TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

A . GIỚI THIỆU
I / Đặt vấn đề :
Chương trình Đại số Tốn 7, học sinh được cung cấp đầy đủ những kiến thức về
các phép tính cộng trừ nhân chia trên tập hợp: số hữu tỉ, số vơ tỉ, số thực, các tính chất
của giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ, các cơng thức lũy thừa, tỉ lệ thức, các tính chất dãy tỉ
số bằng nhau.. Qua đó học sinh hiểu và vận dụng các cơng thức, các tính chất trên để
giải các bài tốn đại số cơ bản. Tuy nhiên các em gặp các dạng : Chứng minh bất đẳng
thức; Tìm x,y có liên quan đến tổng dãy số viết theo quy luật, tìm x có chứa giá trị tuyệt
đối , … thì lúng túng. Với những bài tốn trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức:
tính chất của phép cộng, phép nhân, kỹ năng tính tốn, khả năng phát hiện quy luật của
các bài tốn. Khi học sinh đã nắm vững các kiến thức cơ bản, chúng tơi đưa ra một số
bài tập nâng cao, học sinh được tiếp cận với các bài tập nâng cao này đều cảm thấy
ham thích và có niềm đam mê một cách thực sự, nhất là đối với học sinh khá giỏi, có
óc thơng minh, nhạy bén, sáng tạo. Do đó nhóm Tốn 7 chung tơi rút ra một kinh
nghiệm để học sinh có thể ơn luyện được nhiều kiến thức,kỹ năng trong mơn Tốn số,
với đề tài “ Hệ thống bài tập nâng cao Đại số 7” để rèn luyện cho các em
hồn thiện kỹ năng giải tốn trong q trình học tập để học sinh được phát triển tư duy
và có niềm đam mê mơn học tốn Đại số.

II/ Biện pháp thực hiện :
Giáo viên thực hiện đề tài này khồng thời gian 20 tiết: lồng ghép trong các tiết
luyện tập phù hợp theo nội dung tiết dạy.Trước hết, học sinh cần được nắm vững các
kiến thức các bài tập cơ bản trong SGK. Khi học sinh đã thành thạo các bài tập cơ bản
rồi, giáo viên sẽ đưa hệ thống bài tập nâng cao cho học sinh tiếp cận, kèm theo gợi ý
đối với từng dạng bài để học sinh phát huy tư duy sáng tạo của mình.

III/ Phạm vi áp dụng :

m.n

n

n

; ( x.y) = x .y

n

xm : xn = xm –n ( x ≠ 0, m ≥ n)
x n xn
(
; ) = n ( y ≠ 0)
y
y

2 . Một số bài toán :
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
1 2 
1 6 
7 3

A =  3 − + ÷−  5 + − ÷−  6 − + ÷
4 5 
3 5 
4 2

1 3  3 1 2 1 1
B = − −  − ÷+ − − +

 6   19  45  5 
 −5  11  13  11
C =  ÷: +  − ÷:
 9  3  18  3
 2 9 3   3
D =  2 × × ÷:  − ÷
 15 17 32   17 

Phương pháp giải:
- Nắm vững các qui tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của kết quả.
- Đảm bảo thứ tự thực hiện phép tính.
- Vận dụng tính chất các phép toán.
Bài tập vận dụng :
Bài 2:

Thực hiện phép tính:

a) A = (

1
1
1
1 1 − 3 − 5 − 7 − ... − 49
+
+
+ ... +
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

−

5 .7 − 255.492
10

3

( 125.7 )

3

+ 5 .14
9

HD : A =

3

−9
;B=
28

7
2

Bài 3:

Tính:

1

 1,5 + 1 − 0,75
 1890
11
12

:
+
+ 115
Bài 4: TÝnh A =
 2,5 + 5 − 1,25 − 0,625 + 0,5 − 5 − 5  2005


3
11 12 

5
5
1
3
 1
13 − 2 − 10  . 230 + 46
27
6
25
4
 4
Bài 5: a) Tính :
2
 3 10   1
1 +  : 12 − 14 

1 1 1
1
= 2012 +
+ .... +
− 2011 = 2012( + + + ...... +
)
2
2011
2 3 4
2012
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6)
c)
2 3 7 9
A=
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
⇒ MS = 1 +

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
 11 3 

1 2
1 31 . 4 7 − 15 − 6 3 . 19   14  31

 . −1
A=

 .
5
1

:
0
,
88
+
3
,
53
−
(
2
,
75
)

 
:
25





 25


Bài 8: Tìm giá trị của các biểu thức sau :

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU


8 +4

2 .104

-

HD:
Áp dụng các công thức lũy thừa.
Chú ý học sinh thường sai lầm công thức : xm.xn = xm+n ; (xm)n = xm.n ;
Gi¶i:
3
2
(2 3.3 2 ) 3 .( 2.33 ) 2
2 9.36.2 2.36 = 211.312 = 23 = 8
A = 72 .544 =
=
2 3 4
8 12
8 12

108

(2 .3 )

2 .3

2 .3

12
12

D = 8 4 + 411 = 2 12 + 2 22 = 12
= 28 = 256
10

8 +4

2 +2

2 (1 + 2 )

Một số bài toán tinh theo quy luật, dãy số:
Bài 9:
Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008
T×m x biÕt 2A + 3 = 3x
Gi¶i :
Ta cã 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) =

32 + 33 +…+ 32008 +32009

3 + 32 + 33 +…+ 32008

A =

3A – A = 32009- 3
2A = 32009- 3
=> 2A + 3 = 32009- 3 + 3 => 2A + 3 = 32009
MÆt kh¸c: 2A + 3 = 3x
Suy ra: 32009 = 3x hay x = 2009
* Ph¬ng ph¸p gi¶i:
Tæng qu¸t:


GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 4-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

c 1

1

c 1

1

c

1

1

Ta có : A = k ( a − a ) + k ( a − a ) + ..... + k ( a − a )
1
2
2

3
3
1
Chøng minh r»ng B < .
2

Bài 13: Cho B = +

PHẦN B :
TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I Các kiến thức vận dụng:
* Các tính chất của tỉ lệ thức:
+ Nếu

a c
= ⇔ ad = bc
b d

+ Nếu a, b, c, d ≠ 0 thì :
ad = bc ⇔

a c
= ⇔
b d

a b
= ⇔
c d

d c

(với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
II.CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1 : Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.
PP: Trong một tỉ lệ thức, ta có thể tìm một só hạng chua biết khi biết ba số hạng kia.
a c
bc
ad
ad
bc
= ⇒ a = ,b =
,c =
,d =
b d
d
c
b
a

Bài 1 : Tìm x biết :
x −9
a)
=
27 36

7
− 49
b)
=
− 28
x

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 5-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 3 : Tìm x biết :
a)

72 − x x − 40
=
−7
9

b)

37 − x 3
=
x +13 7

Dạng 2: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng.
PP: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
VD1: Tìm x,y,z biết:
a)


⇒ x + y + z = 2k + 3k + 4k = 9k
⇒ 9k = 18 ⇒ k = 2

Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8
Cách 3: Rút x, y theo z.
1

x= z

x y z

2
= =
⇒
2 3 4
y = 3 z

4
1
3
9
⇒ x + y + z = z + z + z = z = 18
2
4
4
⇒ z = 8; x = 4; y = 6
 x = −3.2 = −6
x y z x − y − z 15

=


=
=
=
= −3 ⇒  y = −3.4 = 12
a) = = =
3 4 5
8
20
3 + 8 + 20
31
 z = −3.5 = 15

 x = −2.3 = −6
x y z 2 x 3 z − 2 x + y − 3z
34

=
=
=
= −2 ⇒  y = −2.4 = −8
b) = = =
3 4 5 6 15
− 6 + 4 − 15
− 17
 z = −2.5 = −10


VD3: Tìm x, y,z biết:


=
=
=
=
= 2 ⇒  y = 2.16 = 32
18 16 15 18 + 32 + 60 110
 z = 2.15 = 30


VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5 x = 7 y và x + 2 y = 51 ;

b) a.x = b. y (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ a ) và x − y = b − a

Giải:
a) Từ 5 x = 7 y ⇒

x y
=
7 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 21
x y x + 2 y 51
= =
=
=3⇒ 
7 5 7 + 10 17
 y = 15


Từ:
µ = 200 ; B
µ = 400 ;C
µ = 1200
⇒A

Tổng quát :

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 7-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Tìm x,y,z biết

x y z
= = và mx+ny+pz=d
a b c

Với a, b, c, d là các số cho trước và m,n,p≠ 0

(*)

Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra tỷ số

x y x  y
x y xy 24
= ⇒ ÷ = ÷ = . =
=
=4
2 3 2  3
2 3 6
6
x
⇒ = ±2 ⇒ x = ± 4
2

Với x = 4 ⇒ y = 6
Với x = - 4 ⇒ y = - 6
b) Cách 2: Đặt

x y
= = k ⇒ x = 2k ; y = 3k
2 3

Thay x = 2k ; y = 3k vào xy = 24 ta được:
2k .3k = 6k 2 = 24 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2

-Với k = 2 ⇒ x = 4; y = 6
-Với k = −2 ⇒ x = −4; y = −6
b) Đặt

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 4



TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

x y z
= =
(1)
3 4 5
a) Từ
x2 y2 z 2
⇒
=
=
9 16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x 2 y 2 z 2 2 y 2 4 z 2 x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 141
=
=
=
=
=
=
= 1 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3
9 16 25 32 100
9 + 32 + 100
141
x = 3

= 1 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3
9 16 25 18
75
−18 + 16 − 75
−77
x = 3
 x = −3


kết hợp với (1) ⇒  y = 4 hoặc  y = −4
z = 5
 z = −5



Tổng quát :
x y z
= = và mx k + ny k + pz k = d
a b c
Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số khác 0 k ∈ N *

Tìm x,y,z biết
Phương pháp giải như sau:
Từ

x y z
mx k ny k
pz k
= = ⇒
=

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trước.
Kiến thức vận dụng :
a c
= ⇔ a.d = b.c
b d
a c e
a c e a±b±e
-Nếu = = thì = = =
với gt các tỉ số dều có nghĩa
b d f
b d f b±d ± f
a c e
- Có = = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
b d f

-

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 9-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Để chứng minh tỉ lệ thức:


= (a, b, c, d ≠ 0; a ≠ ±b; c ≠ ± d )
b d

VD1: Cho tỉ lệ thức:
Chứng minh rằng:
a)

a+b c+d
=
a−b c−d

b)

a+b c+d
=
b
d

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
Từ

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d

a b a+b a−b
= =

c = kd
 c + d = kd + d = k + 1
 c − d kd − d k − 1

Vậy:

a+b c+d
=
a−b c−d

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

b a+b
a+b c+d
=
⇒
=
d c+d
b
d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 10-


b) 2
=
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

Giải:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
do:

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b
= = = =
=
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d

từ :

2a+3b 2a-3b
2a+3b 2c+3d
=
⇒
=
2c+3d 2c-3d
2a-3b 2c-3d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
 2a+3b 2kb+3b 2k+3

= ⇒  ÷ = ÷ = . = 2 = 2 =
c d c d
c d c d
cd
3a 2 7a 2 10b 2 5ab 3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
= 2= 2=
=
=
=
3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
⇒ 2
=
7a -10b2 7c 2 -10d 2

từ

3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
=
⇒ 2
=
3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU


=
⇒ 1+
= 1+
a −b c −d
a −b
c−d
a −b
c−d
c −d a −b
c 1 a 1
a c
⇒
=
⇒
− =
− ⇒ =
2d
2b
2d 2 2b 2
b d

Dạng 4: Tính giá trị của một biểu thức.
a
b

b c
a 2 +b 2 +c 2
hãy tính giá trị của biểu thức M=
c a
(a+b+c) 2

Giải:
a + 2b − 3c 4 2
⇒ N=
= =
a − 2b + 3c 6 3
Bài 1: Cho
Tính A =

a
b
c
d
=
=
=
(a, b, c, d > 0)
2b 2c 2d 2a

2011a − 2010b 2011b − 2010c 2011c − 2010d 2011d − 2010a
+
+
+
c+d
a+d
a+b
b+c

Bài 2: Cho

2x + 3y + 4z

=
⇒ = = =
=
= 10
12 12 12
6 4 3 6 + 4 + 3 13
x = 60; y = 10; z = 30

Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30. ĐS: 60; 40; 30
Bài 2
. Trường có 3 lớp 7, biết

2
3
4
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và bằng số học sinh
3
4
5

7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh
mỗi lớp?
Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
Theo bài ra ta có:
2
3
4
x = y = z ( 1) và x + y + z = 57
3
4

= ; = ⇒ = ; =
y 9 z 7
5 9 10 7
x
y z
⇒ = = =k
10 18 7
⇒ x = 10k = 2.5.k
⇒ y = 18.k = 32.2.k
⇒ z = 7.k

BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7
 k=5
 x=50; y = 90; z = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
C.BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
a)

x 7
= và 5x – 2y = 87;
y 3

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

b)

x
y
=

v x + y + z = 49;
3
4
5

b)

x 1 y 2 z 3
=
=
v 2x + 3y z = 50;
2
3
4

Bi 4: Tỡm cỏc s x; y; z bit rng:
a)

x y z
= = v xyz = 810;
2 3 5

b)

x 3 y3
z3
=
=
v x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216


Bi 6: Ba ngi cựng gúp vn kinh doanh c tng s tin l 180 triu ng. Bit rng 3 ln
s vn ca ngi th nht bng 2 ln s vn ca ngi th hai v 4 ln s vn ca ngi th
hai bng 3 ln vn ca ngi th 3. Tớnh s vn m tng ngi ó gúp.
Bi 7 : Ba hc sinh A, B, C cú s im mi t l vi cỏc s 2 ; 3 ; 4. Bit rng tng s im
10 ca A v C hn B l 6 im 10. Hi mi em cú bao nhiờu im 10
Bi 8 : Ba vũi nc cựng chy vo mt cỏi h cú dung tớch 15,8 m3 t lỳc khụng cú nc cho
ti khi y h. Bit rng thi gian chy c 1m3 nc ca vũi th nht l 3 phỳt, vũi th hai
l 5 phỳt v vũi th ba l 8 phỳt. Hi mi vũi chy c bao nhiờu nc vo h.
Bi 9 : Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở đợc 912 m3 đất. Trung bình mỗi
học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1
và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối
a
c
= ; Chng minh rng:
b
d
5a + 3b 5c + 3d
7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
=
a)
;
b)
.
5a 3b 5c 3d
11a 2 8b 2 11c 2 8d 2
a
c

a13 + a 32 + a 33 a1
= .
a 32 + a 33 + a 34 a 4

a
c
a 2 +b 2
ab
= .
=
. Chng minh rng:
2
2
b
d
c +d
cd
a
b
c
Bi 15: Cho ba t s bng nhau: b + c , c + a , a + b . Tỡm giỏ tr ca mi t s ú ?

Bi 14: Cho t l thc :

Bi 16: Cho a, b, c l cỏc s hu t khỏc 0 sao cho:

a+b-c a-b+c -a+b+c
=
=
c

−2
−3
b)
− 3x =
15
10
1 
1 7
69
 1
c)  2 + 3 ÷:  x + 3 ÷+ = 1
2 
7 2
86
 3
a) x +

2 
1 3
d ) −  x − ÷=
3 
2 5

1 2
4
e) + : x =
2 3
3

1


b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
⇒

x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
−
=
2011 2010 2009 2008

( x − 2012) + 2011 ( x − 2012) + 2010 ( x − 2012) + 2009 ( x − 2012) + 2008
+
+
=
2011
2010
2009
2008
x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012
+
+
−
= −2
2011
2010
2009
2008
1
1


Bài 3: T×m x ∈ N biÕt:
2 x −1

a)2x.4 = 128

b)  1 

c) (2x – 3)3 = 343
e) (x – 3)6 = (x – 3)7

d) (2x – 3)2 = 9
g) x100 = x

=

2

1
8

HD: Sử dụng tính chất : An = B n ⇒ A = B nếu n lẻ; A = ± B nếu n chẵn;
Am = An ⇒ m = n ( A ≠ 0, A ≠ 1)
2 x −1

a) 2x . 22 = 26

b)  1 

=> 2x = 26 : 22

2 x = 0

2 x − 3 = 3

=> x = 5
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm x biết
5

7

3

 3
3
a)  ÷ .x =  ÷
5
7
3
1
1

c)  x − ÷ =
2  27


1
 1
b)  − ÷ .x =
81

1 4 n +1
.3 .3 = 94
9

Bài 5: Tìm x biết
a)(2x – 1)4 = 81
c) (x - 1)5 = - 32
e) (2x + 3)4 = 2401

b)

1 n
.2 + 4.2n = 9.25
2

b) (x -2)2 = 1
d) (4x - 3)3 = -125
f)32x . 27 = 2187

PHẤN4: TÌM X TRONG ĐẲNG THỨC CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 16-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Víi x-1 ≥ 0 hay x ≥ 1th× x − 1 =x-1
Víi x-1
2
− x − c) C = x + 1 + x − 3
5
5

−3
1

1
− − 2x =
3 4
4

c)

1
1 1
− x+ =
2
5 3

d)

3
7
− 2x + 1 =
4
8

Giải
a) = 4
x= ± 4
b) 2 x − 5 = 4
⇒ 2 x − 5 = 4 hay 2 x − 5 = −4
⇒ 2 x = 4 + 5 hay 2 x = −4 + 5
⇒ 2x = 9
⇒ x=


⇒ − 2x = −
4
3 4

c) −

5
1
− 2x =
4
12
5
1
⇒ − 2x =
hay
4
12
5 1
⇒ 2x = −
hay
4 12
14
⇒ 2x =
hay
12
7
⇒x=
hay
12
⇒

Bài 2 : Tìm x, biết:
a) x = 3

3
5

25
5
=0
c) 5 x − = 0
8
23
1
3
2
f) 3 − 2 x − = −
3
7
3

b) x −

e) 2 x − 5 = 13

d) 1,75 − 2,5 − x = 1,25
1
5

g) 2 3 x − 7 =


3 1
5 5
4,5 −
x+ =
4 2
3 6

a) x +

b) 2 −

3
1
−5
x− =
2
4
4

c)

3 4
3 7
+ x− =
2 5
4 4

d)

Bài 5: Tìm x, biết:


d)

2. Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
a = b

 A( x) = B ( x)

Vận dụng tính chất: a = b ⇔ 
ta có: A( x) = B( x) ⇒ 
 a = −b
 A( x) = − B( x)
Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 19-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 1:
Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2

b) 2 x − 3 − 3 x + 2 = 0

1
x=
3
x=

Bài 2: Tìm x, biết:
3
1
x + = 4 x − 1 b)
2
2
7
5 1
x+ − x+5 = 0
8
6 2

5
7 5
3
x − − x + = 0 c)
4
2 8
5

a)

3. Dạng 3: A(x) = B(x)

7

Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu x tìm được với điều kiện )
Bài 1 : Tìm x ∈ Q biết =2x
* Xét x+ ≥ 0 ta có x+ =2x
*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 2 : Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 − 2x
2

b) x − 1 = 3x + 2

GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

c) 5 x = x − 12

d) 7 − x = 5 x + 1

Năm Học : 2014-2015

- 20-


SKKN : “HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7”

TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

Bài 3 : Tìm x, biết:
a) 9 + x = 2 x

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x) + B( x) + C ( x) = m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x
+ =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x
-1
1
x+1
0
+
+
x-1
0
+
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x1
Ví dụ2: T×m x biÕt : 2 x − 6 + x + 3 = 8
Ta lập bảng xét dấu
x
-3
3
x+3

HD : a) ta có x − 1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 ≥ x − 1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x = 8 (1)
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 21-


SKKN : H THNG BI TP NNG CAO I S 7

TRNG THCS TN BèNH

M x 1 + x 3 + x 5 + x 7 = 8 suy ra ( 1) xy ra du =
1 x 7
3 x 5 do x nguyờn nờn x {3;4;5}
3 x 5

Hay

b) ta cú x 2010 + x 2012 + x 2014 x 2010 + 2014 x + x 2012 2 (*)
M x 2010 + x 2012 + x 2014 = 2 nờn (*) xy ra du =
x 2012 = 0
x = 2012
2010 x 2014

Suy ra:

Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : x 1 + x 2 + ..... + x 100 = 2500
Bi 3 : Tỡm x bit x + 1 + x + 2 + ..... + x + 100 = 605 x
Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 + x 2 + y 3 + x 4 = 3


13
10

hay

2x =

7
10

hay x=
*
=- - (khụng tha món)
Bi 1 : Tỡm x, bit:
1 4
1
3 2
a) 2 x 1 + =
b) x + 1 =
2
4 5
2 5
Bi 2 : Tỡm x, bit:
a) 2 x 3 x + 1 = 4

b) x 1 1 = 2

c) 2 x 1



B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 

Ví dụ : Tìm x, y biết : x − 2006 y + x − 2012 = 0
HD : ta có x − 2006 y ≥ 0 với mọi x,y và x − 2012 ≥ 0 với mọi x
Suy ra : x − 2006 y + x − 2012 ≥ 0 với mọi x,y mà x − 2006 y + x − 2012 ≤ 0
x − y = 0
⇒ x − 2006 y + x − 2012 = 0 ⇒ 
⇒ x = 2012, y = 2
 x − 2012 = 0

Bài 1 : Tìm x, y thoả mãn:
a) 3 x − 4 + 3 y + 5 = 0

b) x − y + y +

9
=0
25

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0

Bài 2 : Tìm x, y thoả mãn:
3
2
y−3 = 0
4
7
x − 2007 + y − 2008 = 0



C/ Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Sử dụng bất đẳng thức xét khoảng giá trị của ẩn số.
* A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A
* A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi AB ≥ 0
* A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi AB ≥ 0
Ví dụ1 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = 2|3x - 1| - 4
HD:ThËt vËy:
Ta cã: |3x - 1| ≥ 0 ∀ x
⇒ 2|3x - 1|- 4 ≥ -4 ∀ x
⇒ GTNN cña B = -4 ⇔ 3x - 1 = 0
⇔ x = 1/3
6

Ví dụ 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: C = x − 3 víi x ∈ Z
HD: ThËt vËy:
XÐt |x| > 3 ⇒ C > 0 ∀ |x| > 3
XÐt |x| < 3 th× do x ∈ Z ⇒ |x| = { 0; 1; 2}
NÕu |x| = 0 ⇒ C = -2
NÕu |x| = 1 ⇒ C = -3
NÕu |x| = 2 ⇒ C = -6
⇒ GTNN cña C = -6 ⇔ |x| = 2 ⇔ x = ± 2
GV: TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN THỊ LIÊN CHÂU

Năm Học : 2014-2015

- 23-



b) Ta cú x 2010 0 vi mi x 2012 x 2010 2012 vi mi x
BB

2011
vi mi x, suy ra Min B = 2011 khi x = 2010
2012
2012

Vớ d 5 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A = x 2011 + x 2012
b) B = x 2010 + x 2011 + x 2012
c) C = x 1 + x 2 + ..... + x 100
HD : a) Ta cú A = x 2011 + x 2012 = x 2011 + 2012 x x 2011 + 2012 x = 1
vi mi x A 1 vi x . Vy Min A = 1 Khi ( x 2011)(2012 x) 0 2011 x 2012
b) ta cú B = x 2010 + x 2011 + x 2012 = ( x 2010 + 2012 x ) + x 2011
Do x 2010 + 2012 x x 2010 + 2012 x = 2 vi mi x (1)
V x 2011 0 vi mi x (2)
Suy ra B = ( x 2010 + 2012 x ) + x 2011 2 . Vy Min B = 2 khi BT (1) v (2) xy ra
( x 2010)(2012 x ) 0
x = 2011
x 2011 = 0

du = hay

c) Ta cú
x 1 + x 2 + ..... + x 100 = ( x 1 + 100 x ) + ( x 2 + 99 x ) + ..... + ( x 50 + 56 x )
x 1 + 100 x + x 2 + 99 x + .... + x 50 + 56 x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C 2050 vi mi x . Vy Min C = 2500 khi
( x 1)(100 x ) 0
1 x 100

d) D =

2x +3

a) A = 0,5 − x − 3,5

b) B = − 1,4 − x − 2

e) E = 5,5 − 2 x − 1,5

f) F = − 10,2 − 3x − 14

g) G = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12

h) H = 2,5 − x + 5,8

i) I = − 2,5 − x − 5,8

k) K = 10 − 4 x − 2

l) L = 5 − 2 x − 1

m) M = x − 2 + 3

5,8

4x −5

1



Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 2 + x − 3
b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5

c) C = 3 x − 2 + 3x + 1

c C = x + 5 + x +1 + 4

e) E = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12

d) D = 3x − 7 + 3x + 2 + 8

3 x −1

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7
b) B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5
c) C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3

d) D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x − 1 + 3

Iv/ HIEÄU QUAÛ BAN ÑAÀU :
Học sinh được học chuyên đề này đã lĩnh hội được những kiến thức bổ ích, quý báu.
Học sinh có niềm say mê môn học, phát huy được tính sáng tạo và rèn luyện được tư duy
nhạy bén.
Đứng trước một bài toán, học sinh biết phán đoán và nhanh chóng phát hiện ra quy
luật để tìm hướng giải quyết bài toán, kỹ năng tính toán được nâng cao.
Tư duy của các em ngày càng phát triển, các em sẵn sàng đối mặt với những bài toán khó,
hóc búa, giúp các em ngày càng ham mê đối với bộ môn toán.