BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________

NGUYỄN VĂN NGÀ

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Ở TRƯỜNG THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________

NGUYỄN VĂN NGÀ

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Ở TRƯỜNG THPT

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

DANH MỤC VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa

SBT

: Sách bài tập

SGV

: Sách giáo viên

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

THPT

: Trung học phổ thông.




Kết luận chung .............................................................................................16

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
TRONG KHÔNG GIAN...........................................................................................18
2.1

Bài toán dựng hình trong không gian trong thể chế lớp 11 .........................19

2.1.1

Phần lý thuyết .......................................................................................19

2.1.2
gian

Các tổ chức toán học liên quan đến bài toán dựng hình trong không
...............................................................................................................30

2.2

Kết luận chương 2 .......................................................................................47

Chương 3: THỰC NGHIỆM.....................................................................................49
3.1

Mục đích thực nghiệm .................................................................................49

3.2


không thuộc ∆ cũng không thuộc mặt phẳng (α ) . Dựng đường thẳng a đi qua
điểm M, vuông góc với ∆ và song song với mp(α ) .
Chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh tỏ ra lúng túng và không tìm được
cách dựng đường thẳng ∆ . Từ điều này, chúng tôi đặt câu hỏi: Nguyên nhân xảy ra
hiện tượng trên xuất phát từ đâu? do học sinh? hay do những yếu tố khác?
Những ghi nhận trên gợi cho chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát sau:
− Ở cấp độ tri thức khoa học, bài toán dựng hình trong không gian có những
đặc điểm nào?
− Bài toán dựng hình trong không gian được đưa vào SGK ở bậc THPT như
thế nào? thể chế dạy học có tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh rèn luyện kỹ
năng phân tích hay không?
− Học sinh gặp khó khăn gì khi giải bài toán dựng hình trong không gian?
Việc tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên là động lực để tôi chọn đề tài
“Bài toán dựng hình trong dạy học hình học không gian ở trường THPT”. Tuy
nhiên, trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi giới hạn nghiên cứu ở thể chế dạy
học lớp 11.


2

Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu là nhằm đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở trên.

Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình dưới lý thuyết didactic
toán. Cụ thể, là lý thuyết nhân học (với các khái niệm quan hệ thể chế, quan hệ các
nhân, tổ chức toán học) và lý thuyết tình huống (với khái niệm hợp đồng didactic).
Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt một số khái niệm của lý thuyết tham chiếu.
• Quan hệ thể chế.
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu,

chúng đã giúp cho chúng tôi có thể phân tích, làm rõ mối quan hệ thể chế đối với
đối tượng “Bài toán dựng hình trong không gian” từ đó giúp chúng tôi trả lời các
câu hỏi.
Ngoài ra, bằng cách tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho
có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống
khác lạ (tình huống phá vỡ hợp đồng) chúng tôi có thể hiểu được các ứng xử của
học sinh, giáo viên trong các hoạt động mà họ tiến hành.
Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên
cứu như sau:
Q 1 : Đặc điểm của bài toán dựng hình trong không gian ở cấp độ tri thức khoa học?
Q 2 : Mối quan hệ của thể chế đối với bài toán dựng hình trong không gian được hình
thành ra sao?
Q 3 : Những ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân học sinh
đối với đối tượng “Bài toán dựng hình trong không gian” ?

3

Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện được mục đích chúng tôi tiến hành thực hiện một nghiên cứu ở

cấp độ tri thức khoa học đối với bài toán dựng hình trong không gian để chỉ ra


những đặc điểm đặc trưng. Từ đó, tham chiếu cho nghiên cứu bài toán dựng hình
không gian được giảng dạy ở trường THPT mà cụ thể chúng tôi chỉ xét ở lớp 11.
Tiếp theo, chúng tôi thực hiện nghiên cứu về mối quan hệ của thể chế đối với
bài toán dựng hình trong không gian và hình thành nên giả thuyết nghiên cứu. Cuối
cùng là thực hiện một thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã đưa ra.

4

Tài liệu [a] là giáo trình hình học sơ cấp trình bày tương đối đầy đủ về bài
toán dựng hình trong không gian so với các giáo trình khác (về dựng hình hoặc hình
học sơ cấp) ở bậc đại học. Các giáo trình khác chỉ trình bày dựng hình trong mặt
phẳng, hoặc có trình bày dựng hình trong không gian nhưng chỉ nêu hệ tiên đề về
dựng hình mà không có một ví dụ hay bài tập nào kèm theo, còn giáo trình [a] ngoài
trình bày hệ tiên đề về dựng hình còn có trình bày các ví dụ và các bài tập. Như vậy
việc phân tích giáo trình [a] giúp chúng tôi biết được các tổ chức toán học liên quan
đến bài toán dựng hình trong không gian. Từ đó, chỉ ra đặc điểm của bài toán dựng
hình trong không gian.
Tài liệu [b] là bài báo về “Sinh thái của những bài dựng hình trong không
gian”. Qua tài liệu này sẽ giúp chúng tôi bổ sung thêm các tổ chức toán liên quan
đến bài toán dựng hình trong không gian.
Tuy nhiên, trong quá trình phân tích hai tài liệu trên chúng tôi có nhắc tới các
khái niệm: Hình hình học và hình biểu diễn. Chính vì thế trước khi đi phân tích hai
tài liệu trên chúng tôi trình bày hai khái niệm này.


1.1 Các khái niệm liên quan đến dựng hình trong không gian
1.1.1 Hình hình học
Theo nghiên cứu của Phạm Hoàng Nhi thì:
Hình hình học là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa,
tính chất.
Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sự trừu tượng hóa
của đối tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con
người.[17, tr.16]
1.1.2 Hình biểu diễn
Theo như Trần Văn Hạo thì hình biểu diễn của một hình trong không gian
được hiểu như sau:
Có nhiều phương pháp biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng […].
Thông thường muốn biểu diễn một hình nào đó, người ta chiếu hình đó


tập hợp rỗng hay không.
VI.

Nếu giao của hai hình đã dựng là một tập hợp không rỗng thì giao đó
là đã dựng.

VII.
VIII.

Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc một hình đã dựng.
Có thể dựng được điểm, cho biết là không thuộc một hình đã dựng.
(hình đã dựng không phải là toàn bộ mặt phẳng). [2, tr. 50 – 52]

Những tiên đề trên đóng vai trò quan trọng đối với lý thuyết dựng hình. Từ
tiên đề I cho ta biết đối tượng nào đã dựng và đối tượng nào chưa dựng, hơn nữa
những tiên đề này còn là yếu tố lý thuyết để chứng minh cho quá trình dựng hình
mà ta đã thực hiện là đúng đắn, giải thích vì sao có thể thực hiện được các phép
dựng đã dựng. Chẳng hạn, khi cần dựng một hình A bao gồm hai hình bộ phận:
hình 1 và hình 2 sau khi ta thực hiện dựng hình 1 và dựng hình 2 thì có nghĩa ta đã
dựng được hình A (theo tiên đề II), hoặc khi ta đã dựng được một đường tròn thì ta
có thể dựng một điểm nằm ngoài đường tròn (hay nằm trên đường tròn) chính là
nhờ tiên đề VII và VIII. Đồng thời, các tiên đề này còn góp phần trong việc chứng
minh hình đã dựng là thỏa yêu cầu của bài toán.
• Tiên đề dụng cụ.
Đối với dựng hình trong không gian thì tác giả đưa ra bộ dụng cụ: thước kẻ,
compa và hai dụng cụ tưởng tượng ra là thước phẳng và compa cầu. Dựng hình
trong không gian dựa trên các tiên đề về dụng cụ sau:
1. Trên mỗi mặt phẳng đã dựng, ta có thể dựng được hình nếu phép
dựng hình đó trong mặt phẳng thực hiện được bằng thước và compa.

− Dựng đường tròn nếu tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng bán kính đường tròn đã dựng.
− Dựng được bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn và các điểm mút của các
cung đó đã dựng. [2, tr. 52 – 53]
1


Trong phần lý thuyết, tác giả trình bày 3 ví dụ thuộc hai kiểu nhiệm vụ:
“Dựng một đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước” và “Dựng một điểm
thỏa mãn một số điều kiện cho trước”.
 Kiểu nhiệm vụ Tdt* : “Dựng một đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện
cho trước”
Kỹ thuật τ dt* :
− Giả sử dựng được đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
− Tìm các mối liên hệ giữa đường thẳng cần dựng với các đối tượng
khác đã cho.
− Chỉ ra hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng cần dựng, hoặc một
điểm thuộc đường thẳng cần dựng và phương của đường thẳng đó,
hoặc đường thẳng cần dựng thuộc hai mặt phẳng nào đó.
− Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt trên, hoặc đi qua một
điểm và có phương như trên, hoặc giao tuyến của hai mặt phẳng đã
chỉ ra ở trên thì đường thẳng đó là đường thẳng cần dựng.
Ví dụ 1: [2, tr.116 – 117]
Qua điểm P đã cho, nằm ngoài mặt phẳng (α ) , hãy dựng đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đó.
Giải.
P

β
γ


− Trong (α ) dựng đường thẳng b tùy ý.
− Dựng mặt phẳng ( P, b ) .
− Trong ( P, b ) dựng PQ ⊥ b ( Q ∈ b ) .
− Trong (α ) , qua điểm Q dựng a ⊥ b .
− Dựng mặt phẳng ( P, a ) .
− Trong ( P, a ) dựng PM ⊥ a ( M ∈ a ) .
Chứng minh.
b ⊥ PQ
⇒ b ⊥ ( P, a ) mà b ⊂ (α ) ⇒ (α ) ⊥ ( P, a ) .
b ⊥ a

Vì 

(α ) ⊥ ( P, a )

a PM ⊥ (α ) . Vậy PM là đường thẳng cần dựng.
Ta có (α ) ∩ ( P, a ) =⇒
 PM ⊥ a


Biện luận.
Bài toán đã cho bao giờ cũng có nghiệm và có một nghiệm duy nhất.
Nhận xét:
Ở ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy lời giải bao gồm bốn bước: Phân tích, cách
dựng, chứng minh và biện luận.


Ở bước phân tích, tác giả sử dụng phương pháp phân tích đi xuống để tìm
được đối tượng cần dựng. Để dựng được hình H ta dựng hình H 1 , để dựng hình H 1
ta dựng hình H 2 … sau một số hữu hạn bước dẫn đến dựng hình H n , trong đó hình

A
B

P

Bo

α

B’
Hình 1.2

Giả sử P là một điểm tùy ý của mặt phẳng (α ) . Giả sử B’ là ảnh của
điểm B qua phép phản chiếu 2 đối với mặt phẳng (α ) . Rõ ràng ta có.
AP + PB = AP + PB '

Như vậy, bài toán đã cho quy về phép dựng trong mặt phẳng một
điểm P sao cho đường gấp khúc APB’ ngắn nhất. Hiển nhiên, ta sẽ tìm
được nghiệm của bài toán khi đường gấp khúc APB’ biến thành đường
thẳng.
Như vậy, phép dựng điểm P muốn tìm quy về phép dựng sau đây:
1) Dựng đường thẳng BB0 vuông góc với mặt phẳng (α ) .
2) Trên tia bù với tia BB0 , dựng điểm B’ sao cho đoạn thẳng Bo B '
bằng đoạn thẳng BB0 .
3) Dựng đường thẳng AB ' .
4) Dựng điểm P là giao của đường thẳng AB ' với mặt phẳng (α ) .
Điểm P là điểm muốn tìm.
Ở ví dụ này, mặc dù tác giả không nói rõ các bước giải tuy nhiên bước phân
tích vẫn xuất hiện trong lời giải. Và bước phân tích cũng đóng vai trò tìm ra cách
dựng và giải thích cho nguồn gốc xuất phát cách dựng ấy.



1.2.2 Bài toán dựng hình trong không gian trong tài liệu [b]
Tài liệu [b] là bài báo về “Sinh thái của những bài dựng hình trong không
gian”. Trong tài liệu này, tác giả không trình bày định nghĩa dựng hình trong không
gian. Thế nhưng, thông qua các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dựng hình trong không
gian mà tác giả trình bày trong bài báo chúng tôi nhận thấy dựng hình trong không
gian ở tài liệu này có thêm một số kiểu nhiệm vụ nữa.
Hai hạng mục của bài toán dựng hình
− Bài toán mà nhiệm vụ được yêu cầu là dựng giao của 2 đối tượng
hình học, kí hiệu là “PC – intersect ”.
− Những bài toán mà nhiệm vụ được yêu cầu là dựng một đối tượng
hình học thỏa những điều kiện cho trước, kí hiệu “PC –
Obj/cond”.
Chúng tôi phân biệt hai kiểu bài tập với lí do sau. Bài toán dựng hình
trong không gian là kiểu “PC – Obj/cond” ở sách của giai đoạn 1 và kiểu
“PC – intersect” trong sách giáo khoa hiện nay. [21, tr.28]
Dựng hình “PC- Obj/cond” chính là dựng hình theo tiên đề như ở tài liệu [a].
Dựng hình “PC – intersect” là dựng giao của hai hình mà cụ thể là:
 Dựng giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
 Dựng giao tuyến của hai mặt phẳng.
 Dựng thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng.
Đứng ở phương diện dựng hình trong không gian theo tiên đề thì bài toán
dựng giao của hai hình là đã được dựng. Vì rằng theo tiên đề VI (ở giáo trình [a])
thì khi đã dựng được hai đối tượng thì có nghĩa giao của chúng cũng đã được dựng.
Tuy nhiên, vấn đề là dựng như thế nào? Làm thế nào để vẽ (xác định) được giao đó
trên hình biểu diễn? Mục đích của dựng giao hai hình là đi trả lời những câu hỏi
trên. Dựng giao của hai hình chính là đưa ra một dãy hữu hạn các phép dựng mà
cho phép vẽ (xác định) được giao của hai hình đó trên hình biểu diễn.
“ Bài toán luôn được gắn liền với khối hình học”. [21, tr.30]

và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, và thiết diện của một hình khi cắt bởi
một mặt phẳng.
Đối tượng nghiên cứu của các bài toán này là các hình biểu diễn. Việc giải
các bài toán này chính là đưa ra một dãy các phép dựng mà có thể vẽ được đối
tượng cần dựng trên hình biểu diễn.
Ngoài ra, bài toán dựng hình tương giao vắng mặt pha lý thuyết và bước phân
tích ít xuất hiện trong lời giải.
Như vậy, thế chế chọn lựa hay ưu tiên cho nhóm bài toán dựng hình trong
không gian nào ?
Ở chương sau chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thế với bài toán dựng hình
trong không gian và trả lời câu hỏi trên.


Chương 2
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Mục đích của chương
Mục đích của chương này là chúng tôi đi làm rõ mối quan hệ thể chế đối với
bài toán dựng hình trong không gian mà trong phạm vi trong luận văn này là thể chế
dạy học lớp 11. Cụ thể là nhằm trả lời các câu hỏi sau:
 Bài toán dựng hình trong không gian được đưa vào chương trình và
sách giáo khoa lớp 11 như thế nào? Có những tổ chức toán học nào liên
quan đến bài toán dựng hình trong không gian?
Thêm vào đó, qua phân tích bài toán dựng hình trong không gian ở cấp độ tri
thức khoa học chúng tôi muốn trả lời câu hỏi nghiên cứu mới ở chương 1 là:
 Thể chế lựa chọn hay ưu tiên cho dạng bài toán dựng hình nào trong
không gian ?
Từ việc trả lời các câu hỏi trên sẽ giúp chúng tôi hình thành nên giả thuyết
nghiên cứu. Để làm được điều trên chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và
sách giáo khoa hình học hiện hành. Cụ thể là sách giáo khoa hình học lớp 11 – nâng

Qua chứng minh của định lí trên, SGK trình bày cách dựng “một mặt phẳng
chứa đường thẳng

a

và song song với đường thẳng b , trong đó a và b chéo

nhau”. Và cách dựng là:
− Lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng a.
− Qua điểm M dựng đường thẳng b ' song song với b.
− mp(a, b ') là mặt phẳng cần dựng.
Phép dựng điểm M, SGK xem như hiễn nhiên nhưng thực chất phép dựng
này thực hiện được do tiên đề VI 3 (ở cấp tri thức khoa học). Tuy nhiên, điều này
theo chúng tôi là hợp lí vì ở bậc THPT không thể đòi hỏi học sinh nắm vững một
cách chặt chẽ hệ tiên đề dựng hình được. Điều này phù hợp với định hướng trong
SGV như sau:
“Chúng ta chưa muốn HS phổ thông đi sâu và vào phương pháp tiên đề, mà
chỉ giúp cho học sinh bước đầu làm quen với phương pháp đó”. [19, tr. 43]
Phép dựng đường thẳng b ' ở trên thực hiện được dựa trên tính chất “Trong
không gian, qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng
song song với đường thẳng đó”. [18, tr. 53] Và mp(a, b ') dựng được khi chỉ ra nó
3

tiên đề VI: Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc một hình đã dựng.


thỏa mãn điều kiện xác định của mặt phẳng. Ở trường hợp, điều kiện xác định là
“Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau”. [18,
tr. 46]
Tương tự, SGK trình bày “bài toán dựng mặt phẳng đi qua một điểm và