khangvietbook.com.vn
NGUYỄN THANH TÙNG
(Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia)

BIÊN SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI NHẤT CỦA BỘ GD&ĐT * Dành cho học sinh lớp 10, 11, 12 và luyện thi Quốc Gia
* Sách tham khảo bổ ích cho giáo viên



Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3
PHẦN 1:
TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. Hệ trục tọa độ
Oxy
hay
( ;; )Oi j

có
(0;0)
(1; 0)
(0;1)
O
i
j


=


=





= ⇔

=



2. Hai vectơ cùng phương :
a

và
b

cùng phương
⇔
12 21
a kb x y x y=⇔=


3. Tổng, hiệu hai vectơ:
1 21 2
(; )ab x xy y±= ± ±


4. Tích một số với một vectơ:
11
(;)ka kx ky=


5. Tích vô hướng của hai vectơ :
( )



8. Hai vectơ vuông góc:
12 12
.0 0a b ab xx yy⊥⇔ =⇔ + =
  

C. Điểm:
(; )OM xi y j M x y=+⇔
  

* Cho ba điểm
11 22 33
( ; ), ( ; ), ( ; )Ax y Bx y Cx y
. Khi đó :
1.
2 12 1
(; )AB x x y y=−−


khangvietbook.com.vn
10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng

4
2.
22
21 21



Sau đây là sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên:

II. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG :
1. Hệ thức Pitago:
2 22
abc= +

2. Mối quan hệ giữa cạnh, đường cao:
+
2
2
'


5
3. Mối quan hệ giữa cạnh và góc:

sin cos tan cotba Ba Cc Bc C= = = =

B. TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ :
1. Các định lý
* Định lý côsin:
2 22
2 cosa b c bc A=+−⇒
Hệ quả:
+ Tính góc:
222
cos
2
bca
A
bc
+−
=

+ Tính độ dài đường trung tuyến:
22 2
2
24
a

S
R
=

+ Nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp:
S pr=

+ Hê – rông:
( )( )( )S pp a p b p c= −−−

Trong đó:
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
;ABCr
là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
;ABC2
abc
p
++
=
là nửa chu vi tam giác
.ABCIII. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN VÀ ELIP
A. ĐIỂM
Các điểm đặc biệt của tam giác:
+ Trực tâm : Là giao 3 đường cao của tam giác.
+ Trọng tâm: Là giao 3 đường trung tuyến của tam giác.
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao 3 đường trung trực của tam giác.
+ Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao của 3 đường phân giác trong.
Chú ý:
+ Do giao của các đường (cùng tên) đồng quy, nên khi vẽ hình ta chỉ cần xác
định giao của hai đường, thậm chí là một đường nếu đó là trung tuyến (dựa
vào tỉ lệ trọng tâm).
+ Tâm đường tròn bàng tiếp : Là giao của 2 đường phân giác ngoài của hai
góc hoặc một phân giác ngoài của một góc và một phân giác trong của một
góc. Như vậy một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.
Nếu cho 3 điểm phân biệt
11 22 33
( ; ), ( ; ), ( ; ),Ax y Bx y Cx y
ta có :

2 12 1
(; )AB x x y y=−−

và
22
21 21
( )( )AB x x y y= − +−

khangvietbook.com.vn




G
là trọng tâm của
123
123
3
3
G
G
xxx
x
ABC
yyy
y
++

=


∆⇔

++

=



,,ABC

+ vectơ pháp tuyến (vtpt)
(;)n ab=

có phương trình:

00
( ) ( )0ax x by y−+ −=
.
+ vectơ chỉ phương (vtcp)
(,)n ab=

có phương trình dạng tham số là:

0
0
x x at
y y bt
= +


= +

hoặc phương trình dạng chính tắc là:
00
xx yy
ab
−−
=
(với
0ab ≠

1
∆
và
2
∆
là nghiệm của hệ phương trình :
111
222
0
0
ax by c
ax by c
+ +=


+ +=

(I)
* Hệ (I) có một nghiệm
00
(; )xy
, khi đó
1
∆
cắt
2
∆
tại điểm
00
(; )Mx y

nếu
0a ≠
)
+
12
( ;), ( ;)Ax b Bx b
có phương trình:
yb=
(song song với trục
Ox
nếu
0b ≠
)
* Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát

0ax by c+ +=
(;)
( ; ) hoaëc ( ; )

=

⇒

=−=−




n ab
u b a u ba

* Nếu đường tròn
()C
có phương trình dạng:
22
0x y ax by c+ + + +=

với
22
4ab c+>
thì
()C
có:
tâm
;
22
ab
I

−−


và bán kính
22
4
ab
Rc
+
= −
.


,Ox Oy
làm các trục đối xứng và có tâm đối xứng là gốc tọa độ
O
.
* Nếu
00
(; ) ()Mx y E∈
22
00
22
12
1
2
xy
ab
MF MF a

+=

⇒


+=


* Elip
()E
có:
+ Tiêu điểm trái
1

ab
Rc
+
= =

khangvietbook.com.vn
10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng

10
+ Đường chuẩn:
a
x
e
= −
ứng với tiêu điểm
1
( ;0)Fc−
và
a
x
e
=
ứng với tiêu
điểm
2
( ;0)Fc
.




=−=−


.
IV. CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG
1. KHOẢNG CÁCH
* Khoảng cách giữa hai điểm
11
(; )Ax y
và
22
(; )Bx y
là

22
21 21
( )( )AB x x y y= − +−
.
* Khoảng cách từ điểm
00
(; )Mx y
đến đường thẳng
:0ax by c∆ + +=
là:

00
22

xác định bởi:
( )
12 12
2222
1122
.
cos ,
.
.
xx yy
ab
ab
ab
xyxy
+
= =
++




*
ϕ
là góc tạo bởi hai đường thẳng
1
:∆

111
0ax by c+ +=
và

1 2 12 12
. .0nn uu∆ ⊥∆ ⇔ = =
       
hay
12
1kk = −
nếu
1 11
2 22
:
:
y kx d
y kx d
∆=+


∆=+


3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
11
sin ( )( )( )
22 4
ABC a
abc
S ah bc A pr p p a p b p c
R
∆
= = === −−−


khangvietbook.com.vn
10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng

12
PHẦN 2:
NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN

1. BÀI TOÁN 1
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm
M
của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:
a)
40xy+−=
và
2 50xy−−=

b)

= −


d)
2 3 70xy+ −=
và
54
35
xy−+
=
−

Giải
:
a) Tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ
40 3
(3;1)
2 50 1
xy x
M
xy y
+−= =

⇔⇒

−−= =



  
⇒ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒−
  
−=−+ + = =− =−
  

Cách 2:
12
2 70
3
xt
xy
yt
= +

⇒+ −=

= −

(khử
t
hoặc đường thẳng đi qua
(1; 3)A
và
vecto pháp tuyến
(1; 2)n =

)
23
3 10

2 7 0 23
(23; 8)
3 10 8
xy x
M
xy y
+ −= =

⇔ ⇒−

+ += =−


c) Gọi
(; )Mxy
, khi đó
,xy
thỏa mãn hệ:
30
2
1 1 (7 2 ) 3 0 1 (2;5)
5
72
xy
x
xt t t t M
y
yt
−+=


⇔ ⇔⇒
−+
 
+−= =
=


−
Nhận xét
:
Do phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có thể xuất hiện dưới 3 dạng (tổng
quát, tham số, chính tắc). Song ta dễ dàng có thể luân chuyển 3 dạng này cho nhau
nên trong các trường hợp, ta có thể chuyển các phương trình về dạng phương trình
tổng quát để tạo sự quen thuộc. Vì các bạn cũng nhận thấy trong hình học giải tích
Oxy
đề bài gần như luôn cho phương trình dưới dạng tổng quát.
CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT:
Chú ý:
Do trong các bài toán tìm điểm, ta chỉ gặp hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau nên
ta không đề cập các quan hệ song song và trùng nhau ở đây (vì thực chất việc giải hệ
cũng cho ta biết được các mối quan hệ này – khi hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô
số nghiệm tương ứng hai đường thẳng cắt nhau, song song và trùng nhau).
(; )Hxy
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
∆

Ta có vecto chỉ phương của
∆
là:
(3;1)u
∆
=
 
và
( 1; 2)MH x y=−−


Khi đó:
3( 1) ( 2) 0 3 5 2
.0
(2; 1)
3 50 3 5 1
x y xy x
MH u
H
xy xy y
H
∆

−+ − = += =

M HM
x xx
M
y yy
= − = −=

⇒−

= − = −−=−


Cách trình bày 2:
Gọi
'∆
đi qua
M
và vuông góc với
∆
, khi đó
'∆
có phương trình:
3 50xy+−=

Khi đó tọa độ giao điểm
H
của
'∆
và
∆
là nghiệm của hệ:

2 2.( 1) 2 4
M HM
M HM
x xx
M
y yy
= − = −=

⇒−

= − = −−=−


Cách trình bày 3:
Gọi
'( ; )M xy
là điểm đối xứng với
M
qua
∆
và
{ }
'MM H∆=

Vecto chỉ phương của
∆
là:
(3;1)u
∆
=




Khi đó
3( 1) ( 2) 0
35 3
.0
'(3; 4)
12
3 15 4
3. 5 0
22
xy
xy x
MH u
M
xy
xy y
H
∆
−+ − =


+= =

=

⇔ ⇔ ⇔ ⇒−
 
++

3. BÀI TOÁN 3
Kiểm tra tính cùng phía, khác phía của hai điểm với một đường thẳng.

Ví dụ: Cho đường thẳng
: 3 50xy∆ − +=
. Xét vị trí cùng phía, khác phía
của các cặp điểm sau với đường thẳng
∆
.
a)
(1; 2)A −
và
( 1; 3)B −−
b)
(2;3)C
và
( 2; 1)D −−

Giải:
Xét
(; ) 3 5fxy x y=−+

a) Với
(1; 2)A −
và
( 1; 3)B −−
, ta có: 4. BÀI TOÁN 4
Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng
1
:3410xy∆ − +=
và
2
:5 12 2 0xy∆ + −=
.
Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
1
∆
và
2
∆
.
Giải
:

Do tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau là đường phân
giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó. Nên phương trình đường phân giác
của góc tạo bởi
1
∆
và


11 1 1
2222
0
0
ax by c
a y by c
∆+ + + =
∆+ + + =
→

11 2 22 2 1 1 1
22 22
22 2
11 22
0
0
axbyc axbyc AxByC
Ax By C
ab ab
+ + + + + +=

= →

+ +=
++
khangvietbook.com.vn

=−⇒=


 
 
, khi đó:
Phương trình đường thẳng AB: x +2y – 3 = 0; đường thẳng AC : 2x + y − 6 = 0.
Khi đó phương trình đường phân giác của góc
A
thỏa mãn:
2 2 22
30
232 6
232 6
30
12 21
xy
x y xy
x y xy
xy
−−=
+ − +−

= ⇔ + −= +−⇔

+−=
++


Xét phương trình

Chú ý:

Ngoài cách tìm ở bài toán trên, các bạn có thể viết phương trình đường phân giác
trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác bằng cách tìm chân đường phân giác
trong, phân giác ngoài . Đó cũng chính là nội dung của bài toán tiếp theo các bạn sẽ
tìm hiểu.

khangvietbook.com.vn
10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng

18
6. BÀI TOÁN 6
Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác
ABC
với
(1;5), ( 4; 5), (4; 1)AB C−− −
. Xác định tọa độ
chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc
A

D
nằm giữa
B
và
C
nên ta có:

( )
( )
5
1
44
55
3
1;
5
5
32
51
2
3
x
xx
DB DC D
y
yy

=
−− =− −


16
5
3
(16; 5)
55
3
51
3
xx
x
DB DC D
y
yy

−− = −

=


=⇔ ⇔⇒

=


−− = −−


 

Vậy chân đường phân giác trong, ngoài của góc

19
7. BÀI TOÁN 7
Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,
tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác
ABC
với
(2;6), ( 3; 4), (5;0)AB C−−
. Tìm trọng tâm, trực
tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Giải:
Gọi
, ,,GHIJ
lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,
tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Khi đó ta có:
+
235 4
42
3 33


+ Gọi
( 2; 6)
(; )
( 3; 4)
AH x y
Hxy
BH x y

=−−

⇒

=++




với
(8;4) 4(2;1)
(3; 6) 3(1; 2)
BC
AC

= =


= −= −



H
xy y
+= =

⇔ ⇔⇒

−= =


+ Gọi
(;)Iab
, khi đó
22
22
IA IB
IA IB IC R
IA IC

=

= = = ⇔

=

22 22
2 2 22
( 2) ( 6) ( 3) ( 4)

ab
b

+=
= −



⇔ ⇔ ⇒−


−=−



=


+ Gọi
00
(; )Dx y
là chân đường phân giác trong của góc
A
.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
22
22
5 10 5 5 5 5
33
35

2;
3
5
32
40
2
3
x
xx
DB DC D
y
yy

=
−− =− −




=−⇔ ⇔ ⇒−


= −


−− =− −



 

2
JJ
J
J JJ
xx
x
JA JD J
y yy
−=− −

=


⇒=− ⇔ ⇔ ⇒


− =− −− =





 

Chú ý
:
Việc tìm điểm
,,HIJ
trong ví dụ trên, các bạn có thể giải theo cách sau:
+ Với H: Viết phương trình hai đường cao và tìm giao điểm hai đường cao này.


khangvietbook.com.vn
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

21
CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT:

PHẦN 3:
10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY

1. BÀI TOÁN 1


khangvietbook.com.vn
10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng

22
Cách 2 (C2): Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
()
C
∆




(ở đây (C) là đường tròn tâm I bán kính R)
Giải thích chi tiết:
Nghĩa là khi gặp bài toán có nội dung như Bài toán 1 thì ta có thể tìm điểm
theo 2 cách trình bày sau:
1) (C1):
* Do
M
thuộc đường thẳng
∆
đã biết phương trình nên ta sẽ tham số hóa
điểm
M
theo ẩn
t
. Cụ thể nếu đề bài cho đường thẳng

yt
= −

∆

=−+

thì ta sẽ gọi
(1 ; 2 3 )Mt t− −+

+ Tổng quát
0ax by c+ +=
, khi đó để việc gọi điểm
M
đơn giản và tránh
tọa độ viết dưới dạng phân số ta nên gọi như sau:
Nếu
1a =
hay
:0x by c∆ + +=
thì ta gọi
( ;)M c bt t−−
.
Ví như
: 3 50xy∆ + −=
thì gọi
(5 3 ; )M tt−
.
Nếu
1b =

Ví như
:2 3 3 0xy∆ − −=

(
(3; 2)u
∆
=
 
,
∆
đi qua
0
(0; 1)M −
)
⇒
3
:
12
xt
yt
=

∆

=−+


⇒

(3 ; 1 2 )Mt t−+

()C
tâm
I
, bán kính
R
. Khi đó tọa
độ điểm
M
chính là nghiệm của hệ phương trình (một phương trình
∆
và
một phương trình đường tròn
()C
) :
()
C
∆




C. VÍ DỤ GỐC
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
(5; 2)I
và đường
thẳng
:2 3 0xy∆ −+=
. Tìm tọa độ điểm

= ⇔ = ⇔ − + + = ⇔ − += ⇔

=

(1; 5)
1 17
;
55
M
M


⇒







Cách 2:
+ Có:
5MI =
nên
M
thuộc đường tròn
()C

y
M
xy
x
M
xy
y

=



=



−+=




⇔⇒


=


− +− =



* Nếu tìm được duy nhất một điểm
M
khi đó
IM ⊥∆
(hay đường tròn
(; )IR

tiếp xúc với
∆
tại
M
).
* Tùy vào dữ kiện của bài toán, có thể linh hoạt trình bày theo C1 hoặc C2 (C2
“mạnh” hơn C1 khi đề cập tới những điểm có cùng vai trò – các bạn sẽ thấy rõ điều
này qua các ví dụ minh họa ở phần sau).
D. CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG
Như vậy để chuyển các bài toán về Bài toán 1, ta cần chỉ ra được được 2 điều:
+ Điểm cần tìm đang thuộc một đường thẳng đã biết phương trình.
+ Điểm cần tìm cách một điểm đã biết tọa độ một khoảng không đổi.
Vì vậy để có được điều này các bạn cần trả lời các câu hỏi:
Chùm câu hỏi 1: Điểm cần tìm thuộc đường nào? Đường đó đã biết phương
trình chưa? Nếu chưa thì có viết được không? Viết bằng cách nào?
Chùm câu hỏi 2:
Điểm cần tìm cách một điểm cho trước (đã biết tọa độ )
một khoảng bằng bao nhiêu ?
Cắt nghĩa dữ kiện của bài toán như thế nào để tính được khoảng cách đó?
Và các hỏi trên được “thiết kế ” qua các cách ra đề sau:
1. CÁCH RA ĐỀ 1: Cho biết
M
thuộc đường thẳng

khangvietbook.com.vn
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

25
Phân tích :
*
: 30M dx y∈ −+=

*
(1;1)
( ):
1
I
C
R


=

và khai thác dữ kiện suy ra
33MI R= =

→
chuyển về Bài toán 1.

=

⇔⇒

= −

(1; 4)
( 2;1)
M
M


−


+ Vậy
(1; 4)M
hoặc
( 2;1)M −
.
Ví dụ 2 (A – 2011). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
: 20xy∆ ++=
và đường tròn
22
( ): 4 2 0Cx y x y
+−− =
. Gọi
I


*
2 . 5. 10
MAIB MBI
S S BI MB MB= = = =25 5MB MI⇒ = ⇒=
→
chuyển về
Bài toán 1.
Giải
+ Ta có
22
( ): 4 2 0Cx y x y
+−− =
(2;1)
5
I
R IB


⇒

= =



+ Vì
MA