Ôn tập hàm số lượng giác
VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx

b. y =

2 + 3 cos 2 x
4

c. y = 2 sin 3x + 5

Giải
a. Vì -1 ≤ sinx ≤ 1 nên -2 ≤ 2sinx ≤ 2 do đó 1 ≤ 3 + 2sinx ≤ 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1
⇔ x=

π
+ kπ , k ∈ Z.
2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
⇔ x=-

π
+ kπ , k ∈ Z.
2

1 2 + 3 cos 2 x 5
≤ .
b. Vì 0 ≤ cos x ≤ 1 nên 2 ≤ 2 + 3cos x ≤ 5 do đó ≤
2


2

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 + b 2 ta được
a
a +b
2

2

b

sin x +

(vì (
Đặt cos α =

a +b
2

a
a +b
a
2

2


⇔

cos α .sinx + sin α .cosx =
sin(x + α ) =

c
a2 + b2

c
a2 + b2

(3)

Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý:
• Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔

c
a2 + b2

≤1

⇔ a2 + b2 ≥ c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .
• sinx ± cosx = 2 sin(x ±

π
)
4

Giải
a. 2sinx – 2 = 0 ⇔ 2sinx = 2
π

 x = 4 + k 2π
⇔
 x = π − π + k 2π

4

⇔ sinx =

π

 x = 4 + k 2π
(k ∈ Z ) ⇔ 
 x = 3π + k 2π

4

π
2 ⇔
sinx = sin
4
2
(k ∈ Z )


π


⇔
(k ∈ Z )
 x = − π + k 2π

3
π

 x = 6 + kπ

π
Vậy nghiệm của phương trình là:  x = + k 2π
3

 x = − π + k 2π

3

d. 2sin2x – sin2x = 0
⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0

(k ∈ Z )

⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0

sin x = 0
⇔
sin x − cos x = 0

 x = kπ
⇔

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0
b. 3cotx + 3 = 0 c. 1 - 3 tan(5x + 200) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)=

π
2π
π
f. cos(x +
)=
4
5
3

g. (2cosx + 2 )(tan(x +100) - 3 ) = 0
h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x = 3
j. sin2x +2cox = 0
k. tan(x +1) –
2008=0
l. 3tan2x + 3 tanx = 0
m. 4sin2x – sin22x = 0 n. 3 - 2sin3x = 0
p. cot(x +

π
3
) = 1 q. cos2(x – 300) =
4
4



1
ta được
2

π

x = − + k 2π

1
π
6
(k ∈ Z )
sinx = - ⇔ sinx = sin(- ) ⇔ 
2
6
 x = 7π + k 2π
6

π

 x = − 6 + k 2π
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = 7π + k 2π

6

b. cot22x – 4cot2x -3 = 0


⇔
x =


c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0
⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
sin x = 1
⇔
sin x = 1

2

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2
π

x = + k 2π

1
π
6
(k ∈ Z )
Với sinx = ⇔ sinx = sin ⇔ 
2
6
 x = 5π + k 2π
6

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c. cot2x – 4cotx + 3 = 0
d. tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0
e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0


g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0

h. cos2x + 9cosx + 5 = 0

3
i. sin22x – 2cos2x + = 0
4

j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

VD3: Giải các phương trình sau:
a. 3 sinx + cosx = 2
b. cos3x – sin3x = 1
c. 3sin2x + 4cos2x = 5
d. 2 sinx – cosx = 3
Giải
a. 3 sinx + cosx = 2
2
Chia hai vế pt trên cho
3 + 12 = 2 ta được
1
3
sinx + cosx = 1

1

sin3x =

1

2
2
2
1
π
π
⇔ cos cos3x - sin sin3x =
4
4
2
1
π
⇔ cos(3x + ) =
4
2

π
π
) = cos
4
4
π
= + k 2π
4


6
3

c. 3sin2x + 4cos2x = 5
Chia hai vế pt cho 32 + 4 2 = 5 ta được
3
4
sin2x + cos2x = 1
5
5
4
3
Kí hiệu α là cung mà sin α = , cos α = ta được
5

sin2x cos α + sin α cos2x = 1
⇔ sin(2x + α ) = 1
π
+ k2 π
2
π α
⇔ x =
- + kπ
4
2

5

⇔ 2x + α =

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không
thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x
ta được:
2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x
⇔
tan2x + 4tanx – 5 = 0
π

x = + kπ

⇔
⇔
(k ∈ Z )
4

 x = arctan(−5) + kπ
π

x = + kπ

(k ∈ Z )
4
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = arctan(−5) + kπ
 tan x = 1
 tan x = −5


b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta được


1
π
4
2
π π

2 x + 4 = 4 + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
2 x + π = 3π + k 2π
4
4


sin(2x + ) =

 x = kπ
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + kπ

4
 x = kπ
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là:  π
x = + kπ

4