CÁC CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
MÔN:
MÔN: TOÁN
TOÁN


Phần I: các dạng phơng trình cơ bản.
Bài 1. Giải các phơng trình bậc nhất sau:
1/

3/ 5(x-2) + 3 = 1 2(x-1)
4/ 5.x 45 = 0

2x 3 x 1 x + 2

=
2
3
6

2/ 2(x-1) - 3 = 5x + 4

Bài 2. Giải các phơng trình bậc hai khuyết b,c
1/ 2x2 - 7x = 0

3 2
9
x + x=0
4
5

11/ 25x2 - 1 = 0

9/ 9x2 + 16 = 0
10/ 36 x2 7 = 0

2

12/ - 4+ x = 0
16

Bài 3. Giải các phơng trình sau:
1. (x- 1)( x - 2) = 10 - x
2. x2+ 2( 1 + 3 ) x + 2 3 = 0

3. (2x + 1) ( x+4) = (x-1) (x- 4)
4.a) x2 + ( x + 2)2 = 4 b) x( x + 2) - 5 = 0

5/ 5x2 - 2x + 6 = 13
6/ x2- 2 3 x - 6 = 0

Bài 4. Giải các phơng trình chứa ẩn ở mẫu sau:
1
1
1
+
=
x 5 x 1 x
x +1 x 1
2/


x+2 x+2 3

2
7/ x + 3 x + 1 = x 24 x + 24

4/

x2 x2
x 4
2
8/ x 3 x 2 = x 2 7 x
x +1 x 1
x 1

9/

14
4 x
7
1
+
=

x 9 3+ x x +3 3 x
2

Bài 5. Giải các phơng trình sau:
1/ 3x3 + 6x2 - 4x = 0
3/ x3 - 5x2 - x + 5 = 0


12

Bài 6. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phơng trình vô tỉ
1/

4 x 2 4 x + 1 = 2002

4/ x-

2/

2 y 2 20 y + 50 = 50

5/

x22 x3 = 2

3/

43 x = x 1

6/

x+2 x6 = 2

x 1 3 = 0

Bài 7. Giải các hệ phơng trình sau:
x 2 5 x 6 = 0
2

10/ x2 - x - 6 = 0

5 x 2 + 4 x 1 = 0
2
x x 2 0

3.

15 x 20 > 0
4 x 6 > 0

7.

25 5 x > 0
3 x 6 > 0
20 15 x > 0
8.
2 x 5 > 0

4.


Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
- Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó.
Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN
Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x
Kiến thức bổ trợ:
1. Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi.

x 1
A =

x
+
1


2

x + 1

x 1

1
x
:
; Với x > 0 và x 1

ữ
2 x
ữ
2



1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm x để


a) Rút gọn.
GTLN đó.

2. Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

A=

a) Rút gọn A.

x2 + x
x x +1

x x

+

x
2 x 1



+1

2x + x
x

b) Tìm x để A = 6

A
Bài 7: Cho biểu thức:

> 2.

x 1

2 2
Bài 4: Cho biểu thức:
A=

x

1



x + x +1

A

x x +1
x+ x

+

x +1
x

, với x 1, x > 0

2 x + x
Bài 8: Cho biểu thức: A =


1

x +1

:

x x x x +x+ x
x +2
Bài 10: Cho biểu thức: K =
+
3
x

1
1. Rút gọn với x > 0 ; x
4
2

1. Tìm x để A có nghĩa.

2. Rút gọn A

2 4 x 3 x +1 x
3 :

x +1
x +1
3 x
2


Bài 12: Cho biểu thức:P =
với a 0, a 1


2
ữ: 1 a
a
a

1
a

1
3 a + a 1
ữ


1
1. Rút gọn.
2. Tìm a để
đạt GTNN. Tìm
P

(

)

GTNN đó.


a) Tìm TXĐ
A=1

1
9

x
6
1
+
+
x x 4 x 63 x
x +2

b) Rút gọn

c) Tính A khi x = 9

d) Tìm giá trị của x để

x+ x
x x
Bài 15: Cho biểu thức: Y =
+ 1
+ 1 , ( x > 0; x 1 )
x
+
1
x



1. Rút gọn biểu thức A

>1

Bài 18: Cho biểu thức:A =

4
ữ:
x +1


2 x
x
ữ với x 0
x +1 ữ



2. Tìm giá trị của x để A

a +3
a 1
4 a 4
( a 0, a 4 )

+
4 a
a 2
a +2



( x
x +
1
1
x +

1

0;

x 1)
1. Rút gọn biểu thức A 2.Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị
nguyên.
x+2
x
1
+

ữ
ữ:
x
x

1
x
+
x
+

x 1 1
x
2
B =

:

+
ữ

ữ x +1 1 x x 1 ữ
ữ với x 0, x 1
x

1
x
+
1



2
2+ x
4x
4
42 x + x
C=
:



ữ với b 0 và b 9 .
b9 b 3
b +3ữ

4 a 1
a +1

G = 1 ữì
ữ với a > 0 và a 4 .
a 2ữ
a a +2

1 1
1
1
+
:

H=
ữ
ữ với a > 0 và a 1 .
a +1 a 1
a
a 1

A=

(

I=

x +2
x +1

)
L= (
):(
x
x 1
x 1
x 2
x2 x
2 x + x 2( x 1)

+
M=
x + x +1
x
x 1

Chú ý: - Tất cả các biểu thức trên coi nh đã xác định

5

với x 0; x 1


Hàm số y = ax + b

Phần III: hệ ph ơng trình hai ẩn và Hàm số y = ax
+ b

Hàm số y = ax + b

Bài 1: Với giá trị nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a) y =( 2m + 1 )x - 3m + 2

m +1

7

b) y = 5 m ( x - 1 )
c) y =
x+
m 1
2
d) y = 4mx + 3x - 2
e) y = ( m2 - 4m )x2 + ( m- 4 )x + 3
Bài 2. Chứng minh các hàm số sau:
a) y = (6 + 2 2 )x - 9x + 3 nghịch biến x R
b) y = ( 11 - 3 ) x + 2x - 4 đồng biến x R
Bài 3. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
1. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
2. Tìm m để hàm số đi qua điểm A(-1;3). Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc.
3. Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dơng trục hoành một góc tù.
Bài 4. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2 - 1; 2 ).
2. Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dơng trục hoành một góc nhọn.
3. Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích =
4. Tìm điểm cố định của hàm số.
Bài 5. Cho hàm số y = (m2 - 2)x + m + 2
1. Tìm giá trị của m để đồ thị h/s song song với đồ thị hàm số y = - x + 1

quy
Bài 10.
Cho 2 điểm A(1; 1) và B( 2; -1)
1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B.
2. Tìm m để đờng thẳng y = (m2 + 3m )x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C ( 0; 2 ).
Bài 11.

Cho hàm số y = (2m - 3)x + m- 1

1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;4)
2.Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m, tìm điểm cố
định ấy.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 - 1
Bài 12. Cho hàm số y = 2x + m (d)
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B ( 2 ; -5 2 )
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đồ thị hàm số y = 3x+2 trong góc phần t thứ
IV.
Bài 13
Cho hàm số y = x + 2m - 1 (d). Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đờng thẳng
y = 2x + 1 trong góc phần t thứ II.
Bài 14.
Tìm m để đồ thị hàm số y = (m-3)x+2m +1 và y = 4x - m +2 cắt nhau tại một điểm trên
trục tung.
Bài 15.
Cho đt y = (1- 4m )x + m- 2
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ.
2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ tới đồ thị hàm số bằng 1
3. Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đt y = -x - 1
Bài 16.

4.

4 x + 2 y = 3
2 x + 4 = 0

5.


6.
x +y- 10 = 0

x 2
y - 3 = 0


x y
=3
7. 2 3
5x- 8y = 3

2(x-2) + 3(1+y) = -2
3(x-2) - 2(1+y) = -3

1 1
x y =1

8.
3 + 4 = 5
x y


y 1

10.
x 2 - y 3= 1

x + y 3 = 3

4x 2 - 5 (2y - 1) = (2x - 3) 2
13.
3(7x + 2) = 5 ( 2y -1) - 3x
3x + 5y = -1

16. 3
5 x + y = 1

17.

( x + 1) ( y 3) = ( x 1) (

( x 3) ( y + 1) = ( x + 1)

Bài 2. Tìm giá trị của a và b:

3ax - (b +1)y = 93
có nghiệm (x,y)=(1;5)
bx
+
4ay
=
-3

x

3
y

3


= 2y x
4
3

nghiệm
của pt: 3mx- 5y = 2m + 1.

mx - y = 1
x + my = 2

Bài 7. Cho hệ phơng trình:

1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2. Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).Tìm các giá trị của m để x- y = -1
3. Tìm m để hệ có nghiệm dơng.

x - 2y = 3- m
2x + y = 3 ( m+2)

Bài 8. Cho hệ phơng trình:

1. Giải hệ với m = -1

b. Tìm các giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:

3x + 5
và y = (m-1)x + 2m
4
mx - y = 2
x > 0
Bài 11. Tìm m để hệ
có nghiệm (x;y) sao cho

3x + my = 5
y 0


Phần IV: Phơng trình bậc hai
1. Tìm m để phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai
2. Tìm m để phơng trình nhận 1 số cho trớc làm nghiệm. Tìm nghiệm còn lại
3. CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm hoặc 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
5. Tìm m để PT có nghiệm thoả mãn hệ thức cho trớc.
6. Tìm m để PT có nghiệm và tìm GTLN,GTNN của biểu thức chứa nghiệm.
7. Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu, khác dấu
8. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.
9. Lập PT bậc hai nhận 2 số cho trớc làm nghiệm.
10. Sự tơng giao giữa đờng thẳng y = ax + b và đồ thị hàm số y = ax2.
Bài 1. Tìm m để các phơng trình sau là phơng trình bậc hai:
a) (1-3m) x2 + 2(m-1)x - 2m-3 = 0
b) ( m2-1) x2 + 2x - 2m+5 = 0
Bài 2. 1.Với giá trị nào của m thì các PT sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy
a) x2 - (m + 2)x +m2 - 4 = 0.
b) (m + 3)x2 - mx + m = 0.
2.Tìm m để phơng trình ( m2-9) x2 + 2(m + 3)x +2 = 0 vô nghiệm
9


3. Tìm k để PT kx2 + 2(k - 1)x + k + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho PT x2 +2(m-1) - 2m-3 = 0 (1)
1. Giải PT với m = 1
2. CMR PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT (1) . Tìm m để

x +x
x x
1

3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1)
a. Tìm hệ thức lên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
b. Tìm m sao cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN
Bài 6. Cho pt bặc 2 :
x2 - 2( m + 1 )x + m2 + 3m + 2 = 0 (1)
1. Giải phơng trình (1) với m = -1
2. Tìm m để PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của PT. Tìm m để x12 + x22 = 12
Bài 7.Cho phơng trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0
1. Giải pt với m =

3
2

2. CMR PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3. Gọi x 1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
b. Tìm GTNN của hệ thức A= x12 + x22
4. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 8. Cho PT :
x2 - 4x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, khi đó 2 nghiệm này mang dấu gì ?
4. Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10
Bài 9.
x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
1. Giải phơng trình với m = 3
2. CMR phơng trình luôn có nghiệm m.
3. Xác định m để pt có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

1. CMR phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2
điểm phân biệt A,B với mọi giá trị của k.
2. Gọi xA , xB lần lợt là hoành độ của A và B. Tìm k để
x2A + x2B - 2xAxB(xA + xB) đạt GTLN. Tìm giá trị ấy.
Bài 15. Cho h/s y= x2 (P) và đờng thẳng y = 2mx - 2m + 3 (d)
1. Tìm giao điểm của Parabol (P) và đờng thẳng (d) khi m = 0.
2. CMR đt luôn cắt Parabol tại mọi giá trị của m.
3. Tìm m để đờng thẳng cắt Parabol 2 điểm có hoành độ trái dấu.
4. Gọi x1,x2 là hoành độ giao diểm giữa đt và Parabol.
Tìm m để
x21(1-x22) + x22(1-x21) = 4
Bài 16. Cho h/s y = f(x) = -2x2 có đồ thị là ( P )
1. Tính f(0); f( 2 ); f(

1
2

); f(-1)

2. Tìm x để h/s lần lợt nhận các giá trị 0; -8; -18; 32
3. Các điểm A(3;-18), B( 3 ;-6); C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) không ?
Bài 16. Cho h/s y=

1 2
x
2

1. Gọi A,B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là 1 và -2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và B.
2. Đờng thẳng y = x + m - 2 cắt đồ thị trên tại 2 điểm phân biệt gọi x 1 và x2 là hoành
độ giao điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22


3. x41 + x42
2

7.

3 x1 + 5 x1 x 2 + 3 x 2
2

4 x1 x 2 + 4 x1 x 2 2

13. x1 x 2 + x 2 x1
14. x1 x1 + x 2 x 2

4. x21x2 + x22x1
2

2

8.
15.

2

x1 + x 2 + x1 x 2 ( x1 + x 2 )
2

2

2

x 1
1

11


nghiệm.
Bài 21. Tìm m để pt x2 - 12x + m = 0. có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x1 = x2 2
Phần V. Giải bài toán bằng cách lập hệ hoặc PT

Dạng 1: Toán chuyển động.

Bài 1. Một ôtô và xe máy xuất phát cùng một lúc, đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách
nhau 180 km . Vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h , nên ôtô đã đến B
trớc xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe..
Bài 2. Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Ngời thứ nhất
mỗi giờ đi nhanh hơn ngời thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn ngời thứ hai 10 phút. Tính
vận tốc của mỗi ngời.
Bài 3. Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90
phút ở B rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi dến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về
kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 4. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ
ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến b trớc ô tô thứ hai là 2/5 giờ.
Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành
từ B đến A với vận tốc hơn xe đạp 18 km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4
giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc mỗi xe?
Bài 6 Một ô tô đi trên quãng đờng dài 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc
thêm 10 km/hvà đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi
hết quãng đờng là 8 giờ.


Bài 1Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở
ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?
Bài 2. Lớp 8 B đợc phân công trồng 420 cây xanh. Lớp dự định chia đều số cây cho mỗi
bạn trong lớp. Đến buổi lao động có 5 ngời đi làm việc khác, vì vậy mỗi bạn có mặt phải
trồng thêm 2 cây nữa mới hết số cây cần trồng . Tính tổng số h/s của lớp 8 B.
Bài 3. Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 15 học sinh( cả nam và nữ) đã
trồng đợc tất cả 60 cây. Biểt rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng
12


đợc là bằng nhau. Mỗi bạn nam trồng đợc hơn các bạn nữ là 3 cây. Tính số h/s nam và nữ
của tổ.
Bài 4. Một đội xe theo kế hoạch cần vận chuyển 150 tấn hàng. Nhng đến lúc làm việc phải
điều 4 xe đi làm nhiệm vụ khác . Vì vậy số xe còn lại phải chở thêm 10 tấn hàng mới hết
số hàng đó. Hỏi đội có bao nhiêu xe ?
Bài 5. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc,
do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiêu hơn
dự định là 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao
động của mỗi cồg nhân là nh nhau.
Bài 6 Lớp 9A đợc phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh,
nhng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong.
Tính số học sinh lớp 9A
Bài 7. Trong trờng A có 155 cuốn sách toàn và văn. Dự tính trong thời gian tới nhà trờng
sẽ mua thêm 45 cuốn sách văn và toán, trong đó số sách môn Văn bằng 1/3 số sách môn
văn hiện có và sách môn toán bằng 1/4 số sách môn toán hiện có .
Tính số sách môn văn và toán có trong th viện của nhà trờng.
Bài 8. Hai tổ công nhân đợc giao mỗi tuần sản xuất đợc 980 đôi giầy. Để lập thành tích
chào mừng ,tuần vừa qua tổ 1 vợt mức 8%, tổ 2 vợt mức 10%. So với kế hoạch đợc giao
nên cả 2 tổ sản xuất đợc 1068 đôi. Hỏi định mức đợcgiao của mỗi tổ là bao nhiêu đôi giầy.

kích thớc thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 6 Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng lúc từ A và B cách nhau 60 kmvà đi dến C. Hớng
chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi ng ời,
biết vận tốc ngời đi từ A nhỏ hơn vận tốc ngời đi từ B là 6 km/h.
Dạng 4. Tìm số.
Bài 1. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục
là 4 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng

17
số ban đầu.
5

Bài 2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn
vị là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng

4
số ban đầu.
7

Bài 3. Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngợc lại đợc một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho.
Bài 4. một số có hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nó, còn bình phơng của tổng
các chữ số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đó.
13


Bài 5. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 405. Nêu lấy số
đợc viết bởi hai chữ số ấy nhng theo thứ tự ngợc lại nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 486. Tìm số đó (54)
Bài 6. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó.
Dạng 5 : Làm chung công việc:
Bài 1. Hai ngời cùng làm chung một công việc mất 3giờ. Ngời thứ nhất làm đến nửa công

c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho SO = 2R và MN = R 3 . Tính diến tích tam giác ESM theo R.
Bài 4: Cho tam giác MNP vuông tại M, đờng cao MH ( H trên cạnh NP ). Đờng tròn đờng
kính MH cắt các cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.
1. Chứng minh AB là đờng kính của Đờng tròn đờng kính MH.
2. Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
3. Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh rằng IN = IP.
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh Ccắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoịa tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F.
1. Chng minh AE = AF
2. Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3. Kẻ đờng kính BD . Chứng minh tứ giác ADCH là hình bình.
Bài 6: Cho tam giác vuông PQR ( P^ = 900 ) nội tiết đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính PD.
1. Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật .
2. Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q, R trên PD. PH là đ ờng cao của
tam giác ( H trên cạnh QR ) . Chứng minh HM vuông góc với cạnh PR.
3. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
4. Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR là r và R .
Chứng minh: r + R PQ.PR
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại C. O là trung điểm của AB và D là điểm trên
cạnh AB ( D không trùng với A, O, B ) . Gọi I và J thứ tự là tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam
giác ACD và tam giác BCD.
1. Chứng minh OI // BC
2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ãACB khi và chỉ khi OI = OJ.
14


Bài 8:
Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB
( A, B là tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại C, D.

Bài 13: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB,
BC, gọi D và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB
và BC, và M là giao điểm của AD với CE.
1. Chứng minh tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đờng tròn đờng kính AB và BC
3. Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh K, B, E thẳng
hàng.
Bài 14: Cho tam giác vuông MNP (góc M = 90 0). Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tam
giác MNP sao cho NP = NQ và góc MNP = góc PNQ, và gọi I là trung điểm của PQ, MI
cắt NP tại E.
1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau.
2. Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân.
3. Chứng minh MN.PQ = NP.ME
Bài 15: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn (DA và
DB). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vuông góc với đờng thẳng AC tại M và
từ B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC tại N.
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
c) Tìm vị trí của D trên nửa đờng tròn sao cho BN.AC lớn nhất.
Bài 16:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau
tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ
hai là M. Giao điểm của BD và CF là N.
Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
15


c) BE.DN = EN.BD

1. Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN.
2. Đờng thẳng DM cắt BN tại E. Chứng minh rằng tứ giác BECD là tứ giác nội tiếp.
3. Khi hình thoi ABCD cố định. Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố
định khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 22:Cho đờng tròn tâm ( 0 ), AB là dây cố định của đờng tròn không đi qua tâm. M là
một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là
điểm chính giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng
thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.
1. Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác BCQI là tứ giác nội tiếp
3. Chứng minh QI = MP
4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung
điểm của MN chuyển động trên đờng nào ?
Bài 23
Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O 1) là tâm
đờng tròn tâm 01 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi ( O 2 ) là tâm đờng tròn tâm O2 đi qua
M và tiếp xúc với AC tại C. Đờng tròn ( O1) và ( O2 ) cắt nhau tại D ( D M )
1. CMR tam giác BDC là tam giác vuông
2. Chứng ming 01D là tiếp tuyến của đờng tròn tâm ( O2 )
3. B01 cắt C02 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đờng tròn.
4. Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O102 là ngắn nhất.
Bài 24: Cho tam giác vuông ABC ( AC > AB, A^ = 900 ). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp
tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lợt tại M,
N, P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tai D. Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đ ờng
tròn.
3. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F.
Chứng minh BE. CF = 2 BI . CI
16

17