NGUYỄN THANH TÙNG

bo

ok

.c

om

/N

TS

.T

O

EI

C

2

(Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia)

ht
tp
s:
//w
w


Bài toán 3 .......................................................................................................... 15

.T

Bài toán 4 .......................................................................................................... 16

TS

Bài toán 5 .......................................................................................................... 17

/N

Bài toán 6 .......................................................................................................... 18

om

Bài toán 7 .......................................................................................................... 19
Phần 3: 10 bài toán hình học OXY ............................................................... 21

ok

.c

Bài toán 1..................................................................................................... 21

bo

Bài toán 2................................................................................................... 108


I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

.T

O

EI

C

2

O(0;0)


A. Hệ trục tọa độ Oxy hay (O; i; j ) có i = (1;0)

 j = (0;1)
Ox : Trục hoành ; Oy : Trục tung
Chú ý:

/N

TS

Nếu nói tới tia Ox hay tia Oy được hiểu là phần hoành độ và tung độ
không âm của các trục Ox, Oy tương ứng.
B. Vectơ :



Tích vô hướng của hai vectơ : a.b = a . b cos a,=
b
x1 x2 + y1 y2

Môđun của vectơ:=
a
x12 + y12

 
x1 x2 + y1 y2
a.b
Góc giữa hai vectơ: cos =
a, b
=

2
a.b
x1 + y12 . x22 + y22
 

Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0

 
Điểm: OM =xi + y j ⇔ M ( x; y )

ht
tp
s:
//w
w


( x2 − x1 ; y2 − y1 )
1. AB =
3

Luyen Thi Online Gia Re - />

2. AB =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

 x1 + x2 y1 + y2 
;

2 
 2
 x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 
4. Trọng tâm G của tam giác ABC : G  1
;

3
3


3. Trung điểm I của AB có tọa độ: I 

w
.fa

ce


II. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG :
2
1. Hệ thức Pitago: a=
b2 + c2

2. Mối quan hệ giữa cạnh, đường cao:

b 2 = ab '
 2
c = ac '
1
1 1
+
=
+
2
h
b2 c2
+ h2 = b ' c '
+ bc = ah
+

4

Luyen Thi Online Gia Re - />

3. Mối quan hệ giữa cạnh và góc:



EI

+ Tính góc: cos A =

TS

.T

O

2
a

/N

2. Các công thức tính diện tích tam giác

ok

.c

om

1
a.ha
2
1
+ Hai cạnh và sin góc xen giữa: S = ab sin C
2


a+b+c
là nửa chu vi tam giác ABC.
2

5

Luyen Thi Online Gia Re - />

Sau đây là sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên:

ok

.c

om

/N

TS

.T

O

EI

C

2

góc. Như vậy một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.
Nếu cho 3 điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ), ta có :


AB =
( x2 − x1 ; y2 − y1 ) và AB =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

6

Luyen Thi Online Gia Re - />

x1 + x2

 xI = 2
I là trung điểm của AB ⇔ 
 y = y1 + y2
 I
2

w
.fa

ce

bo

ok



A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0 : AB =k AC

ht
tp
s:
//w
w

B. ĐƯỜNG THẲNG
1. Đường thẳng
* Đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có :

+ hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − x0 ) + y0 .

+ vectơ pháp tuyến (vtpt) n = (a; b) có phương trình:
a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) =
0.



+ vectơ chỉ phương (vtcp) n = (a, b) có phương trình dạng tham số là:

x x0 + at
=
x − x0 y − y0
hoặc phương trình dạng chính tắc là:
(với
=


O

EI

0
a1 x + b1 y + c1 =
(I)

0
a2 x + b2 y + c2 =
* Hệ (I) có một nghiệm ( x0 ; y0 ) , khi đó ∆1 cắt ∆ 2 tại điểm M ( x0 ; y0 ) .

TS

* Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó ∆1 ≡ ∆ 2 .

om

3. Một vài chú ý

/N

* Hệ (I) vô nghiệm, khi đó ∆1 // ∆ 2 .

* Trục hoành ( Ox ) có phương trình: y = 0 ; Trục tung (Oy ) có phương trình:

.c

x =0.


ce

a ≠ 0)
+ A( x1 ; b), B ( x2 ; b) có phương trình: y = b (song song với trục Ox nếu b ≠ 0 )

8

Luyen Thi Online Gia Re - />

C. ĐƯỜNG TRÒN
* Đường tròn có tọa độ tâm I ( x0 ; y0 ) và bán kính R có phương trình:

( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 =
R2
* Nếu đường tròn (C ) có phương trình dạng: x + y + ax + by + c =
0
2

2

với a 2 + b 2 > 4c thì (C ) có:

2

a 2 + b2
−c .
4

bo


4

ce

x2 y 2
2. Phương trình chính tắc của elip ( E ) : 2 + 2 =
1 trong đó
a
b

 a , b, c > 0
 2
2
2
a= b + c

w
.fa

* ( E ) nhận Ox, Oy làm các trục đối xứng và có tâm đối xứng là gốc tọa độ O .

ht
tp
s:
//w
w

 x02 y02
1
=


điểm F2 (c;0) .

 x = ±a
có chiều dài 2a , chiều
 y = ±b

+ Hình chữ nhật cơ sở tạo bởi các đường 
rộng 2b .

C

2

+ Bán kính qua tiêu của điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) là:

TS

.T

O

EI

c

a + ex0 =
a + x0
 MF1 =
a


ce

bo

ax + by0 + c
d ( M , ∆) = 0
a 2 + b2
* Nếu ∆ ' // ∆ và M ∈ ∆ ' thì khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ ' và ∆ là:
d (∆ ',=
∆) d ( M , ∆) .
2. GÓC





ht
tp
s:
//w
w

* Góc giữa hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) và b = ( x2 ; y2 ) xác định bởi:

 
cos =
a, b

( )

 
a1a2 + b1b2
= cos u1 , u2
a12 + b12 . a22 + b22

(

)

10

Luyen Thi Online Gia Re - />

 

 

∆1 : y = k1 x + d1
∆ 2 : y = k2 x + d 2

.n2 u1=
.u2 0 hay k1k2 = −1 nếu 
Nếu ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ n1=

C

ht
tp
s:
//w

2
4R
Trong đó: R, r lần lượt là bán kính đường
tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ABC
a+b+c
: nửa chu vi của ∆ABC
p=
2

2

3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC

11

Luyen Thi Online Gia Re - />

PHẦN 2:
NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. BÀI TOÁN 1

C

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:

EI

a) x + y − 4 =
0 và 2 x − y − 5 =
0


d) 2 x + 3 y − 7 =
0 và

2

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau.

y−4 0 =
 x +=
x 3
⇔
⇒ M (3;1)
y −5 0 =
2 x − =
y 1

bo

ok

a) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 

ht
tp
s:
//w
w

w

 y= 3 − t

vecto pháp tuyến n = (1; 2) )

 x= 2 − 3t
⇒ x + 3y +1 =
0 (khử t hoặc đường thẳng đi qua B(2; −1) và

 y =−1 + t

vectơ pháp tuyến n = (1;3) )
12

Luyen Thi Online Gia Re - />

Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

O

TS

.T

0
2 x + 3 y − 7 =
y−7 0 =
2 x + 3=
x 2

⇔

⇔
⇒ M (23; −8)

 x + 3 y + 1 =0
 y =−8
c) Gọi M ( x; y ) , khi đó x, y thỏa mãn hệ:

Nhận xét:

ok

.c

om

/N

Do phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có thể xuất hiện dưới 3 dạng (tổng
quát, tham số, chính tắc). Song ta dễ dàng có thể luân chuyển 3 dạng này cho nhau
nên trong các trường hợp, ta có thể chuyển các phương trình về dạng phương trình
tổng quát để tạo sự quen thuộc. Vì các bạn cũng nhận thấy trong hình học giải tích
Oxy đề bài gần như luôn cho phương trình dưới dạng tổng quát.

w
.fa

ce

bo



Giải:





.T

Gọi H ( x; y ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆

O

Cách trình bày 1:

TS

Ta có vecto chỉ phương của ∆ là: u∆ = (3;1) và MH =( x − 1; y − 2)

.c

om

/N

Khi đó:
 
− 2) 0
+y 5 =
3( x − 1) + ( y =

w
.fa

3x + y − 5 =
0

Khi đó tọa độ giao điểm H của ∆ ' và ∆ là nghiệm của hệ:

ht
tp
s:
//w
w

y −5 0 =
3 x + =
x 2
⇔
⇒ H (2; −1)

 x − 3 y − 5 =0
 y =−1
M ' đối xứng với M qua ∆ nên suy ra H là trung điểm của MM '

 xM '= 2 xH − xM = 2.2 − 1= 3
⇒ M '(3; −4)
 yM ' =2 yH − yM =2.(−1) − 2 =−4

Suy ra 


 MH .u∆ = 0
x+ y 5 =
3=
x 3

⇔
⇔
⇔
⇒ M '(3; −4)

 x +1
y+2
−4
15
0
x − 3y =
y =
 H ∈ ∆
 2 − 3. 2 − 5 =

EI

CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT:

O

Để tìm tọa độ M ' là điểm đối xứng với M ( x0 ; y0 ) qua ∆ : ax + by + c =
0 ta có

ht

Ví dụ: Cho đường thẳng ∆ : x − 3 y + 5 =
0 . Xét vị trí cùng phía, khác phía
của các cặp điểm sau với đường thẳng ∆ .
a) A(1; −2) và B (−1; −3)

b) C (2;3) và D ( −2; −1)
Giải:

Xét f ( x; y ) =x − 3 y + 5
a) Với A(1; −2) và B (−1; −3) , ta có:

15

Luyen Thi Online Gia Re - />

f (1; −2). f (−1; −3) =[1 − 3.(−2) + 5][ −1 − 3.(−3) + 5] =12.13 =156 > 0
Suy ra A, B nằm cùng phía so với đường đường thẳng ∆ .
b) Với C (2;3) và D (−2; −1) , ta có:

f (2;3). f (−2; −1) =( 2 − 3.3 + 5 ) [ −2 − 3.(−1) + 5] =(−2).6 =−12 < 0
Suy ra C , D nằm khác phía so với đường đường thẳng ∆ .

.T

O

EI

C



=

5 x + 12 y − 2

w
.fa

3x − 4 y + 1

ce

của góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 thỏa mãn:

⇔

3x − 4 y + 1

5
3 +4
5 + 12
⇔ 13. 3 x − 4 y +=
1 5. 5 x + 12 y − 2
2

2

2

5 x + 12 y − 2

→
∆ 2 + a 2 y +b2 y + c2 =
0

a1 x + b1 y + c2
=
a12 + b12

a2 x + b2 y + c2
a +b
2
2

2
2

0
 A1 x + B1 y + C1 =
→
0
 A2 x + B2 y + C2 =

16

Luyen Thi Online Gia Re - />

5. BÀI TOÁN 5
Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài
của góc trong tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(3;0), B (1;1), C ( −1;8) . Viết phương trình

AC

.T

Phương trình đường thẳng AB: x +2y – 3 = 0; đường thẳng AC : 2x + y − 6 = 0.
Khi đó phương trình đường phân giác của góc A thỏa mãn:

2x + y − 6

om

/N

=

TS

0
x − y − 3 =
⇔ x + 2 y − 3 = 2x + y − 6 ⇔ 
0
12 + 22
22 + 12
x + y − 3 =
Xét phương trình ∆ : x − y − 3 =
0 . Đặt f ( x; y ) = x − y − 3
x + 2y −3

Với B (1;1), C (−1;8) ta có: f (1;1). f (−1;8) = (1 − 1 − 3).(−1 − 8 − 3) = 36 > 0


trong, phân giác ngoài . Đó cũng chính là nội dung của bài toán tiếp theo các bạn sẽ
tìm hiểu.

17

Luyen Thi Online Gia Re - />

6. BÀI TOÁN 6
Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;5), B ( −4; −5), C (4; −1) . Xác định tọa độ

chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A .
Giải:

C

2

Gọi D ( x; y ) là chân đường phân giác của góc A .

EI

Theo tính chất đường phân giác ta có:

O

52 + 102

DB AB
= =



− DC ⇔ 
⇔
DB =
5 ⇒ D 1; − 
3
2
y= −

−5 − y =− 5 ( −1 − y )

2

3

ht
tp
s:
//w
w

w
.fa

ce


x
−4 − =


và D2 (16;5) .

CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT:

18

Luyen Thi Online Gia Re - />

7. BÀI TOÁN 7
Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,
tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(2;6), B(−3; −4), C (5;0) . Tìm trọng tâm, trực
tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

/N

TS

.T

O

EI

C

2

Giải:

3 3
y
=
= =
G

3
3
3


 AH =( x − 2; y − 6)
=
BC (8;
=
4) 4(2;1)
+ Gọi H ( x; y ) ⇒  
với  
 BH =( x + 3; y + 4)
 AC = (3; −6) = 3(1; −2)

ht
tp
s:
//w
w

 
 
 AH ⊥ BC


(a − 2) 2 + (b − 6) 2 = (a + 3) 2 + (b + 4) 2
⇔
2
2
2
2
(a − 2) + (b − 6) = (a − 5) + b

19

Luyen Thi Online Gia Re - />

1

3
2a + 4b =
a = −
 1 
⇔
⇔
2 ⇒ I  − ;1
−5
 2 
2a − 4b =
b = 1
+ Gọi D ( x0 ; y0 ) là chân đường phân giác trong của góc A .

EI


= =
JD BD

/N

TS

.T

O

5

−3 − x0 =− ( 5 − x0 )
 x0 = 2



5
3



3
− DC ⇔ 
⇔
DB =
3 ⇒ D  2; − 
5
3





ce

Chú ý:

w
.fa

Việc tìm điểm H , I , J trong ví dụ trên, các bạn có thể giải theo cách sau:
+

Với H: Viết phương trình hai đường cao và tìm giao điểm hai đường cao này.

ht
tp
s:
//w
w

+ Với I: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

(T ) : x 2 + y 2 + ax + by + c =
0
Với A, B, C ∈ (T ) cho ta hệ ba phương trình 3 ẩn a, b, c giải hệ ta sẽ viết được

 a b
(T ) và suy ra tọa độ I  − ; −  . Hoặc viết phương trình hai đường trung


PHẦN 3:

w
.fa

ce

bo

10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY
1. BÀI TOÁN 1

A. NỘI DUNG BÀI TOÁN 1

ht
tp
s:
//w
w

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ đã biết phương trình và cách
điểm I cho trước một khoảng không đổi R ( MI= R= cons t ).
B. CÁCH GIẢI CHUNG
Có thể trình bày lời giải bài toán này theo 2 cách (bản chất là một).

Cách 1 (C1): Gọi M (t ) ∈ ∆

MI = R


hoặc chính tắc:

.T

x x0 + at
=
y y0 + bt
=

+ Tham số : 

EI

C

* Do M thuộc đường thẳng ∆ đã biết phương trình nên ta sẽ tham số hóa
điểm M theo ẩn t . Cụ thể nếu đề bài cho đường thẳng ∆ dưới dạng :

M ( x0 + at ; y0 + bt )

om

/N

x= 1 − t
Ví như: M thuộc đường thẳng ∆ : 
thì ta sẽ gọi M (1 − t ; −2 + 3t )
 y =−2 + 3t

+ Tổng quát ax + by + c =

b ≠ 1

ht
tp
s:
//w
w

Nếu 

Ví như ∆ : 2 x − 3 y − 3 =
0



 x = 3t
⇒ M (3t ; −1 + 2t )
 y =−1 + 2t

( u∆ = (3; 2) , ∆ đi qua M 0 (0; −1) ) ⇒ ∆ : 

(Đây là chỉ là những “tiểu tiết” nhỏ - song nếu tạo cho mình một thói quen
thì việc tính toán sẽ giảm nhẹ và hạn chế khả năng sai xót trong các bước tính
toán).
* Khi đó việc sử dụng dữ kiện MI = R sẽ giúp ta thiết lập được một phương
trình chứa t ( f (t ) = 0) , từ đây giải phương trình tìm t và suy ra được tọa độ
điểm M .

22



O

MI = 5.

om

/N

TS

.T

Giải:

ok

+ Vì M ∈ ∆ nên gọi M (t ; 2t + 3)

.c

Cách 1:

ht
tp
s:
//w
w

Cách 2:

 y = 5
 M (1;5)
0
2 x − y + 3 =

1 ⇒
⇔

 x =
2
2
 M  1 ; 17 
25
( x − 5) + ( y − 2) =
5

  5 5 

17
 y =
5
 

23

Luyen Thi Online Gia Re - />

Nhận xét:
* Với C1 chúng ta không cần quan tâm tới bài toán về sự tương giao giữa đường
thẳng và đường tròn (đề cập ở C2) và giải theo phương pháp đại số thông thường.


om

+ Điểm cần tìm đang thuộc một đường thẳng đã biết phương trình.
+ Điểm cần tìm cách một điểm đã biết tọa độ một khoảng không đổi.

.c

Vì vậy để có được điều này các bạn cần trả lời các câu hỏi:

bo

ok

Chùm câu hỏi 1: Điểm cần tìm thuộc đường nào? Đường đó đã biết phương
trình chưa? Nếu chưa thì có viết được không? Viết bằng cách nào?

ce

Chùm câu hỏi 2: Điểm cần tìm cách một điểm cho trước (đã biết tọa độ )
một khoảng bằng bao nhiêu ?

w
.fa

Cắt nghĩa dữ kiện của bài toán như thế nào để tính được khoảng cách đó?
Và các hỏi trên được “thiết kế ” qua các cách ra đề sau:

ht
tp

* (C ) : 
và khai thác dữ kiện suy ra MI
R = 1

Giải
+ Đường tròn (C ) có tâm I (1;1) và bán kính R = 1

C

2

+ Gọi A là điểm tiếp xúc ngoài của đường tròn tâm M và đường tròn (C ) .

EI

Suy ra : MI = MA + AI = 2 R + R = 3R = 3

O

+ Gọi M (t ; t + 3) ∈ d

Khi đó: MI = 3 ⇔ MI = 9 ⇔ (t − 1) + (t + 2) = 9 ⇔ t + t − 2 = 0

t = 1
 M (1; 4)
⇔
⇒
t = −2  M (−2;1)
+ Vậy M (1; 4) hoặc M (−2;1) .


0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y =
của (C ) , M là điểm thuộc ∆ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến
(C ) ( A , B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có
diện tích bằng 10 .
M ∈d : x − y +3 =
0

*

S=
2=
S MBI BI=
.MB
MAIB

w
.fa

*

5.
=
MB 10

ht
tp
s:
//w
w