BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Minh Phong
MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 12 Ở VIỆT NAM
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Minh Phong
MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 12 Ở VIỆT NAM
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn
Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
: giáo dục phổ thông
SGK
: Sách giáo khoa
SBT
: Sách bài tập
SGV
: Sách giáo viên
TCTH
: Tổ chức toán học
THPT
: Trung học phổ thông
THCS
: Trung học cơ sở
VTPT
: vectơ pháp tuyến
CHƯƠNG I: ......................................................................................................................... 8
MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ........... 8
I. Hình học giải tích thời cổ đại ......................................................................................... 8
1. Apollonius (262-190 TCN) ........................................................................................ 8
2. Kết luận ...................................................................................................................... 9
II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 .................................................................................... 10
1. Rene Descartes (1596-1650) .................................................................................... 10
2. Pierre de Fermat (1601-1665) .................................................................................. 14
3. Kết luận .................................................................................................................... 15
III. Những phát minh sau Descartes và Fermat ............................................................... 15
1. Tóm tắt sự phát triển ................................................................................................ 15
2. Kết luận .................................................................................................................... 16
CHƯƠNG 2 : ...................................................................................................................... 17
MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO ............................ 17
I. Mục đích phân tích ....................................................................................................... 17
II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
ở Việt Nam ....................................................................................................................... 18
1. Giai đoạn chuẩn bị ................................................................................................... 18
1.1 Khái niệm tọa độ điểm ........................................................................................... 18
1.2 Khái niệm đồ thị hàm số ........................................................................................ 19
1.3 Một số quan hệ hình học ........................................................................................ 21
Kết luận ........................................................................................................................ 23
2. Giai đoạn tường minh .............................................................................................. 23
2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm ............................................. 25
2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng ...................................... 26
2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng ................................... 29
Câu 3: ........................................................................................................................... 60
IV. Phân tích a posteriori ................................................................................................. 61
V. Kết luận ....................................................................................................................... 65
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN ...................................................... 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 70
trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
- Trong lịch sử phát triển của toán học, xu hướng đại số hóa hình học bắt đầu
được vài thế kỉ (thế kỉ XVII-XVIII) do Rene Descartes và Pierre Fermat đặt nền
móng, và đang là xu hướng chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán hình học.
Tuy nhiên, hình học được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp có từ rất lâu
trong lịch sử phát triển của toán học, từ thời Euclide đã có nền tảng khá vững chắc.
Vậy các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng trên cơ sở hai
phương pháp này có liên hệ với nhau như thế nào? Việc vận dụng kiến thức HHTH
để giải quyết bài toán HHGT và ngược lại thể hiện như thế nào?
- Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ
năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian,
chương trình toán phổ thông và sách giáo viên hình học 12 đã yêu cầu học sinh:
“Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
…biết điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng…” ([10], tr 189)
Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của
HHTH như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Rõ ràng để đạt được những mục tiêu chương trình yêu cầu thì học sinh cần
vận dụng được các kiến thức của HHTH để hiểu và để giải toán HHGT. Vấn đề đặt
ra ở đây sẽ là: liệu trình bày của SGK hiện hành có tạo điều kiện để học sinh vận
HHTH và HHGT trong phạm vi hình học lớp 12 chương trình hiện hành. Cụ thể
mối liên hệ được đề cập ở đây là mối liên hệ giữa kiến thức về các khái niệm hình
học, các quan hệ hình học được đề cập trong chương “phương pháp tọa độ trong
không gian”, sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12.
- Chúng tôi lựa chọn bộ sách hình học 12 nâng cao để phân tích vì chúng tôi
nhận thấy trong bộ sách này, một số khái niệm hình học, quan hệ hình học như sự
đồng phẳng của bốn điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau… được đề cập tường minh hơn so với bộ sách hình học
12 chương trình cơ bản.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
trang 3
III. Khung lí thuyết tham chiếu
- Để trả lời những câu hỏi đặt ra, tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi
didactic Toán, cụ thể tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của thuyết nhân học sư
phạm ( quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng O, tổ chức toán học
(praxéologie)) và khái niệm hợp đồng didactic. Sau đây, chúng tôi sẽ cố gắng giải
thích sự thỏa đáng trong việc chọn khung lí thuyết tham chiếu:
1. Thuyết nhân học sư phạm
• Quan hệ cá nhân với một đối tượng
- Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan
hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động
qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, …
R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O.
- Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và
một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết.
- Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X
điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.
- Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ
của công nghệ θ .
- Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là
một tổ chức toán học (organisation mathématique).
“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình
trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy
sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. (Bosh và Chervarlard, 1999, tr 85)
Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể
phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học hình học 12 ở Việt Nam với mối
liên hệ giữa HHTH và HHGT, đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học
sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu
mà chúng tôi đã đặt ra.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
trang 5
2. Hợp đồng didactic
- Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy-học là sự mô hình hóa các
quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối
tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường
minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,
về một tri thức toán học được giảng dạy.
- Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các
quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị
- Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân
chủng học và khái niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng.
- Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể được trình bày
lại như sau:
Q1) Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối liên hệ giữa các khái niệm hình
học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT thể hiện như thế nào?
Q2) Mối liên hệ này được thể chế dạy học hình học lớp 12 chương trình nâng
cao đề cập như thế nào?
Q3) Quan hệ của thể chế với đối tượng đang xét (mối liên hệ giữa HHTH và
HHGT) ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng này như thế
nào?
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tôi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên cứu
của mình như sau:
- Phân tích lịch sử phát triển của HHGT nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái
niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT trong lịch sử. Nghiên
cứu này đồng thời là một tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện
phía sau.
- Phân tích chương trình và SGK Hình học 12 nâng cao, phân tích này cho phép làm
rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng cần nghiên cứu.
- Tổng hợp kết quả hai phân tích trên để đề ra một số giả thuyết nghiên cứu.
- Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết nghiên cứu đã rút ra.
Có thể tóm tắt phương pháp nghiên cứu bằng sơ đồ sau:
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
trang 7
Nghiên cứu lịch sử
CHƯƠNG I:
MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG
HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT
TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
I. Hình học giải tích thời cổ đại
1. Apollonius (262-190 TCN)
- Apollonius đã lập được “phương trình” (thật ra là các đẳng thức về các
đoạn thẳng tỉ lệ) của parabol, elip, hyperbol, mà nếu phát biểu bằng ngôn ngữ đại số
hiện đại thì các phương trình ấy có dạng như sau:
y2 =
2 px; y 2 =−
2 px
p 2
p 2
x ; y 2 =+
2 px
x
a
a
- Ta xét cách mà Apollonius lập phương trình của parabol để thấy rõ hơn
cách làm của ông: ông xét một hình nón nghiêng 1 đỉnh A, đáy là đường tròn đường
kính BC. Từ một điểm P trên cạnh AB, ông dựng một mặt phẳng cắt đáy theo dây
cung ED vuông góc với đường kính BC 2. Giao tuyến của hình nón với mặt phẳng
này là parabol EPD (xem hình vẽ). Gọi Q là một điểm bất kì trên parabol đó. Dựng
một mặt phẳng qua Q song song với đáy, cắt hình nón theo đường tròn HQK.
Trong đường tròn HQK, ta có QV 2 = HV .VK
Mà hai tam giác HVP và BCA đồng dạng nên
trang 9
Điều này có nghĩa là QV2 bằng tích của PV với một số không đổi, hay như
chúng ta biết theo kí hiệu hiện đại là y 2 = 2 px .
- Sau khi có được phương trình của các cônic, Apollonius đã phân loại các cônic
theo phương trình của chúng.
- Xét về bản chất, Apollonius đã lập phương trình của các cônic bằng cách đưa
một hệ trục tọa độ xiên góc vào cônic. Một trục ông thường chọn là trục đối xứng
của cônic ấy. Với trục này ông xác định được “hoành độ” của điểm trên cônic, còn
“tung độ” của điểm đó là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu xiên góc của nó lên
“trục hoành”.
- Như vậy, trong “hình học giải tích” mà Apollonius xây dựng, các khái niệm
hình học, cụ thể là khái niệm cônic, Apollonius định nghĩa cônic là giao tuyến của
mặt nón tròn xoay với mặt phẳng, tức là các khái niệm hình học hoàn toàn đồng
nhất với các khái niệm của HHTH. Về các quan hệ hình học, hầu hết chúng vẫn
đồng nhất với các quan hệ hình học của HHTH, tuy nhiên một vài quan hệ đã ngầm
ẩn chuyển sang quan hệ đại số dưới dạng tỉ số của các đoạn thẳng dựa trên đặc
trưng của đoạn thẳng là độ dài của chúng.
2. Kết luận
- Mặc dù ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cônic dựa theo
phương trình của chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic)
được định nghĩa là giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học
đơn giản như quan hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vuông góc trong “hình
học giải tích” mà ông xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặc chẽ, thậm chí là đồng
nhất giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ hình học của HHTH. Một vài quan
hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi HHGT dựa trên đặc trưng
độ dài, diện tích… của chúng. Do vậy, HHGT ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý
tưởng, mầm móng: các bài giải của HHGT hầu như đồng nhất với lời giải của
HHTH, kiến thức HHTH được vận dụng triệt để, phổ biến để giải quyết vấn đề của
S
đường thẳng đã cho là CB, CD, CF, CH.
R
Chọn một trong bốn đường thẳng làm
E
A
G
B
gốc, ba đường thẳng còn lại cắt đường
thẳng gốc tại A,E,G. Đặt AB=x, BC=y.
H
F
Ba đường thẳng còn lại cắt BC tại R,S,T.
(hình vẽ)
3
C
D
bx
hoặc C nằm giữa B,R thì CR
=
− y)
z
z
Lại có: ba góc của tam giác DRC đã biết, do đó tỉ số giữa cạnh CR và CD
cũng xác định. Gọi
CR z
=
CD c
5
và vì CR= y +
bx
cy bx
nên CD
=
+ .
z
z z2
Vì các đường thẳng AB, AD, EF cố định nên độ dài đoạn AE đã biết. Nếu
đặt AE = k thì EB= k + x (hoặc EB= k − x khi B nằm giữa A,E và EB= x − k khi
E nằm giữa A,B). Vì các góc tam giác ESB đã biết nên tỉ số của BE và BS đã biết.
Gọi tỉ số này là
BGT, ta đặt
TCH, tỉ số
BG z
fl − fx
zy + fl − fx
thì BT =
và CT =
. Và trong tam giác
=
BT
f
z
z
TC z
gzy + fgl − fgx
= đã biết, từ đó CH =
z2
HC g
Khi đã có các đoạn thẳng cần tìm, dựa vào giả thiết và rút gọn, Descartes tìm
thấy quĩ tích điểm C là phương trình có dạng như sau:
=
y
5
p 2
n
K
Giả sử GA ⊥ AB. Đặt GA=a, KL=b, NL=c.
Chọn AB làm trục x, gốc ở A. Kí hiệu các đoạn
N
chưa biết là AB=x, CB=y.
ta có ∆CBK và ΔNLK đồng dạng nên:
CB BK
=
NL LK
C
L
B
BC.LK by
suy =
ra BK =
NL
c
by − bc
Mà L nằm giữa B và K nên: BL = BK − KL =
c
Và B nằm giữa AL nên: AL = AB + BL =
AB
A' B '
AC+BC=AC, ∆ABC và ∆A’B’C’ đồng dạng thì =
AC
BC
=
…Ngoài ra,
A 'C ' B 'C '
khi khẳng định quĩ tích cuối cùng là hyperbol, Descartes đã thừa nhận sự tương ứng
của một phương trình với một đường cong tương ứng. Tuy nhiên, bản thân
Descartes cũng chỉ dựa vào những kết quả sẵn có từ thời Apollonius để khẳng định
quĩ tích các điểm thõa mãn một phương trình đại số mà chưa thấy có một tiến triển
nào hơn thời cổ đại! Điều này làm chúng tôi băn khoăn: trong trường hợp các
phương trình thu được hoàn toàn khác so với những dạng mà Apollonius đã nói,
liệu Descartes có biết được hình dạng của đường cong?
- Ta xét một nhận xét trong một bài toán khác của Descartes cho thấy xu hướng
sử dụng đại số của ông trong việc giải các bài toán hình học:
Cho đường cong ACQ đi qua gốc A và có trục AG. Đặt CM=x, AM=y.
Dựng một đường thẳng qua C cắt trục AG tại P.
Giả sử AP=v, CP=s. Theo định lí Pitago ta có:
PC 2 = s 2 = x 2 + (v − y ) 2 = x 2 + v 2 − 2vy + y 2
Phương trình đường tròn qua C, nhận P làm tâm
sẽ là: y =+
v
s2 − x2 .
Khử x hoặc y trong phương trình của đường cong và đường tròn ta thu được một
đường thẳng NI. Ông đặt NK=A, NZ=B, MK=E, IZ=D.
I
NK NZ
Khi đó vì MK//IZ nên
=
MK
IZ
Tức là
A B
hay A.D = B.E
=
E D
M
E
N
A
Hay nếu phát biểu bằng kí hiệu thường dùng hiện nay là dx=by
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
K
Z
với các dạng phương trình cônic mà ta dạy cho học sinh ngày nay, đồng thời ông đã
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
trang 16
chứng minh các tính chất của cônic bằng phương pháp đại số, suy từ phương trình
của các cônic đó.
- Newton (1642-1727) dùng phương trình đường cong để định nghĩa độ
nghiêng của tiếp tuyến với đường cong.
- Leibniz (1646-1716) đã phát triển phương pháp vi phân, ông chứng tỏ rằng
bằng việc sử dụng các kí hiệu dx, dy mà ông nêu ra thì các tính chất của đường
cong hoàn toàn diễn đạt được bằng những phương trình.
- Leonhard Euler (1707-1783) trong tập 2 của cuốn “mở đầu về giải tích vô cùng
bé” đã trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống môn hình học giải tích. Trong tác
phẩm này, Euler đã cố gắng giải quyết tất cả các vấn đề của hình học bằng công cụ
đại số: Euler định nghĩa hệ tọa độ, định nghĩa đường cong, đưa ra công thức biến
đổi tọa độ, nêu lên các tính chất của cônic có thể suy từ phương trình của chúng…
2. Kết luận
- Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng
chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học. Các tính chất của các
khái niệm hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dung
tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa. Các
quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số. Và cũng từ đây, các khái niệm
hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và
dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó
trong HHTH. Sự tiến triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để
nghiên cứu hình học. Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng
chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng nghiên cứu hình học trước đây. Tuy nhiên,
nào với các khái niệm, các quan hệ tương ứng trong hình học tổng hợp? Việc vận
dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT được đề cập như thế nào ? Những tổ
chức toán học nào được xây dựng trong chương “ phương pháp tọa độ trong không
gian” thể hiện mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với các khái niệm hình học,
các quan hệ hình học đã phân tích?
- Kiểu nhiệm vụ “ dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian
với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH ” được thể chế giới thiệu như thế nào? Đâu
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
Copyright: Tài liệu đại học ©