BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT CHUN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Tơn Nữ Thanh Thủy.
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục



Phương pháp dạy học bộ mơn: Tốn ...................
Phương pháp giáo dục





Lĩnh vực khác: ......................................................... 
Có đính kèm:
 Mơ hình
 Phần mềm

 Phim ảnh


- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1)Tích phân
2)Hệ phương trình
3)Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
4)Khảo sát hàm số .
5)Cực trị hình học .


BM03-TMSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
+Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12
chuẩn bị thi vào đại học, giải quyết vấn đề ứng dụng tích phân một cách dễ
dàng.
+Tính mới của đề tài : bổ sung tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình
phẳng quanh trục tung trong điều kiện (C): y = f(x) không rút được quy tắc
ngược x theo y dễ dàng . Bài viết đã được trích đăng trên tạp chí toán học tuổi
trẻ số 397 tháng 7 năm 2010.
I. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
- Thực trạng về mặt tích cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài.
- Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan
với đề tài.
- Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan
với đề tài.
2. Khó khăn
- Thực trạng về mặt tiêu cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài.
- Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quan

- Trình bày số liệu thống kê, phân tích so sánh kết quả đạt được so với
trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này.
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách.
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ
thực hiện và dễ đi vào cuộc sống.
- Phạm vi đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng
áp dụng đạt hiệu quả.
V. KẾT LUẬN
Khái quát các vấn đề được rút kết từ sáng kiến kinh nghiệm này và nêu
những đề xuất với các cấp quản lý.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ghi tên tài liệu tham khảo và tên tác giả đã được sử dụng trích dẫn trong
sáng kiến kinh nghiệm.
1. Tên tài liệu - Tác giả - Nhà xuất bản - Năm xuất bản
2. ....................................................................................
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

TÔN NỮ THANH THỦY


BM04-NXĐGSKKN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Chuyên
LƯƠNG THẾ VINH

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối,
chính sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ
thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 
Khá 
Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)


ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

(a≤x1
y

f(x)

g(x)

f(x)

s

s
a

g(x)

b

h(x)

x

O

O

a

c

b

diện tích hình phẳng.
III) BÀI TẬP MẪU:
Bài 1:
( P ) : y = f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 6

Tính S: (Ox) : y = 0
(d ) : x = −2 ; (d ) : x = 4
2
 1

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2


15

20

25

30

35


Giải :
 x = −1

+ PTHĐGĐ của (P) và Ox là : 2x2 – 4x – 6 = 0 ⇔  x = 3

2
Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x) = 2x – 4x – 6 trên đoạn [– 2; 4]
x
-2
-1
3
4
f(x)
+
0
0
+
−1



4

∫

f ( x)dx +

−1

∫ f ( x)dx
3

( P ) : y = x − 3 x + 2

Bài 2 : Tính S: ( D) : y = x − 1
Oy : x = 0

2

Giải:
(P)∩Ox: x2 – 3x + 2 = 0  x = 1; x = 2
(P)∩(D): x2 – 3x + 2 = x – 1  x2 – 4x + 3 = 0
 x = 1; x = 3.
(D)∩Oy: x = 0 ⇒ y = - 1 ⇒ (0, -1)
(P) ∩Oy: x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0, 2)
S = S 1 + S2 =

∫ [x
1


2
= ∫ ( x − 4 x + 3)dx − ∫ ( x − 4 x + 3)dx =
0

1

1

3

 x3

 x3

28
 − 2 x + 3 x  −  − 2 x + 3x  =
( đvdt )
3
 3
0  3
1

Bài 3: Tính S: {(C): y2 + x – 5 = 0;
(D): x + y – 3 = 0}
Giải :

(C)

(C ) : y + x − 5 = 0
(C ) : x − 5 − y


x


2

 y3 y2

8
  −1 1
 9
- ∫ ( y − y − 2)dx = −  − − 2 y  = −  − 2 − 4  +  − + 2  = (đvdt )
2
3
  3 2
 2
 3
 −1
−1
2

2

Cách 2 :

∫[
4

S=



4

2
4
− (5 − x) 3 / 2 − (5 − x) 3 / 2
3
3
1

5



=  − 2  − (1 − 8) − (0 − 1) = (đvdt)
1
2

4



2
3

4
3

9
2

 x = a, y = a
 y 2 = ax


a
(P1)
x


x2 

dx =
ax
−
S= ∫ 
a


0
a

a

a

2 a
x3 
2a 2 a 3 a 2

 =

(P2)

y

2 2

2

y3
8
2I −
= 2I −
3 0
3
2

2
Xét I = ∫ 8 − y dy . Đặt y = 2 2 Sint ⇒ dy
0

= 2 2 Costdt

x


2

∫

I=




1



∫ (1 + Cos 2t )dt = 4 t + 2 Sin2t 

π /4

π 1
= 4 +  = π + 2

0

4

2

8
8
4
= 2π + 4 - = 2π + (đvdt)
3
3
3
2
Ta có: S1 + S2 = π(2 2 ) = 8π
4


(P) ∩ Ox: y = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0
⇔ x = 1 hay x = 3

∫ [( x + 3) − ( x

]

1

S=

2

− 4 x + 3) dx

0

3

[

]

+ ∫ ( x + 3) + ( x 2 − 4 x + 3) dx +
1

∫ [( x + 3) − ( x

]

2

s1

+ 5 x)dx

x

3

1

3

 x 3 5x 2 
 x 3 3x 2 


−
+
=
 +  3 − 2  +
2
2

0

1
 x 3 5x 2
 −

3.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = x .
Bài 2:(A–2007)Tính diện tích hình phẳng g/ hạn bởi các đường : y = (e +1)x, y
= (1 + ex)x
Bài 6:(Cao Đẳng 08-09)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) :y = –
x2 + 4x và đt d : y = x
Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (P) :
y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại M(3, 5) và trục tung .
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các nhánh của đường (y x)2 = x3 và đt x = 1
Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong x2 = 4ay; y=
8a 3
(a> 0)
x 2 + 4a 2

Bài 6 : Tính diện tích của 2 phần hình tròn
x2 + y2 = 8 bị phân chia bởi parabol y2 = 2x .
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = x4 - 2x3 + x2 + 3 ; trục
hoành và 2 đường thẳng // với truc tung và đi qua các điểm cực tiểu của đường
cong trên .
Bài 8 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x ; y = x +
Sin2x
(0 ≤x ≤ π).
Bài 9:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = Sin3x ; y = Cos3x, x
=0
(0≤ x ≤ π/4)
Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong y = 2 - x2
và y3 = x2 .
PHẦN II: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
A)LÝ THUYẾT:
I)Thể tích của vật thể : Cắt 1 vật thể V bởi 2 mp (P) và (Q) vuông góc với trục
Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x

a

y
d

y= f(x)
x

M(x, y)
x

M=(x, y)

a

c
2)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi
4 đồ thị :
y = f(x) liên tục trên [a; b]  x = g(y) liên tục trên
[c, d] , y’Oy, 2 đường thẳng y = c; y = d . Gọi H/ là hình tròn xoay tạo thành khi

quay H 1 vòng quanh trục tung ⇒ VH’

d

d

c

c


− 4 x 3 + x 4 dx

0

2

1 
16
4
= π  x 3 − x 4 + x 5  = π (đvdt )
5  0 15
3
1.5

1

y=f(x)

y=q(x)

0.5

-3

-2

-1

1

1/ 2
1 − y -2dy = 4π ∫ 1 − y dy = − 4 π ∫ (1 − y ) d (1 − y )

0
0

3

4


6

8π
= − (1 − y ) 3 / 2
3

1

=
0

8π
(đvdt)
3

5

( P ) : y = x 2 ( x > 0)


3

2

D2
1

-2

]

2

O

4

6

-1

2

-2

3

x

 1 (−3 x + 10) 3

Vy = ∫ 
9
1 

y ; (D1): y = -3x + 10 ⇔ x =

10 − y
3

( y ) dy = π9 ∫ ( y − 10) d ( y − 10) − π ∫ ydy =
4

2



4

2

1

1

4

 π ( y − 10 ) 3 π 2 
152π 15π 101π
 .
 =

Y
4

(p2 )

x
3

(p1 )
2

1

X
-8

-6

-4

-2

2

-1

Giải:

4


a2 − x2 .
Cung BA: y =
a
a

a) (E):

5

Do các cung BA và CA đối xứng nhau qua Ox nên :
πb
b
2
2 
Vx = π ∫  a − x dx = 2
a
a

− a
a

2 a

2
(∫ a − x )dx = πb2
a
−a
2

2

2

− ( x + 2) dx =
2

2

Y

1

(

)

Bài-6 5: Tính thể tích
khối tròn xoay
tạo nên
-4
-2
khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R =
1 quay quanh trục Oy.
Giải
Phương trình (I. R): ( x – 2)2 + y2 = 1
⇔ (x – 2)2 = 1 – y2 ⇔ x = 2 ± 1 − y 2

-8

1


A
O

Đặt y = Sint ⇒ dy = Costdt ⇒ Vy = 16π

0

4

10

-2

1 − Sin 2 t Costdt

8

6

4

-4

π /2

2
=16π ∫ Cos tdt

2



L3
-2

2

Bài 6: Cho S: {(P):y=2x ; (D): y =
2x +4}. Tính Vx khi S quay quanh
Ox
Giải : (C) ∩ (D): 2x2 = 2x + 4 ⇔ x2
–x+2=0⇒x=-1∨x=2

12

10

y

8

6

2
4
⇒ Vx = π ∫ [(2 x + 4) − 4 x ]dx =

-4

L2
-6

2

x
-5

X

12

-1

1

∫

B
2

dy
2
 = 16π-3∫ 1 − y dy
0
π /2

I

5

 3π (2 x + 4) 3 4πx 5 
288π (đvdt)



x = 0
x3
= x2 ⇔ 
Giải : PTHĐGĐ của (C) và (P) là
3
x = 3
2

3
 x3 

x6
Vx = π ∫ ( x ) dx − π ∫   dx = π ∫  x 4 −
3 
9
0
0
0
3

3

2 2


486π
dx =
(đvtt)

y = x(4 - x) quanh Ox .
Bài 3 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường
y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Ox .
Bài 4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy.
Bài 5 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường
y= xex; x = 0 ,
x = 1 quanh trục Oy .
Bài 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy.
Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía dưới bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên bởi đt đi qua
A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất
Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn bởi (P):y = x2 và đthẳng có hệ số góc k,
quaA(x0; y0) ∈ Miền trong của(P) thỏa:y0>x02. Tìm k để S nhỏ nhất
Bài 9 : Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: x + y = 0 ; x2 – 2x
+y=0
Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y= x và y = Sin2x + x (0 ≤ x
≤π)
Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3 .
Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0
< a < b)
Bài 13 :Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình
phẳng S giới hạn bởi các đường :y = xex ; x = 1; y = 0 (0 ≤ x ≤ 1 )
Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox
hình phẳng S giới hạn bởi các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2.


Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox, với H
là hình được giới hạn bởi 4 đường:y = 0;y = Cos 6 x + Sin 6 x ;x = 0; x = π/2
Bài 16: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi :y = - 3x +10, y = 1 và y = x2 . (x >

d
x
a
b
1) Hình phẳng quay quanh trục hoành:
Cho hình phẳng H giới hạn bởi 4 đường
M(x,
M=(x,
y)

y) x

cơ bản

c

(C) : y = f (x)lieân tuïc treân [a, b]

: x' Ox
d : x = a; d : x = b
2
 1

Gọi K là khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành 1vòng
b

2

b



3)Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung
trong điều kiện không rút được x theo y dễ dàng :
+ Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục và đơn điệu trên [a;b] ⇒ tồn tại hàm số
ngược x = g(y) liên tục và đơn điệu trên [c;d]
d

+ Để tính VT = p ∫
c

[g(y)]2 dy

d

2
= p ∫ x dy ; Ta đổi biến : g(y) = x
c

d

và dy = f’(x)dx; đổi cận ; Tính : VT =p ∫ [g(y)]

6

2

dy

=p




1
1

x 2
2
Giải : a) Thể tích khối tròn xoay (H) : V(H) = π ∫ (xe ) dx − ∫ x dx  =
 0

0
1
3 1
x
2
2
x

π ∫ x .e dx −


3
0
0
1

2 2
Tính I = ∫ x e xdx bằng TPTP 2 lần ⇒ I =
0


x

e

2
V(T2) = π∫ g(y) dy
0

*Đổi biến x = g(y) với y = xex ⇒ dy = (ex
+ xex)dx
* Đổi cận y =0 ⇒ x = 0 và y = e ⇒ x = 1
1

1

0

0

2 x
x
3
2 x
V(T2) = π∫ x (e + xe )dx = π∫ (x + x )e dx = p(4 – e) (Tích Phân Từng Phần 3 lần

)
+Gọi (T3) là khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục tung hình phẳng (H3)
giới hạn bởi : (∆) và x’Ox và x = 1.
⇒ V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = 1 và đáy R = 1
Và khối nón có chiều cao h = 1 và bán kính đáy R = 1



Giải:
*PTHĐGĐ của (C) và x’Ox là :

π
+ kπ (k∈Z)
2
(C) : y = Cosx
(C) : y = Cosx


*(H): x' Ox
⇒ (H): x' Ox
y' Oy
x = 0; x = π / 2



Cosx = 0  x =

+ (C) : y = Cosx lieân tuïc; Giaûm treân [0.π / 2]
⇔ x = g(y) lieân tuïc treân [0,1]

⇒ (H): + y' Oy

+ y = 0, y = 1

⇒ V(H)


*Vậy V(H) = p(p - 2)

(đvtt)
y

3)Quay hình phẳng

e

y=
e

(C) : y = x ln x

(H) : x' Ox
x = e


e y=
1 vòng quanh y’Oy.
Tính thể tích khối tròn xoay
0
x
H) tạo thành .
Giải:
+Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi : (d) : x = e; y’Oy và2đt: y = e ; y = 0 .
⇒GọiT là khối tròn xoay sinh ra khi cho (H1) quay 1 vòng quanh y’Oy ⇒ T là
khối trụ tròn xoay có bán kính đáy R = e và chiều cao h = e ⇒ V(T) = p.e2.e =
p.e3 (đvtt)
+Gọi (H2) là hình phẳng giới hạn bởi4 đồ thị: (C): y = xlnx tăng liên tục trên

e

 2e 3 + 1  π 3
 + ( e − 1) = π (5e 3 − 2) (đvtt)
V(K) = p ∫ x 2 (ln x + 1)dx ⇒V(K) = π

1

+KL: V(H) = V(T) – V(K) =



9

 3

4πe 3 + 2π
(đvtt)
9

9


III) LUYỆN TẬP:
y = x 3
1)(H) : 
Tính thể tích khốitrònxoay (K) tạo thành khi quay
x' Ox ; x = 1

(H)1vòng quanh Oy(ĐS: