Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải
tích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày
khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân
thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp "Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải
phương trình vi phân" được hoàn thành không trùng với bất kỳ khóa
luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung

10

2.3. Đòi hỏi tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4. Lớp L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5. Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace . . . . . . . . .

15

2.6. Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7. Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8. Các định lý biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.9. Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace . . . . . . . .

25


Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier
là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để việc
giải quyết các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép
toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành
các phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển phép toán
nhân các số thành phép cộng logarit của chúng). Nhờ một số tính chất riêng
của nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình
vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân,. . . .
Những phương trình thuộc lĩnh vực đó thường xuất hiện trong các bài toán
vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các bài
toán cơ học,. . . . Qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển
thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Nghiệm của các phương trình
đó là các hàm ảnh trong không gian P , chúng ta dùng biến đổi Laplace
ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.
Về lịch sử của biến đổi Laplace có thể nói điểm xuất phát từ năm
1744, Leonhard Euler đã sử dụng các biến đổi tích phân
F (s) =


nên trong phần này chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức căn bản
nhất về phương trình vi phân thường.
Chương 2. Chương này dành cho trình bày một số vấn đề cơ bản về
phép biến đổi Laplace gồm: khái niệm và các tính chất của phép biến đổi
Laplace; Vấn đề hội tụ của biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược và
các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm cho trước; Đạo
hàm và tích phân của biến đổi Laplace.
Chương 3. Để có thể sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích chính
trong việc giải phương trình vi phân thường, chúng ta cần đến biến đổi
Laplace đối với đạo hàm của một hàm cho trước. Kết quả đó cũng được
chúng tôi trình bày một cách chi tiết trước khi vận dụng nó vào mục đích
chính của chương này cũng là mục đích của bản khóa luận - sử dụng biến
đổi Laplace để giải phương trình vi phân.
2


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về biến đổi Laplace và áp dụng của nó trong việc giải phương
trình vi phân thường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình vi phân thường và biến đổi Laplace;
Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân
thường của một số bài toán cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của người hướng dẫn để
hoàn thành mục đích đặt ra.

3



z − z¯
; Imz =
2
2i
4


và
|z|2 = z.¯
z;

z¯
1
= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác định
một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta
lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .

1.2.

Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân

1.2.1.


phân của phương trình đã cho. Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng
thuật ngữ “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này.
1.2.2.

Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.2) xác định trên
khoảng (a, b) nào đó thoả mãn điều kiện
(n−1)

y0 = y (x0 ) , y0 = y (x0 ) , ..., y0

= y (n−1) (x0 ) ,

(1.3)

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu.
1.2.3.

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân

Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu về vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân. Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể
tham khảo trong tài liệu được trích dẫn [1].
Định lý 1.1. (Tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n
dạng chính tắc
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1)
Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n + 1 biến
(n−1)

thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký hiệu bởi
∞

τ

e−st f (t)dt = lim

F (s) = L (f (t)) =

e−st f (t)dt.

τ →∞

0

(2.1)

0

Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội
tụ trong một miền nào đó. Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì ta nói
không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f .
Ký hiệu L(f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phân
trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận. Hàm F (s) được
gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace được gọi là
thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s) là thực hay phức.
Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt
phẳng phức. Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ.
Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai
trò hết sức quan trọng. Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các

τ

= lim
0

τ →∞

e−sτ 1
+
.
−s
s

(2.2)

Trường hợp s là số thực dương thì ta nhận được ngay
1
L(1) = , s > 0.
s

(2.3)

Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và dĩ nhiên không có lời giải của biến
đổi Laplace.
Nếu s là biến phức với Re(s) > 0 thì bằng tính toán tương tự ta cũng có
1
L(1) = . Thực vậy, để có thể kiểm tra tính toán trên đây, ta cần đến công
s
thức Euler
eiθ = cos θ + i sin θ, θ thực.

Ta biểu diễn vế phải của (2.5) như sau
est
e(x+iy)t
ext (cos yt + i sin yt) (x − iy)
=
=
s
x + iy
x2 + y 2
ext
= 2
[(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)] .
x + y2
8


Như vậy đẳng thức (2.5) được chứng minh.
Thêm nữa, chúng ta cũng thu được đẳng thức (2.3) với tham số phức s
nếu lấy Re(s) > 0. Bởi vì
lim e−sτ = lim e−xτ e−iyτ = lim e−xτ = 0,
τ →∞

τ →∞

τ →∞

nên ta nhận được giới hạn trong (2.3).
Sử dụng kết quả trên đây, chúng ta có thể tính được L (cos ωt) và L (sin ωt),
với ω là số thực.
Ví dụ 2.2. Trước hết ta tính

2
2

= L (cos ωt) .

Do đó
L (cos ωt) =

1
2

1
1
+
s − iω s + iω

=

s
.
s2 + ω 2

(2.6)

Hoàn toàn tương tự
L (sin ωt) =

1
2i


1


Từ định nghĩa
∞

e−st f (t)dt

L (f (t)) =
0

te−st
=
−s

1

1

1
+
s
0

−st

e

e−st
dt + lim

lim

et

τ →∞

τ →∞
0

−st

dt = ∞,

0

với mọi cách chọn của biến s vì tích phân không bị chặn khi τ → ∞.
Để có thể nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, chúng ta cần phân biệt
hai dạng hội tụ của tích phân Laplace
2.2.1.

Định nghĩa

Tích phân (2.1) hay biến đổi Laplace được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
tồn tại giới hạn

τ

e−st f (t) dt.

lim

Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền Ω nào
đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số τ0 sao cho với mọi
τ ≥ τ0 ta có

∞

e−st f (t)dt < ε, với mọi s ∈ Ω.
τ

2.3.

Đòi hỏi tính liên tục

Như trên ta đã biết có thể tính được biến đổi Laplace của một số hàm
này cũng như không thể tính được đối với một số hàm khác, chúng ta mong
muốn biết được một lớp các hàm có biến đổi Laplace. Có một lớp các hàm
như vậy mà trên đó có một chút hạn chế đối với chúng. Trước hết ta đưa
ra một khái niệm đảm bảo cho sự tồn tại các lớp hàm như vậy
2.3.1.

Định nghĩa

Một hàm f được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại một) tại điểm
t0 nếu tồn tại và hữu hạn cả hai giới hạn
+
lim− f (t) = f t−
0 , lim+ f (t) = f t0 ,



có điểm gián đoạn nhảy tại t = 0 và nó liên tục tại các điểm còn lại.
11


2.3.3.

Định nghĩa

Một hàm f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) nếu thỏa
mãn các điều kiện dưới đây
(i) Tồn tại giới hạn lim+ = f (0+ );
t→0

(ii) f liên tục trên mọi đoạn (0, b) trừ ra tại một số hữu hạn điểm
τ1 , τ2 , ..., τn trong (0, b) mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy.
Từ định lý Weierstrass chúng ta nhận được kết quả hiển nhiên sau đây
2.3.4.

Mệnh đề

Hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) thì bị chặn trên mỗi đoạn
con, nghĩa là tồn tại các hằng số Mi > 0 sao cho
|f (t)|

Mi , với mỗi 1, 2, ..., n − 1,

và với mọi t ∈ [τi , τi+1 ].

2.4.

12


2.4.3.

Định lý

Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) và có bậc mũ α, thì biến đổi
Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α.
Chứng minh. Trước hết ta có
M1 eαt , với một số t ≥ t0 và một số thực α.

|f (t)|

Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, t0 ] và do đó bị chặn trên
đoạn đó. Khi đó tồn tại số dương M2 sao cho
|f (t)|

M2 , với mọi t ∈ [0, t0 ].

Bởi vì hàm eαt có một cực tiểu dương trên đoạn [0, t0 ], nên ta có thể chọn
được một hằng số dương M đủ lớn sao cho
|f (t)|

M.eαt , với mọi t > 0.

Do đó
τ

τ

x−α

(2.8)

0

Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α .
2.4.4.

Các ví dụ

Ví dụ 2.6. Xét hàm f (t) = eαt , với α là số thực. Đó là hàm liên tục trên
[0, ∞) và có bậc mũ α. Khi đó
∞
αt

L e

=

∞

e
0

−st αt

e dt =

e


−te−st
=
s

∞
0

∞

1
+
s

e−st dt
0

1
= L(1), Re(s) > 0
s
1
= 2.
s
Lấy tích phân từng phần hai lần như trên, ta nhận được
2
L(t2 ) = 3 , Re(s) > 0
s
Bằng quy nạp, ta có thể chứng tỏ được công thức
n!
L(tn ) = n+1 , Re(s) > 0,

dt


tồn tại vì bằng phương pháp tích phân từng phân ta suy ra
∞

L (f (t)) = e−st sin et

∞

2

te−st sin et

+s

2

dt

0
0

= − sin(1) + sL sin

2

et

, với Re(s) > 0.


với các hằng số tùy ý c1 và c2 .
Chứng minh. Tính chất này của biến đổi Laplace được suy ra từ định nghĩa
và tính chất tuyến tính của tích phân
∞

e−st (c1 f1 + c2 f2 )dt

L (c1 f1 + c2 f2 ) =
0

∞

∞

e−st f1 dt + c2

= c1
0

e−st f2 dt
0

= c1 L (f1 ) + c2 L (f2 )
15


2.5.2.

Các ví dụ

đó, từ (2.9) và (2.11), ta nhận được
∞

∞

L (f (t)) =

ak L t

k

=

k=1

2.6.

ak
k=1

k!
sk+1

.

Hội tụ đều

Chúng ta cũng đã thấy trong định lý 2.4.3, các hàm f liên tục từng
khúc trên [0, ∞) và có bậc mũ, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối, nghĩa
∞

t0
−(x−α)t0

∞

=M
t0

e−(x−α)t dt

M
e

x−α

.

(2.12)


Với Re(s) > α. Lấy x > x0 > α, ta nhận được một chặn trên của biểu diễn
cuối cùng
e−(x−α)t0
M
x−α

M
e−(x0 −α)t0 .
x0 − α



e−st f (t)dt

M
, Re(s) = x > α
x−α

0

và cho x → ∞ ta nhận được kết quả.
2.6.2.

Chú ý

Như đã chỉ ra F (s) → 0 khi Re(s) → ∞. Khi biến đổi Laplace tồn tại,
tức là với tất cả các hàm f ∈ L. Như một hệ quả, bất kỳ hàm F (s) không
s − 1 es
có tính chất này, chẳng hạn các hàm
, hoặc s2 , không thể là biến
s+1 s
đổi Laplace của bất cứ hàm f nào.

17


2.7.

Biến đổi Laplace ngược

2.7.1.


1

khi t = 0

g(t) =
Thế thì
ω
.
s2 + ω 2
Bởi vì sự thay đổi một hàm tại một điểm (thậm chí tại hữu hạn điểm)
L (g(t)) =

không làm thay đổi giá trị của tích phân (Riemann) Laplace. Ví dụ này
minh họa rằng L−1 (F (s)) có thể có nhiều hơn một hàm, thậm chí nhiều
vô hạn, ít nhất là khi ta xét các hàm không liên tục.
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào
đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó. Đồng thời, ta cũng chỉ ra
rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất.

18


2.7.2.

Định lý

Các hàm xác định liên tục trên [0, ∞) có biến đổi Laplace ngược hoàn
toàn xác định.
Kết quả này được gọi là định lý Lerch. Nó có nghĩa là chúng ta hạn chế

L−1

1
1
+
2(s − 1) 2(s + 1)

1
1
= et + e−t = cosh t; t
2
2

19

0.


Ví dụ 2.13. Một hàm quan trọng xuất hiện trong hệ thống mạch điện là
hàm bước nhảy đơn vị
ua (t) =

1

khi t

a

0


∞

=
a

e−as
; (R e(s) > 0).
s

= ua (t).

Ví dụ 2.14. Với 0 ≤ a < b cho

uab (t) =


0




1
1
(ua (t) − ub (t)) =

b−a
b−a


0


−1

a1 t a2 t 2
an t n
(F (s)) = a0 +
+
+ ... +
+ ...
1!
2!
n!

20


1
Ví dụ 2.15. Tìm hàm gốc của hàm F (s) = s−1 e s . Sử dụng khai triển
−

Taylor của hàm ex ta được
1

1
1
1
n 1
−
...
+

t2
t3
n t
−
+
...
+
(−1)
+ ...
=1−t+
(2!)2 (3!)2
(n!)2
√ 2
√ 4
√ 2n
2 t
2 t
2
t
n
=1−
+
−
...
+
(−1)
+ ...
22
22 42
22 42

(s − a)m
B2 s + C2
Bn s + Cn
B1 s + C1
... +
+
+
...
+
s2 + ps + q (s2 + ps + q)2
(s2 + ps + q)n

Các hằng số Ak , Bk , Ck tìm được theo phương pháp hệ số bất định. Do
biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính nên để đơn giản ta có thể coi các
21