Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Mục lục
Lời cảm ơn ........................................................................................................ 2
Lời cam đoan ..................................................................................................... 3
Mở đầu .............................................................................................................. 4
1.Lý do chọn đề tài .................................................................................... 4
2.Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 4
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 4
4.Đối tượng nghiên cứu............................................................................. 4
5.Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 4
Nội dung ............................................................................................................ 5
Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng ................................................................... 5
1.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................... 5
1.2.Bài tập ................................................................................................. 6
Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử .............................. 11
2.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 11
2.2.Bài tập ............................................................................................... 11
Chương 3: Tìm xác suất .............................................................................. 19
3.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 19
3.2.Bài tập ............................................................................................... 20
Chương 4: Tính giá trị trung bình ............................................................... 26
4.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 26
4.2.Bài tập ............................................................................................... 26
Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyển động ......... 34
5.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 34
5.1.1.Phương trình Schrodinger .......................................................... 34
5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản ................................................ 35
5.2.Bài tập ............................................................................................... 36

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
TS. Trần Thái Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương pháp giải một
số dạng bài tập cơ học lượng tử” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác.

Sinh viên thực hiện:

Trương Thu Liên

- 3 -


Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói
chung và lý thuyết Vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá
quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý
thuyết đã học.
Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại
học đó là môn cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào

Xét không gian F  q  các hàm số liên tục của các biến q. Các hàm

  q  được chuẩn hoá về đơn vị mà tích phân sau hội tụ:

   q  dq  N (hữu hạn)
2

thì hàm  '  q  

(1)

1
  q  được chuẩn hoá về đơn vị. Việc nhân hàm  với
N

1
được gọi là phép chuẩn hoá hàm  về đơn vị. Hàm đã được chuẩn hoá
N
theo (1) có thể sai khác nhau một thừa số có modul bằng đơn vị.
Trường hợp:

   q  dq   thì các hàm của không gian này không
2

được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng chỉ số

f : f  F  q  trong đó f trải từ f0   một cách liên tục. Ta gọi các hàm
f  F  q  là hàm ứng với phổ liên tục. Và khi đó f được chuẩn hoá về hàm
delta:  .
Với hàm delta một biến được định nghĩa như sau:

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

1.2.Bài tập
Bài 1.1: Chuẩn hoá các hàm số sau:
(a) Ae ax  a  0;   x   
2

(b) A n sin

nx
 n  1,2,3,...;0  x  a 
a

i

(c) px  x   Aexp  p x x     p    về  - hàm với p   . Và


 i 
trong trường hợp tổng quát: p  Aexp  pr 
 
Lời giải
(a)Đặt   x   Ae ax  a  0;   x   
2

Hàm   x  ứng với phổ rời rạc cho nên ta chuẩn hoá hàm   x  về đơn vị:
Tức là

   x    x  dx  1 



e



x 2



dx  2  e
0



I  I.I  2  e
2

0

Đặt

x 2

x 2

dx  2  ey dy
2

0




 x 2  y2

dxdy


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

2



0

0

 I  4 d  e
2



 r 2
e







I
  e2ax dx 
2a
2a




Từ điều kiện chuẩn hoá (1) 

2 x
2
 A e dx  A
2




2a
1 A  4
2a


Hàm   x  sau khi chuẩn hoá có dạng:
x 

(b)Đặt   x   A n sin


Ta có:  A sin
 dx
a
2
2
a


0
0
a

a

2
n

2

a
1 2 
a
2nx   1 2
 A n  x 
sin
   Ana
2 
2n
a  0  2


   x    x  dx    p  p'

chuẩn hoá về  - hàm. Tức là:

*
p'

p





   x    x  dx   A
*
p'

Xét tích phân

2

p





(3)

i




(*)Trường hợp tổng quát


 i 
p r  Aexp  pr     p    về  - hàm
 





    
i
 p  Aexp  p x i  p y j  p z k xi  y j  zk 










i

 Aexp   xp x  yp y  zpz  với r  x, y,z


r
dr

A
exp
 p  p'


p



*

p'

 



- 8 -





 r  dr





Kết hợp với điều kiện (*)
 
 
3
 A2  2   p  p'   p  p'  A 



 



1

 2 

3

Vậy hàm p sau khi được chuẩn hoá về  - hàm có dạng:


p r 



 i 
exp  pr     p   
3


0

0

dV     r  r dr  sin d  d
2

2

0



 4A  e
2



2r
a

.r 2dr

0



Tính tích phân: I   e







 ae
0

0



2r
a



.rdr  a  e



2r
a

.rdr

0

u  r  u '  1


1
a 3

Vậy hàm  sau khi chuẩn hoá có dạng:   r  

- 10 -

1
a 3

e



r
a



0

a3

4


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý



 A11  f  a1 


 A 21.a1

...

 A p1.a1



A12 .a 2
 A 22  f  a 2
...

 ... 
 ... 
...

A p2 .a 2

 ... 

A1pa p
A 2pa p
...

A


biến thực x , liên tục, đơn trị và hữu hạn trong toàn không gian.

- 11 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Lời giải
d
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử p x  i
là:
dx
p x   x   p x   x 

 i

(1)

d  x 
d  x  i
 Px   x  
 px dx
dx
x 

(2)

Lấy tích phân hai vế phương trình (2) ta được:

hàm  về  - hàm.
Tức  *p '  x  p  x  dx    p  p'
Kết quả tìm được hệ số như sau: A 

1
(theo kết quả bài 1.1.c).
2

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

x 

1
i

exp  p x x  với    p  
2



- 12 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Bài 2.2.Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử sau:
  i 
(a) L

x

 i

(1)

d  
d   iLx
 Lx    

d
d
  


 ln     

iL x
  ln A,A  const


     Ae

iLx



Để hàm    đơn giá nghĩa là         2  , ta có:

e


cho

hàm

riêng

và

2
2
2
2
2
T  Lz        d là:
2I
2I 2
2I d2

- 13 -

trị

riêng

của

toán

tử

2

Nghiệm    có dạng:      Aeik
Từ điều kiện đơn giá:         2  , ta có
ik 2 

A.eik  A.e

 eik2  1 hay k  0; 1; 2;...

 có dạng:
Vậy hàm riêng và trị riêng của T
2k 2
     A.e ;E 
,  k  0; 1; 2;...
2I
ik

Bài 2.3.Tìm hàm riêng trong lớp hàm liên tục, đơn trị và hữu hạn của toán tử:

u  x   0; 0  x  a
2 d 2

H

u
x
với




Phương trình đặc trưng của (3) là: y2 

2mE
2mE
 0  y1,2  i
2

2

- 14 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
Đặt: k 

2mE
 y1,2  ik
2

Vậy nghiệm tổng quát của (3) là:

  x   c1 sin  kx   c2 cos  kx 
Do c1 ,c2 là các hằng số tích phân bất kỳ nên ta có thể đặt:

c1  Acos  và c2  Asin     x   Asin  kx  

u  x   0 tức là xác suất tìm thấy hạt bằng không nên   x   0 khi x  0 hay


 là: E   n  với n  1,2,3,...
Vậy giá trị riêng của H
2ma 2
2

2

2

 Năng lượng của hạt trong giếng thế bị lượng tử hoá, nó có phổ giá đoạn, tỉ

lệ với bình phương số lượng tử n.
Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:
 n  x   Asin

nx
,  n  1,2,3...;0  x  a 
a

- 15 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

n  x  


f 
f  1

 A có hai giá trị riêng f1  1 và f 2  1.
f a  ia 2  a1  ia 2  0
Với f1  1 ta có hệ phương trình:  1 1
 ia1  f1a 2  ia1  a 2  0
 i 
Đặt a 2    a1  i  vectơ riêng ứng với f1 là:  x 1    
1
f a  ia 2  0 a1  ia 2  0

Với f 2  1, tương tự ta có:  2 1
 ia1  f 2a 2  0
ia1  a 2  0
i 
Đặt a 2    a1  i  vectơ riêng ứng với trị riêng f  1 là:  x 1     .
 1
Bài 2.5.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 3:
1 i 0 
A   0 1 1
 i 0 1



Lời giải
Từ phương trình đặc trưng ta có:

- 16 -


 0.a1
 i.a

1


i.a 2
1  f .a 2
0.a 2





0.a 3
1.a 3
1  f .a 3

 0 a1  ia 2  0

 0  a 2  a 3  0
 0 ia1  a 3  0

Đặt a 2    a1  i; a 3  
Vậy vectơ riêng ứng với trị riêng f  0 là  x 0

 i 
  1 
1 

- 17 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

 1  

1  2 

2
2
L   
 sin   2

sin


 sin  2  



 2

1 2 
   2  cot g  2

 sin  2 
 

 A   sin   2cos  cos  


(2)

 2Y
 A   cos   2sin  cos  
2

(3)

 2Y 
  2Asin  sin   2Asin  cos 
2 

(4)

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:
2 2 Y  ,    L2Y  ,    L2  22

2 là L2  22
Giá trị riêng của toán tử L

- 18 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý



dw  q 
dq

Khai triển hàm  theo hệ  n 

   Cn  n (hoặc  Cf f df )
n

nn '
Với   n ,  n '  
 n n '

Nếu
rạc
Nếu

 n
 n

là hệ rời
là hệ liên

tục

Và Cn    dq    n ,  
*
n

- 19 -

đoạn x   ;  ?
4 2
Lời giải
Hàm sóng  n  x   A n sin
chuẩn hoá: An 

n  x  

nx
, đã được chuẩn hoá ở bài 1.1.b có hệ số
a

2
và hàm sóng sau khi đã chuẩn hoá:
a

2
nx
sin
,( 0  x  a,n  1,2,..) .
a
a

(a)ứng với n  3 ta có:  3  x  

2
3x
sin
.
a

2
x
1  x   1  x   sin 2
a
a

Xác suất tìm thấy hạt trong đoạn  x, x  dx là:

dw  x   1  x  dx
a a 
Còn xác suất tìm thấy toạ độ hạt trong đoạn  ;  là:
4 2
a
2

a
2

a
2

4

4

4

2

1 

2
nx
sin
,  0  x  a  , cho biết hàm  px  x 
a
a
Lời giải

Phương trình hàm  px  x  

1
i

exp  .p x .x  ,    p x   
2



d
Khai triển hàm n  x  theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng: px  i
dx

là:

n  x    Cpx px dp  Cpx   *px  n dx

- 21 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học


Cp x  
0

 i
  n 
Xét tích phân: I   exp  p x x  sin  x  dx
 
  a 
0
a

i
n
Đặt    p x ;  
ta có:

a

 i
  n 
I   exp  p x x  sin  x  dx   exp xsin x  dx
 
  a 
0
0
a

a


cos

a







  2  2 
 2  2 
 i

exp  p x a 
 
   i p sin  n a   n cos  n a    1 n



2
2
  x  a  a
 2  2


 a     a




2 2
n   a p
 



 Cp x 


1
2
a2

n
 i

n

1


1
exp

p
a





Vậy xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng một hạt lượng tử ở
trạng thái n  x  là w  px  :
2

n 2a3


n
 i 
w  p x   Cpx 
1   1 exp  pa 
2

  
 n 2   ap   



Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá trị p xác định của xung lượng của một

hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng  r xác định nào đó.
2



Lời giải


Khai triển hàm  r



 

1

 2 

3


 i  

r
exp
 p.r  dr

  





 xác suất đo được giá trị p của xung lượng ở trạng thái  r là:




2
w p  Cp 




Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
Trước hết ta tính C p . Ta có




Cp    r *p r dV với  p r 

 
1

C 

p

 2 

3



1

 2 

3

 p.r  dV

  







 r
 i

 A  d r exp   exp  pr cos  sin ddr
 a 0
 

0
0
2

1

Với A 

3

a 3  2  2



2





2

i

A
1
1
84a 3


 Cp 


3
p   1 ip 2  1 ip 2 
3
2
2 2 2
2   a p 

a
2




p

4p dp 
2

3235

  2  a p



2 2 4

- 25 -

p 2dp