Các dạng bài tập
Hình họa
Giảng viên:Nguyễn Thị Thu Nga


I- Bài toán 1
Bài toán liên thuộc


Các bài toán liên thuộc

Bài toán cơ bản1
(Đường thẳng thuộc mặt phẳng)

Bài toán cơ bản2
(Điểm thuộc mặt phẳng)

Dùng để giải các bài toán:
-Giao của hai mặt phẳng
-Giao của đường thẳng với mặt phẳng
-Bài toán về quỹ tích
-…..

Điểm thuộc mặt cong
(Điểm thuộc mặt cầu,
Điểm thuộc mặt nón…)

Điểm thuộc đa diện
(tự xem sgk)

Dùng để giải các bài toán:


22
I2

I1

a1

K1
l1

12

a) l1 cắt cả hai đường a1 b1
- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)

22

l’2

12
I2
c) l1 song song với một trong
hai đường a1 b1
- VD: l1//b1
- Dựa vào điểm 1(11,12)
l2 đi qua 12, l2 //b2

Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1


a2

l’1


1.2 Bài toán cơ bản 2 : Bài toán điểm thuộc mặt phẳng

I1

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,
điểm K thuộc mặt phẳng α đó.
Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình
chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)

21

K1

11

l1

Giải:
- Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α)
- Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ?

b1

a1


- Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ

K1

M1
N1

Q1
O1

J1

E1≡E’1

- Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa
điểm P
- Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.

I1
Q’1
I2

E’2
M’2

Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón

P’2

Q2


P1

(v1)

O1

- Tìm N2 , P2:
Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu:
N1 ∈ (u1) ⇒ N2 ∈ (u2)
P1 ∈ (v1) ⇒ P2 ∈ (v2)
* Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm
tương tự.

M’2

P’2

(v2)

(u2)
N2

O2

E2
M2

Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?


Trên hình chiếu bằng có E2, E’2.

k1

H1

Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2.

H2

M2 ∈ a2, M’2 ∈ a’2

T1

O1

T2

N1 ∈ s1, N2 ∈ s2 .

G2

M’2

J2

- Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2

N2



l2
k2


II- Bài toán 2
Tìm giao của mặt phẳng
chiếu với mặt cong


2.1 Mặt phẳng chiếu

Mặt phẳng chiếu đứng

Mặt phẳng chiếu bằng

(α ) ⊥ ∏ 1
Π1

nα ⊥ x

B1

C1

(β) ⊥ ∏ 2
Π1

mα
C

A2

Π2

B2
C2

x

α1
β2

x

Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng

Hình chiếu bằng suy biến thành đường thẳng


2.2- Các bước tìm giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong (bậc 2)
Bước 1: Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến (Mục 2.2.1)
Bước 2: Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết
(Mục 2.2.2)
Bước 3: Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn (Mục 2.2.3)
Bước 4: Nối giao tuyến (Mục 2.2.4)
Bước 5: Xét thấy khuất (Mục 2.2.5)
Bước 6: Xét đường bao (Mục 2.2.6)

Chú ý: Để timg giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong yêu cầu
nắm vững bài toàn điểm thuộc mặt cong (Mục 1.3.1, 1.3.2,1.3.3)


4
Xét
thấy khuất
trên hình
chiếu
cạnh

5

Điểm giới hạn thấy
khuất của giao tuyến
trên hình chiếu
bằng :Điểm 4
Điểm giới hạn thấy
khuất của giao tuyến
trên hình chiếu
cạnh :
Điểm 2

(Điểm giới hạn thấy khuất của giao
tuyến có thể xác định nhanh bằng cách
kẻ các trục đối xứng thẳng đứng và
nằm ngang của mặt cong ra, các trục
đối xứng cắt giao tuyến ở đâu gắn điểm
vào đấy)


Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp):
c) Các điểm đặc biệt thuộc mặt phẳng chiếu (Điểm 3)


3’
4’


Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp):
e) Các điểm đặc biệt thuộc mặt phẳng chiếu (tiếp)
*Đối với nón:

- Mặt phẳng cắt nón cắt tất cả các
đường sinh của nón, giao tuyến là
elips.

Điểm 3 là đỉnh của
hypecbol

4
3

3

Trục đối xứng
của hypecbol

2
22’ là đường kính trục
dài (đường kính liên
hợp) của elip, là trục
đối xứng của elips



2.2.3- Tìm hình
chiếu còn lại
của các điểm
vừa gắn

1

1
2

2

3

2’

3’

3

4

4

Để tìm hình chiếu
còn lại của các điểm
vừa gắn ta áp dụng
bài toán điểm thuộc
mặt cong ( Mục

Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong
Mặt phẳng cắt cầu
Mặt phẳng cắt cầu trong không gian giao tuyến là đường tròn

3

3

3

3

Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ
đường tròn giao tuyến bị suy
biến thành elip khi chiếu lên
các mặt phẳng hình chiếu

-Mặt phẳng cắt song song với Π1
(hoặc Π2) thì hình chiếu đứng
(hoặc hình chiếu bằng) của giao
tuyến vẫn là đường tròn, hình
chiếu cạnh của giao tuyến suy biến
thành đường thẳng

-Mặt phẳng cắt song song với Π3
thì hình chiếu đứng và hình chiếu
bằng của giao tuyến suy biến
thành đường thẳng, hình chiếu
cạnh của giao tuyến là đường tròn



5

1

2’

3’
4’


Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong
Mặt phẳng cắt nón

Mặt phẳng cắt tất cả các đường
sinh của nón giao tuyến là elip

-Mặt phẳng cắt song song với hai
đường sinh của nón giao tuyến là
hypecbol

-Mặt phẳng cắt song song với một
đường sinh của nón giao tuyến là
Parabol


Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong
Mặt phẳng cắt nón (tiếp)

Mặt phẳng cắt song song với


3 45o

3

Đường tròn

1

3

4

2
3

1
4

- Mặt phẳng cắt vuông góc với đường sinh giao
tuyến là đường tròn
Mặt phẳng cắt song song với đường sinh giao
tuyến là hình chữ nhật
- Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ giao tuyến là elip

- Mặt phẳng cắt trụ nghiêng 45 độ so với đường
sinh giao tuyến là elip. Khi chiếu lên hình chiếu
cạnh elips suy biến thành đường tròn



trên hình
chiếu
cạnh

Xét thấy khuất trên hình chiếu đứng