BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
======

LÊ THỊ THANH HÀ

KHẢO SÁT HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ KHÍ Rb 5 MỨC NĂNG LƯỢNG
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
Mã số: 60 44 11 09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HUY BẰNG

\

VINH, 2013
Mục Lục

Trang


Mở Đầu
Chương I: TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG
LASER
1.1. Tương tác giữa nguyên tử với trường laser
1.1.1. Định nghĩa và tính chất của ma trận mật độ
1.1.2. Phương trình ma trận mật độ
1.2. Các hiệu ứng kết hợp do sự tương tác nguyên tử và trường
laser

Kết luận chung
Tài liệu tham khảo

23
28
30
33
35
36
37
38

2


MƠ ĐẦU
Hấp thụ và tán sắc là hai tham số cơ bản đặc trưng cho các tính chất
quang học của môi trường. Hai hệ số này có quan hệ nhân quả theo hệ thức
Kramer-Kronig và thường được biểu diễn tương ứng theo phần thực và phần
ảo của độ cảm điện χ. Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của các
hệ số này thay đổi mạnh theo tần số và quy luật thay đổi được quy định bởi
đặc trưng cấu trúc của các nguyên tử trong môi trường. Tuy nhiên, sự ra đời
của ánh sáng laser thì tính chất quang học của các nguyên tử có thể được thay
đổi một cách “có điều khiển”. Tiêu biểu cho điều này là sự tạo hiệu ứng trong
suốt cảm ứng điện từ (electromagnetically induced transparency). Đây là hiệu
ứng được đề xuất vào năm 1989 và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991
bởi nhóm nghiên cứu ở Stanford. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa
giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự
kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt
của môi trường đối với một chùm quang học nào đó.

định bằng phương pháp số tại một vài giá trị thông số của trường laser điều
khiển. Để khắc phục hạn chế này, chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp giải
tích đã được áp dụng cho các hệ nguyên tử 3 mức trong công trình và các
công trình của nhóm Quang học quang phổ tại trường Đại học Vinh cho hệ 3
mức, bốn mức vào hệ 5 mức này [6]. Theo đó, điều kiện cường độ chùm laser
dò yếu so với chùm laser điều khiển được đưa vào để đơn giản hóa quá trình
giải hệ phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử.
Với lý do này chúng tôi chọn đề tài "Khảo sát hiệu ứng trong suốt
cảm ứng điện từ trong môi trường nguyên tử Rb 5 mức năng lượng" làm
đề tài luận văn thạc sỹ của mình.
Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu sự thay đổi hệ số hấp thụ và tán sắc của
hệ nguyên tử Rb85 cấu hình bậc thang năm mức.
Cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,

4


bao gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết về tương tác giữa nguyên tử với trường
quang học dựa trên lý thuyết bán cổ điển. Tìm hiểu về hệ nguyên tử hai mức,
ba mức năng lượng từ đó rút ra bản chất vật lý của dao động Rabi, hiệu ứng
trong suốt cảm ứng điện từ (EIT) làm cơ sở để dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc
của hệ nguyên tử năm mức cấu hình bậc thang.
Chương 2: Dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc của nguyên tử Rb 85 cấu hình bậc
thang năm mức được kích thích kết hợp bởi trường laser dò có cường độ yếu
và laser điều khiển có cường độ mạnh. Từ đó, khảo sát ảnh hưởng của hệ số
hấp thụ và hệ số tán sắc theo các thông số của trường điều khiển.

5



A U n (r ) = C n (t ) U n (r )


⇒ A Ψ (r , t ) = ∑ C n A U n (r ) .

(1.2)

n

Ký hiệu giá trị trung bình của đại lượng vật lý A trong trạng thái

Ψ (r , t ) là



A thì A = ψ ( r , t ) Aψ ( r , t ) , ta có:



Ψ (r , t ) A Ψ (r , t ) =

∑C

*
m

n,m




Ta ký hiệu:

(1.4)

ρ nm = C m* C n

(1.5)

Ma trận được tạo bởi các giá trị ρ nm được gọi là ma trận mật độ.
C m* C n Amn = ∑ ρ nm Amn = ∑ ( ρA) nm = Tr ( ρA)
Như vậy, A = ∑
m,n
m ,n
m,n

(1.6)

Do ρ nm = C m* C n nên ρ nm = ρ*nm , vì vậy ρ là ma trận tự liên hợp. Một kết
C m* C m = 1 . Kết quả này được suy ra từ điều
quả quan trọng khác là Tr ( ρA) = ∑
m

kiển chuẩn hóa. Chúng ta nhớ lại rằng theo quan điểm lượng tử thì tất cả các
thông tin về trạng thái của một hệ đã cho có thể được biểu diễn trong các số
hạng của giá trị kỳ vọng của các toán tử được chọn một cách thích hợp. Như
vậy, vấn đề cơ bản bây giờ là phải tính toán các giá trị kỳ vọng. Vì giá trị kỳ
vọng của bất cứ toán tử nào cũng có thể thu được bằng cách sử dụng phương
trình (1.6), nên ma trận mật độ chứa tất cả các thông tin cần thiết về hệ.
Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình

trung bình theo tập hợp của C m* C n , nó có liên quan với lưỡng cực phát xạ của
tập hợp các hệ đang xét.
Chúng ta cũng có thể biểu diễn các hệ C m* C n ở trên đơn giản hơn là
các phần tử ma trận của toán tử Ψ Ψ được phản ánh thông qua các vecto cột
của hàm sóng Ψ .
u m Ψ Ψ u n = C m* C n .

(1.8)

ρ= Ψ Ψ .

Từ (1.5) và (1.8), ta được:

Như trên đã trình bày, trong cơ sở của { u n

(1.9)

}

toán tử mật độ được biểu

diễn bằng một ma trận, gọi là ma trận mật độ với các thành phần:
ρ nm = um ρ un = Cm* Cn .

Ở đây ta cần lưu ý rằng các phần tử ma trận ρ mn là hermic, tức là:
*
ρnm
= Cm* Cn = ρmn ↔ ρ + = ρ

(1.10)

∂t
n

(1.12)


Nhân vô hướng hai vế phương trình (1.12) với U m (r ) , đồng thời dung


tính trực chuẩn của hàm U n (r ) ta có:
i





∂
Cn ( t ).U m ( r ).U n ( r ) = ∑ Cn ( t ).U m ( r ) H .U n ( r )
∂t
n
⇒ i ∑
n

∂Cn (t )
= ∑ Cn (t ) H mn .
∂t
n

(1.13)


quá trình phân rã do phát xạ tự phát (là quá trình các nguyên tử đang ở trạng
thái có mức năng lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng
lượng thấp hơn) và phân rã do va chạm.
Phương trình (1.15) chỉ đúng trong trường hợp lý tưởng nghĩa là khi

9


cường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các
mức năng lượng không suy biến và khi không chú ý đến phân rã của các trạng
thái. Thực tế do nhiều nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng
và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó.
Sự mở rộng có thể do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộng Doppler...Vì
vậy, để khảo sát thực tế hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các yếu tố
ảnh hưởng trên vào phương trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảm
tương ứng với các thăng giáng, các quá trình phân rã. Khi đó phương trình
(1.15) trở thành:
dρ
i
= − [ H , ρ ] + Λρ .
dt
h

(1.16)

Trong đó, H là Hamiltonian toàn phần của nguyên tử, thông thường H
được biểu diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử
với trường, phần còn lại đặc trưng cho Hamiltonian của nguyên tử khi không
có trường.
+ Trong gần đúng lưỡng cực ta có thể biểu diễn [6].

không thể quan sát được trong hệ nguyên tử hai mức. Tính chất quan trọng
mà dẫn tới sự khác biệt giữa các hệ ba mức hay nhiều mức với hệ hai mức là
sự liên kết giữa hai trường laser với tần số khác nhau. Một sự pha trộn các
nguyên tử hai mức khác nhau có thể cộng hưởng với nhiều hơn một trường
đơn sắc. Tuy nhiên, mỗi trường laser chỉ cộng hưởng với một loại nguyên tử
và thậm chí nếu cường độ là đủ cao để đẩy các nguyên tử ra xa trạng thái cân
bằng, thì mỗi trường laser không có ảnh hưởng lên nhau và do đó không có sự
liên kết giữa các chùm khác nhau. Mặt khác, trong hệ nguyên tử ba mức, hai
sóng laser với các tần số khác nhau có thể tương tác với cùng một nguyên tử.
Nếu chúng là đủ mạnh để đẩy hệ nguyên tử ra xa sự cân bằng, thì mỗi sóng
quang học có thể ảnh hưởng khác nhau – môi trường “trộn” các sóng.
Môi trường nguyên tử cho phép các cơ chế khác nhau để liên kết các
trường laser khác nhau mà chúng ta có thể phân loại thành các nhóm một cách
khái quát đó là các nhóm cơ chế “kết hợp” và “không kết hợp”. Trong trường
hợp liên kết kết hợp, các nguyên tử liên kết thông tin pha và biên độ giữa hai
chùm, trong khi đó chỉ có thông tin cường độ được liên đới trong trường hợp
không kết hợp.
Một thí dụ điển hình về cơ chế không kết hợp là bơm quang học,
trong đó một sóng bơm quang học mạnh (mũi tên đậm trong hình 1) làm di
chuyển độ cư trú ra xa dịch chuyển tới một dịch chuyển mà nó liên kết và do

11


đó làm tăng lên số các nguyên tử tương tác với chùm dò. Mặt khác các sự
tương tác kết hợp, trao đổi độ liên kết giữa các dịch chuyển khác nhau (trái
ngược với các độ cư trú).

Hình 1.1 Bơm quang học trong các hệ ba mức.
1.2.2. Dao động Rabi

(1.20)

Toán tử Hamilton toàn phần của hệ,
H = H0 + H I .

(1.21)

là tổng của Hamilton không nhiễu loạn H0 của nguyên tử tự do và Hamilton
tương tác HI.
Bằng cách sử dụng tính chất đầy đủ của hệ, 1 1 + 2 2 = 1 , chúng ta viết H0
dưới dạng:
H 0 = ( 1 1 + 2 2 ) H 0 ( 1 1 + 2 2 ) = hω1 1 1 + hω2 2 2 .

(1.22)

ở đây, chúng ta đã sử dụng H 0 1 = hω1 1 và H 0 2 = hω2 2 .
Tương tự, phần Hamilton HI biểu diễn sự tương tác của nguyên tử với trường
có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:
H I = −exE (t )

= −e ( 1 1 + 2 2 ) x ( 1 1 + 2 2 ) E ( z , t )
= −(d12 1 2 + d 21 2 1 ) E (t ).

(1.23)

*
trong đó, d12 = d 21 = e 1 x 2 là phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện.

Bây giờ, chúng ta mô tả trạng thái của hệ theo hình thức luận ma trận
mật độ như đã đưa ra ở trên. Trạng thái của hệ là tổ hợp tuyến tính của các

13


ρ 21 = ρ12* .

(1.25d)
2

ρ 22 = 2 ρ 2 = C2 (t ) .

(1.25e)

Như vậy, dạng ma trận của toán tử mật độ là:
ρ
ρ =  11
 ρ 21

ρ12 
.
ρ 22 ÷


(1.26)

Rõ ràng, ρ11 và ρ22 là các xác suất mà nguyên tử ở trong trạng thái trên và
dưới, tương ứng. Còn các phần tử ma trận nằm ngoài đường chéo chính thì
xác định sự phân cực nguyên tử, tức là độ liên kết mức.
Trở lại Hamilton tương tác, bây giờ chúng ta viết lại dưới dạng các
phần tử ma trận như sau,
H I = −(d12 1 2 + d 21 2 1 ) E (t ) = −(d12 ρ12 + d 21 ρ 21 ) E (t ).

( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12 .
h

ρ& 21 = −iω0 ρ 21 −

idE
( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ 21.
h

(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)

Giải các phương trình (1.35 – 1.38) trong gần đúng sóng quay, với cách đặt
ρ12 = ρ%12eiωLt , ρ 21 = ρ% 21e −iωLt , ta thu được kết quả [1]

ρ& 11 =

idE0
( ρ% 21 − ρ%12 − ρ%12 e 2iωLt + ρ% 21e −2iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ 2 ρ 22 .
2h

14

(1.33)


ρ& 22 = −


h

Ta tính lại các phần tử ma trận mật độ như sau:
ρ& 11 =

iΩ
( ρ% 21 − ρ%12 ) − Γ1 ρ11 + Γ 2 ρ 22 .
2

(1.37)

iΩ
ρ&% 21 = − ( γ 21 − i∆ ) ρ% 21 − ( ρ 22 − ρ11 ) .
2

(1.38)

iΩ
( ρ% 21 − ρ%12 ) − Γ 2 ρ22 .
2

(1.39)

ρ& 22 = −

ρ&%12 = − ( γ 21 + i∆ ) ρ%12 +

iΩ
( ρ22 − ρ11 ) .
2

2

d E
2
Ω R = ∆12
+  12 ÷ .
 h 

(1.41)

trong đó ∆12 = ωc − ω12 là độ lệch tần số của trường laser so với tần số dịch

16


chuyển nguyên tử, d12 là phần tử ma trận momen lưỡng cực dịch chuyển giữa
hai trạng thái, còn E là cường độ điện trường của trường laser. Chúng ta có
thể minh họa sự thay đổi độ cư trú sau mỗi chu kỳ dao động như trên hình
1.2.
Chúng ta thấy rằng, khi độ lệch tần tăng thì tần số Rabi tăng và do đó
chu kì dao động Rabi T = 2π / Ω R giảm xuống. Tức là, khi tần số của trường
ngoài xa tần số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi độ cư
trú là rất nhỏ và có thể bỏ qua. Còn trong sự cộng hưởng thì tần số dao động
Rabi tỉ lệ với cường độ trường laser, Ω R =

d12 E
.
h

thời gian

Từ (1.17), hàm sóng phụ thuộc thời gian tương ứng là:
Ψ1 ( r , t ) = exp ( −iE1t / h) ψ 1 (r ).
Ψ 2 ( r , t ) = exp ( −iE2t / h) ψ 2 (r ).

(1.43)

Ψ 3 ( r , t ) = exp ( −iE3t / h) ψ 3 (r ).

Hàm sóng Ψ (r , t ) mô tả trạng thái của nguyên tử và là tổ hợp tuyến
tính của các hàm sóng thành phần ψ 1 ( r ) , ψ 2 ( r ) và ψ 3 ( r ) tương ứng với các
trạng thái | 1 , | 2 và | 3 :
Ψ (r , t ) = C1Ψ1 (r , t ) + C2 Ψ2 ( r , t ) + C3Ψ3 (r , t ) ,

(1.44)

trong đó C1, C2 và C3 là các hệ số không phụ thuộc vào không gian.
Đưa vào hệ nguyên tử hai nguồn laser có tần số và cường độ thích
hợp, một nguồn liên kết có cường độ mạnh (Ec) được điều hưởng tần số để
kích thích nguyên tử từ trạng thái | 2〉 lên trạng thái | 3〉 và một chùm dò có
cường độ Ep yếu hơn nhiều so với chùm liên kết với tần số điều hưởng trong
dịch chuyển từ trạng thái | 1〉 (trạng thái cơ bản) lên trạng thái | 2〉 . Hệ nguyên
tử có ba trạng thái tham gia vào quá trình tương tác với hai trường laser ngoài

18


như trên là hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang. Trong đó, dịch chuyển
giữa | 1〉 và | 3〉 bị cấm theo quy tắc dịch chuyển lưỡng cực. Phương trình mô tả
tương tác của hai nguồn ánh sáng laser với hệ nguyên tử ba mức có dạng
(1.17). Trong trường hợp trường tương tác là laser, phương trình (1.17) trong


(1.46)

Trong đó, Hamiltonian toàn phần của phương trình theo (1.18).
Do bước sóng λ của sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của
nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích nguyên
tử. Do đó, bằng cách sử dụng tính chất đầy đủ của hệ, H 0 được viết dưới dạng:
H 0 = ( 1 1 + 2 2 + 3 3 ) H 0 ( 1 1 + 2 2 + 3 3 ).
= h ω1 1 1 + h ω2 2 2 + h ω3 3 3 .

(1.47)

ở đây, chúng ta đã sử dụng H 0 1 = h ω1 1 ; H 0 2 = h ω2 2 và H 0 3 = h ω3 3
Tương tự, phần Hamiltonian của H I biểu diễn sự tương tác với trường
có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:

19


HI =

3

∑− d

i ≠ j =1

j + j i)=
ij Eij ( i


và ∆2 = ωc −ω32 tương ứng là độ lệch tần của chùm dò và

chùm liên kết so với tần số chuyển giữa các mức.
γ ij biểu thị tốc độ phát xạ tự phát từ mức i về mức j, (i, j =1,2,3),

γ ij =

Γi + Γ j
với Γi , Γ j tương ứng là tốc độ phân rã tự nhiên tại mức i và j.
2

1.2.4 Bản chất vật lí về sự trong suốt cảm ứng điện từ
Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ là kết quả của giao thoa lượng tử
giữa các dịch chuyển trong nguyên tử (phân tử) dưới sự kích thích kết hợp
của các chùm laser. Do sự giao thoa này, môi trường sẽ trở nên trong suốt đối
với một chùm sáng (chùm dò) dưới sự điều khiển của một chùm sáng khác
(chùm liên kết).
Với mỗi chùm dò nhất định khi đi vào môi trường sẽ xảy ra hiện
tượng tán xạ. Do nhiều nguyên nhân nhưng nguyên nhân chính là do hệ
nguyên tử chuyển động và nhiệt độ là nguyên nhân quyết định vận tốc chuyển
động của hệ nguyên tử này. Với sự mở rộng Doppler tạo ra sẽ làm cho vận tốc
chuyển động của hệ nguyên tử thay đổi và kết quả là sẽ tạo được một tần số
thích hợp (cộng hưởng) khi đó hệ số hấp thụ của hệ nguyên tử sẽ giảm và môi

20


trường sẽ trở nên trong suốt hơn.
Trong cơ chế bẫy độ cư trú (bẫy độ cư trú là hiện tượng các trạng thái
của nguyên tử “bẫy” lại dưới tác dụng đồng thời của hai hay nhiều trường

hiệu ứng Doppler là đáng kể. Vì vậy phải nghiên cứu chúng trong phòng lạnh
(cỡ nK) mới thấy được hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ được điều khiển
rõ nét như thế nào.

22


KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Chương này đã dẫn ra phương trình ma trận mật độ theo lý thuyết bán cổ
điển cho trường hợp lý tưởng và khi xét đến các quá trình phân rã do va
chạm. Theo đó, sự tiến triển của hệ nguyên tử trong các trường laser có thể
được mô tả theo các phần tử ma trận mật độ tuân theo phương trình Liouvile.
Tùy thuộc vào số trạng thái (hay là số mức năng lượng) tham gia trong quá
trình tương tác với trường ngoài, ma trận mật độ sẽ có dạng đơn giản hoặc
phức tạp. Với hệ nguyên tử 2 mức năng lượng, ma trận mật độ sẽ có dạng
2x2 và độ cư trú của các mức sẽ dao động theo tần số Rabi. Với các hệ
nguyên tử nhiều mức, độ phức tạp sẽ tăng lên do có nhiều kênh dịch chuyển
xuất hiện.
Để nghiên cứu tính chất quang học của môi trường nguyên tử, chúng ta cần
giải phương trình Liouvile để tìm các phần tử ma trận mật độ, từ đó suy ra hệ
số hấp thụ và hệ số tán sắc của môi trường. Đây là hai thông số cơ bản đặc
trưng cho tính chất quang học của môi trường.

23


CHƯƠNG II
KHẢO SÁT HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ NGUYÊN TỬ Rb 5 MỨC NĂNG LƯỢNG
2.1 Phương trình ma trận mật độ của nguyên tử năm mức

dò kích thích dịch chuyển 1 → 2 còn laser điều khiển kích thích mức 2
lên nhóm hai mức gần nhau là 3 ; 4 và 5 (hình 2.1). Hai mức 3 và 4
sắp xếp cách nhau một khoảng phổ tương ứng là δ1 ; Hai mức 3 và 5 sắp
xếp cách nhau một khoảng phổ tương ứng là δ 2 ; [MHz].
Sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử dưới sự kích
thích kết hợp của chùm laser dò và laser liên kết có thể được mô tả thông qua
ma trận mật độ bởi phương trình Liouville:
∂ρˆ
i
= −  Hˆ , ρˆ  + Λρˆ .
∂t
h

(2.2)

Trong đó:
• ρˆ là toán tử mật độ cho hệ năm mức và được biểu diễn dưới dạng ma
trận 5 × 5 :
 ρ11
ρ
 21
ρ =  ρ31

 ρ 41
 ρ51

ρ12
ρ 22
ρ32
ρ 42


ii

= 1 . Các phần tử nằm ngoài đường chéo ρij ( i ≠ j )

cho ta xác suất dịch chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j và phải thỏa

25