Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Mục lục
Trang
Mục lục 1
Mở đầu
1. Tên đề tài 4
2. Lý do chọn đề tài 4
3. Mục tiêu đề tài 4
4. Giới hạn nghiên cứu 4
Chơng 1
Tổng quan
1.1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình 6
1.2. Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình 7
1.3. Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình 8
1.4. Phân loại dao động 9
1.4.1. Phân theo số bậc tự do của hệ 9
1.4.2. Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động 9
1.4.3. Phân theo sự tồn tại của lực cản 10
1.4.4. Phân theo kích thớc và cấu tạo của hệ 10
1.4.5. Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động 10
1.4.6. Phân theo dạng và biểu đồ dao động 10
1.5. Bậc tự do của hệ dao động 10
1.6. Phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình vi phân chuyển động 11
1.6.1. Phơng pháp dựa trên nguyên lý Đalămbe 11
1.6.2. Phơng pháp sử dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ 11
1.6.3. Phơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamintơn 12
1.7. Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng 12
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
1

2
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

3.4. Phơng pháp Rayleigh Ritz 52
3.5. Thuật toán tính tần số và dạng dao động riêng thứ nhất theo phơng pháp
Rayleigh, sử dụng quá trình lặp. 55
Chơng 4
Sử dụng quá trình lặp ở dạng ma trận để tính đồng thời tần
số và dạng dao động riêng cho hệ dầm phẳng
4.1. Mở đầu 59
4.2. Phân tích dạng dao động thứ nhất 59
4.3. Chứng minh sự hội tụ của quá trình lặp 66
4.4. Phân tích dạng dao động cao hơn 69
4.4.1. Phân tích dạng dao động thứ hai 69
4.4.2. Phân tích các dạng dao động cao hơn 74
4.4.3. Phân tích các dạng dao động cao nhất theo cách lặp trực tiếp 77
Chơng 5
Xây dựng sơ đồ khối tính đồng thời tần số và dạng dao
động riêng các ví dụ tính toán
5.1. Xây dựng thuật toán sơ đồ khối
86
5.2. Các ví dụ tính toán 91
Phần kết luận kiến nghị h ớng nghiên cứu tiếp của luận văn 140
Tài liệu tham khảo 142
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
3
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Phần mở đầu

- Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
5
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Ch ơng 1
Tổng quan
1.1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình.
Khái niệm về động lực học gắn liền với khái niệm lực thay đổi theo thời
gian; nghiên cứu động lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tác dụng
của tải trọng thay đổi theo thời gian.
Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình bao gồm:
a/ Kiểm tra hiện tợng cộng hởng của các công trình chịu tải trọng động,
tránh hiện tợng cộng hởng làm h hỏng công trình. Trong ngành GTVT, điều 1.53
quy trình thiết kế quy định: Với kết cấu nhịp cầu ô tô, cầu thành phố và cầu bộ
hành thì chu kỳ dao động thẳng đứng không đợc nằm trong khoảng 0.3s đến 0.7s,
còn chu kỳ dao động theo phơng nằm ngang không đợc trùng hoặc bằng bội số của
chu kỳ dao động thẳng đứng.
b/ Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực do tải trọng động gây ra để căn cứ vào
đó mà kiểm tra khả năng chịu lực của công trình.
c/ Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để kiểm tra công trình theo
điều kiện cứng, đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn. Mặt khác tìm các biện
pháp xử lý với các công trình chịu rung động lớn, nghiên cứu cách giảm rung
động.
Dới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kết cấu sẽ dao động và
dao động đó đợc biểu thị dới dạng chuyển vị của kết cấu. Do đó khi phân tích và
giải quyết bài toán động lực học công trình sẽ cho phép xác định đợc sự thay đổi
của chuyển vị theo thời gian ứng với quá trình thay đổi của tải trọng động. Các
tham số khác nh nội lực, ứng suất, biến dạng nói chung đều đợc xác định sau khi

bài toán động so với bài toán tĩnh. Bản chất của lực cản chuyển động (lực tắt dần)
rất phức tạp và đa dạng. Vì vậy, việc tính lực cản làm cho bài toán động phức tạp
hơn so với bài toán tĩnh. Trong tính toán đôi khi không xét tới ảnh hởng của lực
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
7
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

cản, đôi khi lực cản đợc tính một cách gần đúng với giả thiết phù hợp. Nhng phải
luôn thấy rằng lực cản luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển động của hệ.
1.3. Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình.
Hầu nh các kết cấu xây dựng trong quá trình sử dụng đều phải chịu tác dụng
của tải trọng động ở dạng này hay dạng khác. Tải trọng động là tải trọng bất kỳ có
độ lớn, phơng, vị trí thay đổi theo thời gian. Tải trọng động tác dụng lên công trình
rất đa dạng và phức tạp. Theo các đặc trng của nó, tải trọng động với một quy luật
bất kỳ nào đó đợc phân ra là tải trọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ.
Các tải trọng có chu kỳ
Tải trọng có chu kỳ là tải trọng lặp đi lặp lại theo thời gian qua các chu kỳ.
Chu kỳ của tải trọng có thể là liên tục mà cũng có thể là gián đoạn. Nếu tải trọng
tác dụng có quy luật hình sin hoặc cos với chu kỳ liên tục thì gọi là tải trọng điều
hoà đơn giản.
Các dạng khác của tải trọng có chu kỳ thờng phức tạp hơn. Sự phức tạp biểu
hiện ở quy luật của tải trọng trong mỗi chu kỳ.
Tải trọng không có chu kỳ
Có thể là các loại tải trọng ngắn hạn và các tải trọng dài hạn tổng quát:
- Tải trọng ngắn hạn: Nguồn kích động đặc trng của các tải trọng ngắn
hạn có thể lấy ví dụ là các vụ nổ.
- Tải trọng động dài hạn là dạng tải trọng động thờng gặp, ví dụ nh tác
dụng của động đất đối với các công trình đều là tải trọng dài hạn.
Trong thực tế thờng gặp một số loại tải trọng động nh sau:

- Dao động cỡng bức: Là dao động sinh ra do chịu tác dụng của tải trọng
động, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao
động. Dao động cỡng bức bao gồm rất nhiều loại: dao động của hệ chịu tải
trọng có chu kỳ, dao động của hệ chịu tải trọng di động, dao động của các
công trình chịu tải gió, động đất
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
9
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

1.4.3. Phân theo sự tồn tại của lực cản.
- Dao động tắt dần: là dao động có xét tới lực cản.
- Dao động không tắt dần: là dao động bỏ qua ảnh hởng của lực cản.
1.4.4. Phân theo kích thớc và cấu tạo của hệ.
Theo cách phân loại này dao động của hệ sẽ bao gồm:
- Dao động của hệ thanh.
- Dao động của tấm.
- Dao động của vỏ.
- Dao động của các khối móng.
- Dao động của hệ treo
- Dao động của các kết cấu công trình đặc biệt
1.4.5. Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động.
- Dao động tuyến tính: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân tuyến tính.
- Dao động phi tuyến: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân vi tuyến
1.4.6. Phân theo dạng và biểu đồ dao động.
- Dao động hình sin
- Dao động phức tạp có chu kỳ.
- Dao động tăng dần.

cân bằng tĩnh trở thành các phơng trình cân bằng động.
1.6.2. Phơng pháp sử dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ.
Phù hợp với nguyên lý này, phơng trình chuyển động của hệ đợc xác định từ
biểu thức công của tất cả các lực trên các chuyển vị khả dĩ bằng không. Để nhận đ-
ợc phơng trình chuyển động của hệ, ta tiến hành các bớc sau:
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
11
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

- Xác định tất cả các lực đặt vào các khối lợng của hệ, trong đó kể cả lực
quán tính đợc xác định phù hợp với nguyên lý Đalămbe.
- Đa vào các chuyển vị khả dĩ tơng ứng với các bậc tự do của hệ.
- Tính biểu thức công của tất cả các lực trên các chuyển vị khả dĩ và cho
bằng không.
1.6.3. Phơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamintơn.
Phơng pháp này đa ra phơng trình chuyển động từ biểu thức biến phân các
hàm năng lợng của hệ.
1.7. Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng.
Chia làm 3 nhóm phơng pháp:
A. Nhóm phơng pháp chính xác.
B. Nhóm phơng pháp gần đúng.
C. Nhóm phơng pháp đúng dần.
1.7.1. Phơng pháp chính xác.
Xây dựng phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh
thẳng.
Xét hệ thanh thẳng có khối lợng phân bố. Hệ này có vô số bậc tự do. Dao
động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ đợc biểu diễn bằng đờng đàn hồi của nó.
Phơng trình đờng đàn hồi này là hàm của hai biến số: toạ độ x và thời gian t.
y = f(x,t)

=


=












2
2
2
2
2
x
M
x
y
EJ
x
p(x,t) (1-1)
Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích,
lực quán tính và lực cản (hình vẽ). Lực kích thích phân bố có cờng độ q(x,t); lực



hay:
p(x,t) = -q(x,t) +m(x)
2
2
),(
t
txy


),( txr
+
Thay biểu thức trên vào (1-1) thu đợc:
),()(),(
2
2
2
2
2
txr
t
y
xmtxq
x
y
EJ
x





+












(1-2)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
13
q(x,t) > 0
x
y
r(x,t)
-m(x)
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật 2
2
x

x
y
EJ
x
(1-2a)
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì phơng trình (1-2) và (1-2a) có dạng:
EJ
txq
EJ
txr
t
y
EJ
xm
x
y ),(),()(
2
2
4
4
=+


+


(1-2b)
0
)(
2

14
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

U: Thế năng của hệ.
Giả sử dao động của hệ có dạng:
y
i
(x,t) = y
i
(x) sin(
i
t +
i
) (1-3)
Xét hệ với các trạng thái đạt giá trị năng lợng lớn nhất, áp dụng cơ sở định luật bảo
toàn năng lợng ta có:
T
max
= U
max
(1-4)
Phơng trình (1-4) là phơng trình cơ bản của phơng pháp năng lợng.
Ta xét một hệ bất kỳ vừa có khối lợng phân bố m(x), vừa có khối lợng tập
trung m
i
.
Thành lập biểu thức động năng, với trờng hợp động năng lớn nhất:
T
max
=

6)
Thay (1-5), (1-6) vào (1-4) ta thu đợc biểu thức bình phơng tần số nh sau:
[ ]





+
=
)()()(
)(
22
2
''
1
2
kiki
i
xymdxxyxm
dxxyEJ

(1-7)
Nh vậy, nếu biết trớc chính xác dạng dao động riêng ứng với tần số
i
nào đó thì
có thể xác định đợc tần số
i
đó một cách chính xác theo công thức (1-7).
Phơng pháp Rayleigh khi xác định tần số dao động riêng theo công thức gần

ii
xa
1
)(

(1-9)
Với
i
(x): là hàm chọn trớc thoả mãn các điều kiện biên.
a
i
: các hằng số cha biết.
Thay (1-9) vào (1-8) ta có:

==
=






n
i
iij
n
i
ii
xaxmxaxEJ
1









==
xxaxmxaxEJ
k
n
i
iij
n
i
ii

(1-
11)
Lấy tích phân biểu thức (1-11) trên toàn chiều dài của dầm, khai triển, viết ở dạng
chính tắc ta có:
C
k1
a
1
+ C
k2
a
2




=
L
kijk
n
i
ii
dxxxxmxxaxEJ
0
2
''
1
''
)()()()()()(

(1-
13)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
16
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Nếu ta đặt
''
1
''
)()(


hàm
i
(x) thoả mãn điểu kiện biên thì C
ki
= C
ik
.
Trong công thức (1-12) các hệ số a
i
là cha xác định. Chúng phải có giá trị để
sao cho phơng trình (1-12) luôn thoả mãn với mọi giá trị của k (k = 1,2,,n). Các
hàm
i
(x) phải chọn sao cho thoả mãn toàn bộ (hoặc một phần các điều kiện biên)
của bài toán và chọn càng gần các dao động chính thì càng tốt. Ví dụ có thể chọn
hàm dạng
i
(x) theo đờng đàn hồi do các tải trọng khác nhau trên hệ tạo nên nh tải
trọng phân bố, tập trung có thể chọn là hàm lợng giác v.v
Trong công thức (1-12), các hệ số a
i
là cha xác định. Hệ phơng trình đó là
thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm a
i
khác không thì định thức của các hệ số
trong phơng trình chính tắc phải bằng không:
D =
nnnn
n
n

Nguyên lý Lagơrăng phát biểu nh sau: Trong tất cả các trạng thái khả dĩ,
trạng thái cân bằng dới tác dụng của các lực có thể sẽ tơng ứng với trạng thái mà
theo đó thế năng toàn phần của hệ sẽ có giá trị dừng.
Thế năng toàn phần đợc biểu diễn dới dạng công của ngoại lực và nội lực
của hệ khi chuyển từ trạng thái biến dạng về trạng thái không biến dạng nh sau:
U =
[ ]


L L
dxxyxqdxxy
xEJ
0 0
2
''
)()()(
2
)(
(1-15)
Trong đó: q(x) là lực quán tính do khối lợng phân bố gây ra khi hệ dao động.
Lực quán tính đợc xác định nh sau:
q
j
(x) = m (x)
j
2
y
j
(x)
Thay vào (1-15) ta đợc:

xa
1
)(

(1-17)
Thay (1-17) vào (1-16) ta thu đợc:
U =















==
L L
n
i
ii
j
n
i

a
2
+ C
k3
a
3
+.+ C
kn
a
n
= 0
(k = 1,2,..,n)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
18
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

với
C
ki
=
[ ]









n
n
CCC
CCC
CCC
CCC
......
.........................................................
......
......
.......
21
33231
22221
11211
= 0 (1-
20)
Khai triển (1-20) ta đợc phơng trình tần số, phơng trình này là bậc n đối với
j
2
.
Phơng pháp Lagơrăng - Ritz chỉ áp dụng đợc cho các hệ bảo tồn [1].
1.7.2.4. Phơng pháp thay thế khối lợng.
Các phơng pháp gần đúng ở trên dựa trên sự gần đúng là do giả định gần
đúng ban đầu dạng dao động y(x). Phơng pháp thay thế khối lợng là phơng pháp
dựa trên cơ sở đơn giản hoá sơ đồ khối lợng.
Theo phơng pháp này chúng ta thay thế các khối lợng phân bố và tập trung
trên kết cấu thành các khối lợng tập trung với khối lợng ít hơn đặt tại một số điểm
đặc biệt. Có thể thay thế khối lợng phân bố theo một trong hai cách sau:
- Chia các khối lợng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lợng

k
M M
M : là khối lợng tơng đơng.


: chuyển vị của dầm tại vị trí đặt M , do lực tập trung P = 1 gây ra.
Nội dung cơ bản của phơng pháp là xác định M và vị trí đặt M sao cho tần
số dao động riêng của hệ thay thế bằng hoặc gần bằng tần số thấp nhất của hệ đã
cho. Ngời ta thấy rằng nên đặt khối lợng tơng đơng với vị trí có chuyển vị lớn nhất
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
20
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

khi dao động. Nếu ngoài khối lợng phân bố, trên hệ còn có khối lợng tập trung t-
ơng đối lớn, thì nên đặt ở M ở vị trí có khối lợng tập trung.
Phơng pháp khối lợng tơng đơng đợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết gần
đúng sau: Hai hệ tơng đơng về động năng thì cũng tơng đơng về tần số.
Nh vậy điều kiện để tần số của hệ thay thế bằng tần số của hệ thực là: động
năng lớn nhất T(b) của hệ thay thế tơng đơng phải bằng động năng lớn nhất T(a)
của hệ thực khi dao động.
T(a) = T(b) (1-21)
Giả thiết đờng đàn hồi của hệ khi dao động có dạng:
y(x,t) = y(x).Z(t)
Suy ra vận tốc dao động tại thời điểm bất kỳ có hoành độ x là :

( , ) ( ) ( )=
&
y x t y x t
Do đó, tổng động năng của hệ thực là:

Thay các kết quả vào biểu thức (1-21) ta thu đợc:

2 2
2
( ) ( ) ( )
( )
+

=


k k
tb
d mm x y x x y x
y a
(1-22)
Sau khi tìm đợc M
tb
ta có thể xác định
1

theo công thức đã nói ở trên.

2
1
1


Trong các phơng pháp giải gần đúng bài toán dao động của hệ thanh phơng
pháp sai phân tơng đối đơn giản hơn và có thể áp dụng dễ dàng cho các trờng hợp
các thông số của hệ thay đổi (ví dụ nh khối lợng thay đổi, tiết diện thay đổi).
Nội dung của phơng pháp sai phân là thay thế các đạo hàm trong các phơng
trình vi phân bằng các tỷ số hiệu số. Sau khi thay thế ta đợc một hệ phơng trình đại
số tuyến tính. Nh vậy ta đã thay thế việc giải phơng trình vi phân bằng việc giải
một hệ phơng trình đại số tuyến tính.
Xét hệ dầm dài l có khối lợng phân bố đều. Ta có phơng trình vi phân dao
động riêng của dầm mang khối lợng phân bố đều :

4 2
4 2
0



+ =

y m y
x J x
Nếu đặt : y(x,t) = y(x)sin(
+ t
)
thì sau khi biến đổi ta đợc phơng trình sau :
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
22
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
4 2
4
1
=

m
k
J
(1-23)
Chia dầm thành n đoạn bằng nhau có chiều dài
x
, ta có :
l=n.

x
;
1. = x
;
1
=
n
Phơng trình (1-23) có thể viết gần đúng dới dạng vi phân nh sau:

0
4
4
4
=



yyyyyyy
yyyyyy
yyy
Thay các kết quả trên vào (1-23) ta thu đợc phơng trình sai phân viết cho
điểm bất kỳ i nh sau:
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
23
x
y
y
i
x x
y
i+1
y
i-1
y
i
y
i+1
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật 4
2 1 1
4
4 6 4 0
+


i
(x) thì các lực quán tính tác dụng
lên hệ có dạng:
q(x)=m(x)
2
( )

i i
y x
p
k
= m
k
2
( )

i i
y x
Bây giờ nếu giảm các tải trọng đi
i
2
lần ta có lực quán tính là:
( ) ( ) ( )
( )
=
=
i
k k i
q x m x y x
p m y x

biết nên trong lần gần đúng thứ nhất ta giả thiết hàm dạng theo hàm
i
(x) nào đó
và xác định đợc giá trị gần đúng thứ nhất theo công thức sau:

(1)
(1)
(x)
( )


=

i
i
i
x
(1-25)
trong đó
i
(1)
là đờng đàn hồi do các tải trọng phân bố
( ) ( ) ( )=
i
q x m x x
và tải trọng tập trung
( )=
k k i
p m x
gây ra.

( )
=
=
(1)
i
(1)
k k i
q x m x y x
p m y x

Gọi phơng trình đờng đàn hồi do các tải trọng này gây ra là
(1)
( )
i
x
; ta sẽ
tính đợc tần số gần đúng lần thứ hai theo công thức sau:

(2)
(2)
(x)
( )

(1)

=

i
i
i