k + 4 )2
⇔ 2
⇔ k = −6 ± 2 6
=k
k + 12k + 12 = 0
1 −

4

9


+/ Vậy có 2 tiếp tuyến qua A(1;0)

(

)

(


.
x0 − 1

+/ Đường thẳng y = kx + m sẽ là một tiếp tuyến ( qua M(0; m) ) khi và chỉ khi
phương trình
m=

− x ( x 2 − 2x − 3)

( x − 1)

2

+

x 2 + 2x + 1
x −1

hay (m -3)x2 – (2m+2)x +m + 1= 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho
x12 − 2x1 − 3 x 22 − 2x 2 − 3
.
= −1 (2)
2
2
( x1 − 1)
( x 2 − 1)
+/

m ≠ 3 m > −1
(1) có nghiệm ⇔ 


 ( x − 1)2 
2



)

2

+ x 2 ) + 1) − 2 ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) + 2 + 8 = 0

Theo định lí Viet ta có : x1 + x 2 =

2 ( m + 1)
m−3

( 2 ) ⇔ m 2 − 8m + 1 = 0

10

; x1 x 2 =

m +1
nên
m−3


⇔ m = 4 ± 15 ( thỏa mãn (3)).
+/

Bài 4. Viết PTTT của (C): y =
y=

2x 2 − 3x − 1
biết tiếp tuyến vuông góc với đường
4x + 3

−1
x + 2.
3

Bài 5. Cho đồ thị (C) y =

x 2 − 5x − 3
. CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm
x+2

để tiếp tuyến tại đó song song với nhau đồng thời tập hợp các đường thẳng nối các
cặp tiếp điểm đồng quy tại một điểm cố định.

Bài 6. Viết PTTT của (C) y =

x 2 + 2x + 2
biết tiếp tuyến qua A( 1; 0).
x +1

−x2 + x + 1
Bài 7. Viết PTTT của (C) y =
biết tiếp tuyến qua A( 0;5/4).
x +1

x →+∞
x →−∞
+/ Vậy với a ≠ 0 thì (Ca) có tiệm cận xiên là đường thẳng (d): y = -x + 1 + a
+/ Đường thẳng (d) đI qua A(2; 0) khi và chỉ khi a = 1.
+/ Do đó a = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho (Cm): y =

x 2 + mx − 1
. Tìm m để tiệm cậ xiên của (Cm) tạo với hai trục
x −1

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.

Giải:
+/ Ta có y = f ( x ) = x + 1 + m +

m
x −1

+/ Lập luận như VD1, với m ≠ 0 (Cm) có tiệm cận xiên là (d): y = x + 1 + m.
+/ Gọi A = d ∩ Oy, B = d ∩ Ox , khi đó A(0; m+1), B(-m-1; 0)
1
1
2
+/ Khi đó dt( ∆OAB) = OA.OB = ( m + 1) , nên (m + 1)2 = 16, từ đó ta được m =3
2
2
và m = -5.
+/ Vậy m = 3, m= -5 là các giá trị phải tìm.

x

1/ Chứng minh đường thẳng (d): y = 3x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
2/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆):
y = 2x + 3.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
x2 + 4
= 3x + 2 ⇔ 2x 2 + mx − 4 = 0 (1)
x
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm
phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet :
x1 =

xA + xB
m
m
= − , y1 = 3x1 + m =
2
4
4

Vậy I ∈ ∆ ⇔ y1 = 2x1 + 3 ⇔

m
 m
= 2 −  + 3 ⇔ m = 4
4

m > 2
 g ( −2 ) ≠ 0
+/ Với m < -2 hoặc m > 2 khi đó đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt .
Giả sử M1(x1; y1), M2(x2; y2)
+/ Khi đó theo bài ra ta có :
2

( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )
2
⇔ ( x 2 + x1 ) − 4x1 x 2 = 12
M1M 2 =

2

2

2

2

= 12 ⇔ ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) = 12 ⇔ ( x 2 − x1 ) = 12

+/ Do x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Viet :
x1 + x2 = m – 4, x1x2 = 5 – 2m
Từ đó ta có m = -4 hặc m = 4.
x2 + x − 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
x −1
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai
nhánh của đồ thị (C).

+/ PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

x2 + x + 2
5
5
9

= kx + ⇔ g ( x ) = ( k − 1) x 2 −  k −  x − = 0, x ≠ 1
x −1
2
2
2

+/ Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) đối xứng nhau qua I và cùng thuộc (C), khi đó x1, x2 là

3
2 =0⇔ k = 3.
nghiệm PT g(x) = 0 và x1 + x2 = 0. Từ đó
k −1
2
k−

 x = −3 ⇒ y1 = −2
x2 9
+/ Với k = 3/2 thì g ( x ) =
− =0⇔ 1
2 2
 x 2 = 3 ⇒ y2 = 7
+/ Vậy A(-3;-2), B(3;7) là các điểm phảI tìm.


VI/ Bài tập tổng hợp

x 2 − 3x + m
Bài 1. Cho hàm số: y =
x−2
1/. Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.

15


2/. Khảo sát và vẽ với m=3.
3/ Viết PT tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0).

x 2 − 2mx + m + 2
Bài 2. Cho hàm số: y =
(Cm)
x−m
1/. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1.
2/. Khảo sát với m=1.

x 2 − 2 | x | +3
3/. Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phương trình
=a
| x | −1
x 2 + mx − 2m + 4
Bài 3. Cho hàm số: y =
x+2
1/. Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
2/. Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1


x 2 + 2x − 1
x −1

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Viết phương trình tiếp tuyến của đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông góc
với tiệm cận xiên. CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm cận với
tiếp tuyến.
3/. Viết phương trình tiếp tuyến qua A(3; -2).

x 2 + 2x + 2
Bài 8. Cho hàm số: y =
x +1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2 lần
khoảng cách đến trục tung.

x2
Bài 9. Cho hàm số: y =
(C)
x −1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến
vuông góc với nhau.

mx 2 + x + m
Bài 10. Cho hàm số: y =
mx + 1
1/. Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+∞)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C).

x
g
'
x
=
( )
 ( )

và chỉ khi hệ PT 

điểm của hai đường cong đó.
+/ Tham khảo BT 1.62, 1.63, 1.64, 1.83, 1.87 sách BT GT 12NC .
+/ Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm m để (C1): y = x4-6x3 + 12x2 -14x + 2m2 + m và
(C2): y = 2x3 – 10x2 +10x + 1 tiếp xúc nhau.

x2 − x + 1
Bài 2. Tìm m để (C): y =
và (P): y = x2 + m tiếp xúc nhau.
x −1
Bài 3. Tìm m để (C1): y = 3x(3x- m + 2) + m2 – 3m và (C2): y = g(x) = 3x+1 tiếp xúc
nhau.

18