ĐỀ TÀI

GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA TẤM KIRCHHOFF
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN MINH NHÂN
GVHD: T.S. TRỊNH ANH NGỌC

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin Học, Năm học 2012 – 2013


LỜI NÓI ĐẦU
Tấm nói chung và tấm Kirchhoff nói riêng có vai trò to lớn trong kĩ thuật. Chúng ta có thể bắt
gặp chúng trong cuộc sống hàng ngày. Ví dụ như mặt của chiếc bàn mà chúng ta vẫn sử dụng để
đặt mọi thứ lên đó cũng là một dạng tấm, hay cái trần nhà bê tông của chúng ta cũng là một thể
hiện khác của tấm. Ngoài ra tấm còn được sử dụng rộng rãi trong kết cấu kiến trúc, như sàn cầu,
kết cấu nước, mặt lát (pavement), containers, máy bay, tên lửa (missles), tàu, nhạc cụ, chi tiết
máy… Tấm được sử dụng rộng rãi nhờ khả năng chịu lực của nó. Nhưng các loại tấm khác nhau
thì khả năng đó cũng khác nhau. Do đó nghiên cứu về sự biến dạng của tấm dưới tác dụng của tải
là rất quan trọng. Bên cạnh đó nếu đã từng nghe đến câu chuyện một đoàn quân đi đều qua một
chiếc cầu và bỗng nhiên chiếc cầu dao động dữ dội dẫn đến chiếc cầu bị sập cùng với cả đoàn
quân bị rơi xuống sông thì hẵn các bạn cũng biết mỗi một vật đều có một tần số dao động riêng
và khi nó bị tác dụng bởi một lực có tần số bằng với tần số riêng này thì hiện tượng cộng hưởng
xảy ra, biên độ dao động của vật tăng mạnh và vật bị phá hủy nhanh chóng. Về khía cạnh này,
tấm cũng không ngoại lệ.
Nội dung của đề tài này tập trung nghiên cứu về tấm Kirchhoff (một loại tấm mỏng tuân theo
những giả thiết của Kirchhoff) mà cụ thể là về sự biến dạng uốn cũng như tần số dao động riêng
của nó. Một số kết quả bước đầu cả về mặt lý thuyết cũng như tính toán về sự uốn, dao động của


Các ứng suất của tấm Kirchhoff .............................................................................7

1.3.3.

Các hàm năng lượng của tấm Kirchhoff .................................................................7

1.3.4.

Xấp xỉ phần tử hữu hạn ..........................................................................................9

1.3.5.

Thao tác đánh số phần tử, nút và các bậc tự do ..................................................... 14

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF ................................................. 16
2.1. Nguyên lý năng lượng thế năng cực tiểu ......................................................................... 16
2.2. Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được ................................................ 16
CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF .......................................... 22
3.1. Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm ................................................ 22
3.2. Kết quả tính toán và minh họa ........................................................................................ 24
ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI ................................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................... 38

2


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF
1.1.



1.2.

Giả thiết Kirchhoff cho tấm mỏng

Trong thực hành kĩ thuật, khái niệm tấm mỏng thường được hiểu là tấm cứng. Xét một tấm loadfree (không tải), trong đó mặt xy trùng với mặt trung hòa của tấm và trục z vuông góc với nó,
hướng xuống.

Các giả thiết cơ bản về lý thuyết biến dạng nhỏ, đàn hồi, tuyến tính của bài toán uốn tấm mỏng
có thể được phát biểu như sau:
1. Vật liệu tấm là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng.
2. Tấm ban đầu là phẳng.
3. Độ võng (thành phần pháp tuyến của vector chuyển vị) của mặt trung hòa là nhỏ so
với độ dày của tấm. Độ dốc (slope) của mặt phẳng bị lệch do đó rất nhỏ và bình
phương của nó là không đáng kể khi so với đơn vị.
4. Các đường thẳng, ban đầu vuông góc với mặt trung hòa trước biến dạng thì vẫn thẳng
và vuông góc với mặt trung hòa sau khi bị lệch, và độ dài của những đoạn thẳng đó
không bị thay đổi. Điều đó có nghĩa là các biến dạng cắt  xz ,  yz là không đáng kể và
biến dạng pháp  z cũng có thể được bỏ qua. Giả thiết này được nhắc đến như là “giả
thiết về các pháp tuyến thẳng” (hypothesis of straight normal).
5. Ứng suất pháp đối với mặt trung hòa,  z , là nhỏ so với các thành phần ứng suất khác
và có thể được bỏ qua trong các quan hệ ứng suất-biến dạng.
6. Bởi vì các chuyển vị của một tấm là nhỏ, nên giả thiết rằng mặt phẳng trung hòa vẫn
không bị kéo căng sau khi uốn.
4


Nhiều trong số các giả thiết này, được biết như là giả thiết của Kirchhoff, là tương tự với những
giả thiết trong lý thuyết uốn đơn của dầm (simple bending theory of beams). Những giả thiết này
có tác dụng hạn chế bài toàn tấm 3d sang bài toán 2d. Lý thuyết uốn tấm dựa trên các giả thiết


z
x z
y z

(1.2)

suy ra
w  x, y , z   w0  x, y  ; u ( x, y , z )   z

w0
w
 u 0  x , y  ; v ( x , y , z )   z 0  v0 ( x , y )
x
y

(1.3)

5


Dựa vào giả thiết (6) – “chuyển vị của tấm là nhỏ nên giả sử mặt trung hòa không bị kéo căng
sau khi bị biến dạng” ta suy ra u0  v0  0 . Do đó các phương trình trên trở thành
w0

u ( x, y, z )   z x  x, y 

w0

 x, y 


 z

 2 w0
 2 w0
,



2
z
xy
y 2
xy

(1.5)

6


1.3.2. Các ứng suất của tấm Kirchhoff
Với các giả thiết 4, 5 ta có  z   xz   yz  0 . Quan hệ ứng suất biến dạng cho trường hợp ứng
suất phẳng cho bởi:
 x 
E
 
 y   1   2
 xy 
 


 D 
2 
1  
1  
0 0


2 

(1.7)

  2 w0 


2
 x 
 x 
  2 w0 
 



z
D



   z  DLw 0 
 y
y 2 

Năng lượng biến dạng của tấm là

7


U

1
 x x   y y   xy xy  dV
2 V

(1.10)

Thế (1.6) vào (1.10) ta được
T

x 
x 
1  
 
U     y   D   y  dV
2V
 xy 
 xy 
 
 

(1.11)

Thế (1.5) vào (1.11) ta có



với  là mặt phẳng tấm.
Động năng của tấm là
K

1
  u 2  v 2  w2  dV
2 V

(1.14)

với  là khối lượng riêng của tấm được cho là hằng số.
Thế (1.4) vào (1.14) ta được
1
K 
2

h
2

2
 2  w  2

2  w0 
2
0

z


2
x


 w0 
 y 

T


h 0

3
0 h

12

0 0




0   w0 



w
1
T



h3
m    0
12

0 0



0

0

3 
h 
12 

(1.18)

Năng lượng thế năng của tấm là
  U W

(1.19)

1 h3
T

Lw 0   DLw 0  dA   pw0  x, y  dA

2 12 

w0  r , s   1   2 r   3 s   4 r 2   5 rs   6 s 2   7 r 3   8 r 2 s   9 rs 2  10 s 3  11 r 3 s  12 rs 3
 1 r

s r2

rs

s2

r3

r 2 s rs 2

s3

r 3 s rs 3  α   P  r , s   α

(1.21)

với

α

T

 1  2

3  4 5  6  7 8 9 10 11 12 

(1.22)


 a 0

y3  y1   0 b 
2 
0

(1.24)

Ta có
 w0 
 w0 
 x 
 r 


  J 
 w0 
 w0 
 y 
 s 



(1.25)

 w0 
 w0 
 w0   1 w0 
 x 

 


x

y

  ab r s 

(1.27)

Suy ra

Suy ra

Đạo hàm (1.21) ta được
 w0
  0 1 0 2r
r

s 0 3r 2

2rs

s2

0 3r 2 s

s 3  α


T

w1
r


  w1


w
a 1
x


  w1


w1
s

w2
r

w2

w
b 1
y

w2


w
b 3
y

w4 
s 

w4

w
a 4
x

w 
b 4
y 

(1.31)

Giải (1.30) ta suy ra

α   Ae we
1

(1.32)

Thế (1.32) vào (1.21) đồng thời dựa vào (1.31) ta suy ra
w0   N1


N12  we  N  r , s  w 0 e (1.33)

với

 w 0 e

T

w2

w2
x

w2
y

w3

w3
x

w3
y

w4

w4
x

w4 

(b * ( r  1) * ( s  1) 2 * ( s  1)) / 8


 N  r , s    
2
2
((r  1) * ( s  1) * (  r  r  s  s  2)) / 8 




(a * ( r  1) * ( r  1) 2 * ( s  1)) / 8


(b * ( r  1) * ( s  1) * ( s  1) 2 ) / 8


 ((r  1) * ( s  1) * ( r 2  r  s 2  s  2)) / 8 


(a * ( r  1) 2 * ( r  1) * ( s  1)) / 8




(b * ( r  1) * ( s  1) * ( s  1) 2 ) / 8

(1.35)

 1 2 


Ta viết lại

và

Khi đó các biểu thức tích phân trở thành
1
T
U   w 0 e
2



h3
 12 ab L  N  r , s 
r

1
T
  w 0 e
2

  D  L N  r , s   d 
T

r

 w 0 e

h3




(1.39)

và

h3

k e   ab B  DB  d r
12


W   w 0 e

T

T

 pab  N  r , s  



(1.40)

r

T

d  r  w 0 e f e


r

 ab  T  N  r , s    m   T  N  r , s    d  r w 0 e
T

r

(1.43)

1
T
 w 0 e m e w 0 e
2

với

m e



  ab  T N  r , s   m   T N  r , s   d 
T



r

(1.44)


các điều kiện biên của một vật rắn đàn hồi, những chuyển dịch thõa phương trình cân bằng làm
cho năng lượng thế năng đạt cực tiểu địa phương. Tức là chuyển dịch cần tìm là chuyển dịch
thõa mãn phương trình

   U  W   0

(2.1)

Thay (1.45) vào (2.1) ta được

 w 0 e

T

k  w   f    0
e

0 e

(2.2)

e

Do biến phân  w 0 e là bất kì nên từ (2.2) ta suy ra
T

k e w0 e  f e

(2.3)



... wnn

wnn
x

wnn 
y 

(2.5)

2.2. Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được
Từ những kết quả thu được trong lý thuyết ta có thể sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán
này. Các bước tiến hành
1.

Nhập các thông số của bài toán:
 Các kích thước của tấm: chiều dài (a), chiều rộng (b), độ dày (ha).
 Các hằng số vật liệu: E, 

 Các kích thước lưới: nx, ny lần lượt là số nút trên ox, oy.
2. Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu
 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
 Tính ma trận tọa độ các nút (coord)
 Tính ma trận nút phần tử (enodes)
16


3.
4.

17


Giá trị chính xác được trích từ “The Finite Element Method – Fifth edition – Volumn 2 – Solid
Mechanics – O.C. Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng – trang 136”

Độ võng cực đại
0.00145
0.0014
0.00135
0.0013

Độ võng cực đại

0.00125

0.0012
0.00115
4x4

10x10

20x20

30x30

40x40

Đồ thị cho thấy sự hội tụ nghiệm
Đồ thị tương ứng với một số kích thước lưới

nhanh chóng. Vì vậy, Việc biết trước các tần số riêng của các kết cấu trước khi đem vào sử dụng
là rất quan trọng. Ở chương này, chúng ta sẽ đi tìm các tần số riêng đó đối với tấm hình chữ nhật
ở trên bằng việc áp dụng nguyên lý Hamilton.

3.1. Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm
Phát biểu toán học của nguyên lý Hamilton cho trường hợp vật rắn biến dạng là

   K  U    W  dt  0
t2

(3.1)

e

t1

Trong đó K là động năng, U là năng lượng biến dạng, We là công do các ngoại lực gây ra và
t1 , t2 lần lượt là thời điểm đầu và thời điểm cuối.

Ở đây chúng ta đang xét về dao động tự do của tấm nên  We  0 . Do đó (3.1) trở thành

   K  U  dt     K  U  dt  0
t2

t2

t1

t1


t2
d
T
T
 w 0 e m e w 0 e  t1  w 0 e k e w 0 e dt  0
dt

(3.5)

t2

t2

T

1



t2

t1

T

1

Thực hiện tích phân từng phần đối với tích phân thứ nhất trong (3.5) ta được
t  t2


0

2

e

0

(3.7)

22


nên phương trình (3.6) trở thành

  w  m w   k  w   dt  0

(3.8)

  w  m w   k  w   dt  0

(3.9)

t2

t1

T

0 e


Thực hiện tổng lắp ghép giữa các phần tử cho ta hệ phương trình vi phân cấp hai tổng thể như
sau

Mu  K u  0

(3.11)

với vector u cho bởi (2.5).
Ta giả sử là nghiệm của bài toán có dạng

u  q eit

(3.12)

với q là vector hằng (biên độ).
Thay (3.12) vào (3.11) và giãn ước eit ta được

K    Mq  0
2

(3.13)

Ta nhận thấy ngay phương trình (3.13) có một nghiệm q  0 ứng với trường hợp tấm đứng
yên không dao động. Để có nghiệm khác 0 định thức sau phải bằng 0
det K    2 M   K    2 M   K    M   0

(3.14)

  2

 Các kích thước lưới: nx, ny lần lượt là số nút trên ox, oy .
2. Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu
 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
 Tính ma trận tọa độ các nút (coord)
 Tính ma trận nút phần tử (enodes)
 Tính vector các bậc tự do biên (bactudobien)
 Tính ma trận lắp ghép (la)
3. Tính ma trận me , k e và lắp ghép
4. Viết hàm giải bài toán trị riêng vector riêng
5. Xuất 13 tần số dao động bé nhất và đồ thị dạng dao động tương ứng.
Cụ thể với các thông số đầu vào là
E = 10920.0; poisson = 0.30;a=1.0; b=1.0; h=0.01;rho=1
Các tần số không thứ nguyên được tính bởi công thức bên dưới

  a


G

(3.17)

với modun cắt G được cho bởi
G

E
2 1   

(3.18)

1. Trường hợp tấm bị ngàm bốn cạnh