Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc đến
cô giáo Th.S Dương Thị Hà – người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá
trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là
các thầy cô trong tổ phương pháp đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý
báu cả về lý thuyết lẫn thực tiễn – là nền tảng khoa học để tôi hoàn thành khóa
luận này.
Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè là những người luôn động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình làm khóa luận.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Thu Huyền

Hoàng Thị Thu Huyền

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

2.1.4. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức ............................. 23
2.2. Một số dạng bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2
trên £ ........................................................................................................ 27
2.2.1.Tìm căn bậc 2 của một số phức................................................... 27
2.2.2. Giải phương trình bậc hai trên £ .............................................. 33
2.3. Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng....... 39
2.3.1. Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức..................... 39
2.3.1.1. Tìm dạng lượng giác của một số phức..................................... 39
2.3.1.2. Xác định môđun và một acgumen của số phức........................ 43
2.3.1.3. Tìm dạng đại số của số phức ................................................... 48
2.3.1.4. Căn bậc hai, căn bậc n của số phức (dạng lượng giác)............. 53
2.3.2. Một số dạng bài tập ứng dụng số phức .......................................... 59
2.3.2.1. Ứng dụng số phức vào toán tổ hợp, lượng giác ....................... 59
2.3.2.2. Phép biến hình và số phức....................................................... 63
KẾT LUẬN ................................................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 69

Hoàng Thị Thu Huyền

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hệ thống số thực đã được xây dựng nhằm giải quyết trước hết vấn đề đo
đạc. Nhờ hệ thống số này vấn đề đó thực sự đã được giải quyết trọn vẹn. Tất cả

1

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

- Thu thập và giải một số đề thi về số phức trong các kì thi cao đẳng và đại
học.
4. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chương trình dạy học số phức trong chương trình toán nâng cao
THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Hệ thống hóa lý thuyết chủ đề số phức ở Giải tích 12 - Nâng
cao.
Chương 2: Một số dạng bài tập số phức trong chương trình toán nâng cao
THPT.

Hoàng Thị Thu Huyền

2

K34D - Toán



Tổng của hai số phức z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' Î ¡ ) là số
phức:

z + z ' = a + a ' + (b + b ')i .
b) Tính chất của phép cộng số phức
* Tính chất kết hợp:

Hoàng Thị Thu Huyền

3

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

(z + z ') + z " = z + (z '+ z ") , với mọi z , z ', z " Î £ .

* Tính chất giao hoán:
z + z ' = z ' + z với mọi z , z ' Î £ .

* Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z Î £ .
* Số phức đối :
- z = - a - bi được gọi là số phức đối của z = a + bi (a, b Î ¡ ) .

Như vậy, ta có: z + (- z ) = (- z )+ z = 0.
c) Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z ' là tổng của z với - z ' , tức là

4

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

z = z;

z + z ' = z + z ';

zz' = z z ';

zz = a 2 + b2 .

b) Mô đun của số phức
* Mô đun của số phức z = a + bi là a =
* Nếu z = a + bi (a, b Î ¡ ) thì z =

a 2 + b2 .

zz =

a 2 + b2 .

z ³ 0; z = 0 Û z = 0.

1.1.5 Phép chia cho số phức khác 0

z
z
z
ø
z
z

1.1.6. Biểu diễn hình học của số phức
* Trong mặt phẳng Oxy , mỗi số phức z = a + bi (a, b Î ¡ ) được biểu diễn
bằng một điểm M (a ; b) .
y

M (z )
b

O

a

x

Hình 1.1
* Mặt phẳng tọa độ
 Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
 Các điểm trên trục hoành biểu diễn số thực, do đó trục Ox gọi là trục
thực.
 Các điểm trên trục tung biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy gọi là trục ảo.

Hoàng Thị Thu Huyền


Định nghĩa: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi
một căn bậc hai của số phức w .

là

Cách tìm căn bậc hai của số phức w là tìm nghiệm của phương trình
z 2 - w = 0 (ẩn z ).
a) Khi w là số thực

 Khi w = 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 = 0 Û z = 0.
Vậy căn bậc hai của 0 là 0 .
 Khi w = a > 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 - a = 0
Û (z -

a )(z +

a) = 0 Û z = - a Úz =

a.

Vậy số thực a dương có hai căn bậc hai là - a và a .
 Khi w = a < 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 - a = 0
Û (z -

- ai )(z +

- ai ) = 0 Û z = -

Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là -


2

( )

Giải hệ trên ta được nghiệm là các cặp số thực x ; y , mỗi một nghiệm
của hệ cho ta một căn bậc hai z = x + yi của số phức w = a + bi .
 Mỗi một số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
1.2.2. Phương trình bậc hai
Giải phương trình bậc hai A z 2 + Bz + C = 0 (1) , (A, B, C Î £ , A ¹ 0) :
 Tính biệt thức D = B 2 - 4AC
 Nếu D = B 2 - 4A C ¹ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
z1 =

-B+ d
-B- d
(trong đó d là một căn bậc hai của D ).
, z1 =
2A
2A

 Nếu D = B 2 - 4AC = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm kép
z1 = z 2 = -

B
.
2A

Đặc biệt
 Khi D > 0 , D Î ¡ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
z1 =


 Phương trình bậc hai: A z 2 + Bz + C = 0 , (A, B , C Î ¡ , A ¹ 0) nếu
có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) thì là hai số phức liên hợp nhau.
 Phương trình bậc n ( n Î ¢ + )
A0z n + A1z n - 1 + L + An - 1z + An = 0,
(A 0, A1, An - 1, An Î £ , A 0 ¹ 0) luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt).
1.3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1.3.1. Số phức dưới dạng lượng giác
a) Acgumen của số phức z ¹ 0
 Định nghĩa: Cho số phức z ¹ 0 được biểu diễn bằng điểm M . Số đo
(radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox , tia cuối là OM được gọi là một
y
acgumen của z .
 Chú ý: Nếu j là một acgumen của z thì mọi

M (z )

acgumen của z có dạng
j + k 2p (k Î ¢ ).

+ Số thực dương có một acgumen là 0 .
+ Số thực âm có một acgumen là p .

j

x

O

Hoàng Thị Thu Huyền

x

O

 Nhận xét

Hình 1.3

8

K34D - Toán


Khúa lun tt nghip i hc

GVHD:Th.S Dng Th H

z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) ca s phc

z = a + bi ạ 0 (a, b ẻ Ă ) , ta cn:

Tỡm r =

a 2 + b2 l mụun ca z .

ỡù
ùù cosj = a
r l mt acgumen ca z .


ộr (cosj + i sin j )ự = r n (cos n j + i sin n j )
ỳỷ
ởờ
v khi r = 1 , ta cú: (cosj + i sin j )n = cos n j + i sin j .
b) ng dng vo lng giỏc
i chiu cụng thc Moa-vr v khai trin ly tha bc n ca nh thc

cosj + i sin j , ta cú th biu din cos nj v sin nj theo cỏc ly tha ca
cos j v sin j .

c) Cn bc hai di dng lng giỏc
T cụng thc Moa-vr, s phc z = r (cosj + i sin j ), r > 0 cú hai
cn bc hai l r (cos

Hong Th Thu Huyn

ộ
ự
j
j
j
j
+ i sin ) v r ờcos( + p ) + i sin( + p )ỳ.
ờ
ỳ
2
2
2
2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO THPT
2.1. Một số dạng bài tập về phép toán số phức thường gặp
2.1.1. Thực hiện các phép toán về số phức, tìm phần thực, phần ảo, số phức
đối, số phức liên hợp
a) Ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép toán sau
a) (1 + 2i ) + (3 - i ) ;

b) (1 + 2i )(3 - i ) ;

c) (1 + 2i ) - (3 - i ) ;

d)

1 + 2i
×
3- i

Giải
a) (1 + 2i ) + (3 - i ) = 1 + 3 + (2 - 1)i = 4 + i .
b) (1 + 2i )(3 - i ) = 1.3 - 2(- 1) + (- 1 + 2.3)i = 5 + 5i .
c) (1 + 2i ) - (3 - i ) = 1 - 3 + (2 + 1)i = - 2 + 3i .
d)

1 + 2i
(1 + 2i )(3 + i ) 3 - 2 + (1 + 6)i
1 + 7i
1
7

11

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Ví dụ 3. ( ĐH khối A - 2010 CB) Tìm phần ảo của số phức z , biết

z =

(

2

2+i

) (1 -

)

2i .

Giải
2

( ) (1 - 2i ) = (2 + 2 2i + i )(1 = (1 + 2 2i )(1 - 2i ) = 5 + 2i


2. Cho số phức z = x + yi (x , y Î ¡ ) . Tìm phần thực, phần ảo của các số
phức sau
a) z 1 = z 2 - 3z + 5i ;

b) z 2 =

z +i
.
iz - 2

3. Cho z = x + yi (x , y Î ¡ ) . Tìm điều kiện của x và y để
a) z 2 là số thực;
4. Chọn đáp án đúng

b) z 2 là số ảo.

a) Phần ảo của z = (2 - 3i )i 2 là
(A) 3;

(B) 3i;
3

(C) - 2 ;

(D) - 3 .

3

b) Số phức (2 + i ) - (2 - i ) viết dưới dạng đại số là
(A) 22;

é
= 23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 - ê1 + 3.2i + 3(2i )2 + (2i ) ú
êë
úû

(

- 6 - 3i - 2i + i 2

)

= 8 + 12i - 6 - i - (1 + 6i - 12 - 8i )- (6 - 5i - 1) = 8 + 18i .

b)
2

(1 + i ) + (3 - i )(2 + i ) - (1 + 2i )(1 - i )
1 + i 3 - i 1 + 2i
z=
+
=
1- i 2 - i
1+ i
(1 - i )(1 + i ) (2 - i )(2 + i ) (1 + i )(1 - i )
=

1 + 2i + i 2
6 + i - i 2 1 + i - 2i 2
2i 7 + i 3 + i
+

iz - 2 i (x + yi )- 2 - y - 2 + xi

éx - (y - 1)i ù(- y - 2 - xi )
- x (2y + 1) + y 2 + y - x 2 - 2 i
ê
ú
ë
û
=
=
2
(- y - 2 + xi )(- y - 2 - xi )
(y + 2) + x 2

(

- x (2y + 1)

Vậy số phức z có phần thực là

2

và phần ảo là

3. a) xy = 0 ;
4. a) (A)

y2 + y - x2 - 2
2


Ta đưa về phương trình bậc nhất theo z , thực hiện các phép tính số phức
và tính z .
Nếu phương trình chứa z , z , z thì ta đặt z = x + yi (x , y Î ¡ ) rồi suy
ra z = x - yi và z =

x 2 + y 2 . Sau đó, ta biến đổi hai vế theo x , y và cân

bằng phần thực, phần ảo ở hai vế để tính x , y .
a) Ví dụ
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau với ẩn z
a) (2 + i )z = z + 2i - 1 ;

b) (1 - i )(z - 2i ) = 2 + i .
Giải

a) (2 + i )z = z + 2i - 1 Û z (2 + i - 1) = - 1 + 2i
Û z (1 + i ) = - 1 + 2i Û z =

- 1 + 2i
1+ i

Û z=

(- 1 + 2i )(1 - i ) 1 + 3i
=
(1 + i )(1 - i )
1+ 1

Û z=


1 7
+ i.
2 2
Ví dụ 5. Tìm các số thực x , y trong các trường hợp sau

Vậy nghiệm của phương trình là z =

a)

x+1 y- 1
;
=
1- i
1+ i

Hoàng Thị Thu Huyền

b)

14

1
y
+
= 2 + 3i .
x - i 3 - 3i

K34D - Toán



ìï x = - 1
Vậy các số thực x , y thỏa mãn bài toán là ïí
ïï y = 1.
î
b) Điều kiện: x ¹ i

1
y
x+i
y (1 + i )
+
= 2 + 3i Û
+
= 2 + 3i
x - i 3 - 3i
(x - i )(x + i ) 3(1 - i )(1 + i )
Û

x+i
y + yi
x
y
1
y
+
= 2 + 3i Û 2
+ + i( 2
+ ) = 2 + 3i
2
6

Û
Úí
í
1
ïï = 3 ïï y = 12 ïï y = 15.
î
î
ïïî 6
x2 + 1
ìï x = 0
ìï x = - 1
Vậy các số thực x , y thỏa mãn bài toán là ïí
hoặc ïí
ïï y = 12
ïï y = 15.
î
î
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau với ẩn z

a) (z + z )(1 + i ) + ( z - z )(2 + 3i ) = 4 - i ;
b)

z+z
1+ i

-

i (z - z )
2 - 2i


2
í
ïï
1
ïï y = ×
2
î

1 1
+ i.
2 2

b) Phương trình

z+z
1+ i

-

i (z - z )
2 - 2i

= 4 + 6i trở thành:

2x
2yi 2
2x
y
= 4 + 6i Û
+

- 1 + 4i
z=
×
2+ i
1 + 2i
2. Tìm các số thực x , y thỏa mãn các hệ thức sau

b)

a) (x + i )(1 + yi ) = (3 + 2i )x + 1 - 4i ;
b) (x + yi )(3 - 2i ) = 13i .
3. Giải các phương trình ẩn z
a) z 2 - 4z + 5= 0 ;

b) z 2 + 5 - 12i = 0 .

4. Chọn đáp án đúng
a) Số thực x , y thỏa mãn hệ thức x (1 + i ) - y (2 + 3i ) = 10 là

Hoàng Thị Thu Huyền

16

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà


(B) -

(D) 1 + 3i .

(C)

1 1
+ i;
2 2

(D)

1 1
- i.
2 2

2

d) Giải phương trình z 2 - z + 1 = 0 trong £ ta được nghiệm là
(A)

2
3
i,
i;
2
2

i
i

= +
iÛ z= - + .
2 2
9 + 5i
81 + 25
106 106

b)

(1 - 2i ) (2 - i )
(- 1 + 4i )(1 - 2i )
1 - 2i
- 1 + 4i
z=
Û
z
=
2
2+ i
1 + 2i
22 - i 2
12 - (2i )

Û

- 5i
7 + 6i
7 + 6i
6 7
z=

ùù 2x + 3x - 5 = 0
ợ

GVHD:Th.S Dng Th H

ỡù
ỡù x = 1
ùù x = - 5
ù
ớ
ớ
2
ùù y = - 3 ùù y = 4.
ợ
ùợ

b) (x + yi )(3 - 2i ) = 13i 3x + 2y + (- 2x + 3y )i = 13i
ỡù 3x + 2y = 0
ùớ

ùù - 2x + 3y = 13
ợ

ỡù x = - 2
ù
ớ
ùù y = 3.
ợ

3. a) z 2 - 4z + 5= 0. (1)

b) z 2 + 5 - 12i = 0 z 2 - 4 + 12i + 9i 2 = 0
2
z + 2 + 3i )ự
= 0
z 2 - (2 + 3i ) = 0 ộờz - (2 + 3i )ựộ
ỳờ
ỳ
ở
ỷở (
ỷ
z = 2 + 3i z = - 2 - 3i .

4. a) (A)

b) (C)

c) (B)

d) (B).

2.1.3. Mt s bi toỏn v biu din hỡnh hc ca s phc
a) Vớ d
Vớ d 7. Trong mt phng phc Oxy , cho ba im A , B , C khụng thng
hng biu din cỏc s phc a , b , c . Gi M l trung im A B , G l
trng tõm D A BC v D l im i xng ca A qua G . Cỏc im M ,
G , D ln lt biu din cỏc s phc m , g , d .

a) Tớnh cỏc s phc m , g , d theo a, b, c .
b) Nu thờm gi thit a = b = c , chng minh rng D A BC l
tam giỏc u nu v ch nu a + b + c = 0 .

uuur
1 uuur uuur uuur
OG = (OA + OB + OC )
Hình 2.1
3
1
g = (a + b + c ).
3
là điểm đối xứng của A qua G Û G là trung điểm của A D
uuur
uuur uuur
2OG = OA + O D Û 2g = a + d Û d = 2g - a

Û m =
G

Û
Û
D

Û

B

1
2
2
1
Û d = 2. (a + b + c ) - a Û d = b + c - a .
3

Û CD = BA
Û d- c= a- b

B

A

Û d = a+ c- b

D

Hoàng Thị Thu Huyền

Hình 2.2

19

C

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Û d = 2 - 2i + 5 + mi - (- 1 + i )
Û d = 8 + (m - 3)i .

Vậy d = 8 + (m - 3)i .

a) " z Î £ , D OMA vuông tại M .

phức z ,

b) " z Î £ , D MA B vuông.
c) " z Î £ , tứ giác OMA B là hình chữ nhật.
3. Chọn đáp án đúng:
Cho 3 điểm A , B , C lần lượt biểu diễn các số phức a = 1 , b = - 1 + a i
uuur uuur uuur
và c = b2 . Khi đó, các số phức được biểu diễn bởi các vectơ A B , A C , BC
lần lượt là

Hoàng Thị Thu Huyền

20

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

(A) 2 - a 2 - 3a i, - a 2 - 2a i, - 2 + a i ;
(B) - a 2 - 2a i, 2 - a 2 - 3a i, - 2 + a i ;
(C) - 2 + a i, - a 2 - 2a i, 2 - a 2 - 3a i ;
(D) 2 - a 2 - 3a i, - 2 + a i, - a 2 + 2a i .
Hướng dẫn
1. a) Tìm G (z ) (trong đó G là trọng tâm tam giác D A BC ).
Ta biết G là trọng tâm D A BC

2

Þ z 1 z 2 - z 1 = z 2 . (1)
+ z 12 + z 22 = z 1z 2 ¹ 0 Þ z 1z 2 - z 22 = z 12 Þ z 2 (z 1 - z 2 ) = z 12
2

Þ z 2 z 2 - z 1 = z 1 . (2)

Từ (1) và (2) Þ z 2 - z 1 =

z2
z1

2

=

z1
z2

2
3

3

Þ z 1 = z 2 Þ z 1 = z 2 , tức là

z 1 = z 2 Û z 2 - z 1 Û OA = OB = A B nên D OA B đều.

Hoàng Thị Thu Huyền

3

OA = a =

æ
i ö÷
÷
MA = a - z = ççç1 +
÷z - z =
çè
3 ø÷

i

1
2
z =
z và
3
3

1+

1

z =

3

z .

z = z .
÷
÷
ç
è
ø
3
3

i

AB = b - a =

2

æ1 ÷
ö
2
z÷
+ z
Ta có: MA + A B = ççç
÷
çè 3 ÷
ø
2

2

2
1 2