Nghiên cứu về hình học fractal. viết chương trình cài đặt
một số đường và mặt fractal
LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên
một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc
thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất
dài. Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên
cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở
và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các
đối tượng toán học đã từng được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp cho
các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá
tính phức tạp của tự nhiên. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình học
phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực
thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó.
Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ
thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ
đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một.
Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển
của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt
nguyên tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ
thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của nó
đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy
móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lỗi của
khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai
như thế sẽ không bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ các lý
thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự
phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà
chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Hình học phân hình và
lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của một tiến
trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết
hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình

Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh............................................................11
Ứng dụng trong khoa học cơ bản................................................................13
I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình.............................................13
I.4.1 Độ đo Fractal.......................................................................................13
I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS.............................................................................17
Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH........21
II.1 Họ đường Von Kock................................................................................21
Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake.......................................................21
Đường Von Kock-Gosper ..........................................................................26
Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn................................................................28
Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn................................................................30
Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn..............................................................32
Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn..............................................................33
Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn..............................................................35
Generator phức tạp......................................................................................38
II.2 Họ đường Peano......................................................................................44
Đường Peano nguyên thuỷ..........................................................................44
Đường Peano cải tiến..................................................................................45
Tam giác Cesaro..........................................................................................49
Tam giác Cesaro cải tiến.............................................................................51
Một dạng khác của đường Cesaro...............................................................54
Tam giác Polya............................................................................................56
Đường Peano-Gosper .................................................................................58
Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn ..................................................................62
Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn ................................................................66
II.3 Đường Sierpinski.....................................................................................70
II.4 Cây Fractal...............................................................................................73
Các cây thực tế ...........................................................................................73
Biểu diễn toán học của cây .........................................................................73
II.5 Phong cảnh Fractal..................................................................................77

biệt là vật lý và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình được
xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20.
Các vấn đề đó bao gồm:
♦ Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy lực trong
tự nhiên.
♦ Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình
học Euclide cổ điển.
□ TÍNH HỖN ĐỘN CỦA CÁC QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CÓ QUY
LUẬT TRONG TỰ NHIÊN:
Các công thức lặp có dạng:
X
n+1
=f(X
n
)
thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mô tả các quá trình
lặp đi lặp lại có tính xác định. Các quá trình được xác định bởi công thức trên,
trong đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau X
n
và
X
n+1
, được quan tâm đặc biệt. Các khảo sát trong những thập niên gần đây đã
phát hiện ra các cư xử kỳ dị của các tiến trình lặp như vậy.
Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N. Lorenz tiến
hành vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ toán học mô phỏng dự báo thời tiết. Về
mặt lý thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đoán chính xác về thời tiết trong một
khoảng thời gian dài. Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính toán lại
dựa vào dữ liệu cho bởi hệ tại một thời điểm tiếp sau đó không giống với các kết
quả dự đoán ban đầu. Hơn nữa sai số tính toán sẽ tăng lên nhanh chóng theo thời

n
Do đó sau n năm, lượng dân số khảo sát sẽ là:
P
n
= (1+R)
n
.P
o
Công thức này chỉ ra sự gia tăng dân số theo hàm mũ là một điều không
thực tế. Vì vậy Verhulst đề nghị R thay đổi cùng với lượng dân số được khảo
sát. Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo môi
trường (P-P
n
) / N. Trong đó N là lượng dân số tối đa có thể có ứng với điều kiện
môi trường cho trước. Như vậy có thể biểu diễn R dưới dạng:

Với r là hệ số tỷ lệ gọi là tham số phát triển theo môi trường.
Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó:

Đặt: Đề tài : Hình học Fractal 

∀





N
P
n+1
- P
n

= r(1 - P
n
)
P
n
Suy ra:
P
n+1
= P
n
+ rP
n
(1 – P
n
)
Phương trình này được gọi là phương trình dân số Verhust. Rõ ràng
phương trình được xác định rất đơn giản. Do đó, kể từ khi được đưa ra người ta
áp dụng mà không nghi ngờ gì về tính ổn định của nó. Tuy nhiên khi May khảo
sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ông đã khám phá
ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo môi trường P
k
.
Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta
có các trường hợp sau:

o
= 0.1
Đề tài : Hình học Fractal 
Dân số

Thời gian
Hình vẽ I.3 với r = 3.0 và P
o
= 0.1
Một kết quả lý thuyết cũng đã được chứng minh bởi Jame York và Tiên
Yien Li trong bài viết ”Các chu kỳ 3 chứa đựng sự hỗn độn” vào tháng 12/1975.
York và Li đã chỉ ra rằng mọi hàm số được xác định tương tự như phương trình
dân số có một chu kỳ tuần hoàn 3 thì cũng có chu kỳ tuần hoàn n, với n là số tự
nhiên khác 0 và 1. Điều này dẫn đến sự kiện là vô số các tập giá trị tuần hoàn
khác nhau được sản sinh bởi loại phương trình này.
Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum đã nghiên cứu phương trình này
một cách độc lập với May và York. Feigenbaum xét phương trình dân số ở dạng
đơn giản:
y = x(1- x)
và thể hiện nó trên sơ đồ phân nhánh. Nếu gọi r
n
là giá trị tham số phát
triển theo môi trường của mô hình Verhulst tại lần rẻ nhánh thứ n (là lúc ứng với
r
n
đó, chu kỳ 2
n
trở nên không ổn định nữa và chu kỳ 2
n+1
đạt được sự ổn định),

vậy về số chiều là rất gò bó. Do đó người ta bắt đầu nghĩ đến một sự phân lớp
mới, trong đó các đường có số chiều bằng 1 được đại diện bởi đường thẳng, các
đối tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, còn các đường cong lấp đầy
mặt phẳng đại diện cho các đối tượng có số chiều giữa 1 và 2. Ý tưởng cách
mạng này đã dẫn đến việc hình thành và giải quyết bài toán số chiều hữu tỷ gây
ra nhiều tranh luận toán học trong các thập kỷ gần đây.
Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà toán học Thụy Điển Helge Koch đã đưa
ra một loại đường cong khác với những đường cong của Peano và Hilbert. Các
đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng nhưng lại có độ dài thay đổi
một cách vô hạn mặc dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn. Những
đường cong như vậy có rất nhiều trong tự nhiên, ví dụ như các đường bờ biển,
đường biên của một bông hoa tuyết, các đám mây, vv… Tất vả các đường cong
này đều một tính chất đặc trưng là đồng dạng. Nó được biểu hiện bởi sự giống
nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phóng lớn với một phần khác
lớn hơn của cùng một đường cong đó. Tính chất này giữ một vị trí quan trọng
trong việc hình thành nên các dạng cấu trúc vô cùng phức tạp của tự nhiên,
nhưng vào thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược.
Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng
mới được nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình
trong tự nhiên” của Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong tác phẩm
của mình, Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên thành
các thành phần cơ bản gọi là fractal. Các fractal này chứa đựng các hình dáng tự
đồng dạng với nhiều kích thước khác nhau. Mandelbrot đã tạo nên những bức
tranh fractal trừu tượng đầu tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối tượng tự
nhiên như các đám mây, các dãy núi, các khu rừng, vv… là các cấu trúc toán
học tương tự nhau. Chúng có khuynh hướng hài hoà về màu sắc và cân đối về
hình thể. Ngoài ra Mandelbrot cũng thiết lập cách xác định số chiều và độ dài
của các dạng fractal cơ sở. Chính với định nghĩa về số chiều này, bài toán số
chiều không nguyên mới được giải quyết một cách hoàn chỉnh. Có thể nói công
trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình học phân

nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các
độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các
khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng
liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.
I.3 CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:
Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình, bao
gồm:
▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
▪ Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.
▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.
□ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH:
Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm
gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi,
anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự
mô tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự
tốn kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm
nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các
đối tượng tự nhiên. Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay một
công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ.
Đề tài : Hình học Fractal 
Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có
mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính. Các hệ này cho phép
người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các hiệu
ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hoàn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương
mại Fractal Design Painter của công ty Fractal Design. Hệ này cho phép xem các
hình ảnh dưới dạng hình hoạ véctơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các
đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp
cho các ứng mang tính tốc độ, các ảnh véctơ mất nhiều thời gian hơn để trình
bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít
vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ

tồn tại một điểm bất động x
r
sao cho:
Đề tài : Hình học Fractal 
X
r
= f(x
r
)
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
f.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một
“điểm” bất động x
r.
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất
động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó
trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm
được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này,
người ta đề nghị xem ảnh cần nén là “điểm bất động” của một họ ánh xạ co. Khi
đó đối với mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm
giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.
Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hoá nhờ quá
trình fractal một ảnh số hoá do công ty Iterated System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ
10000: 1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân
hình là bộ bách khoa toàn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” được
đưa ra vào tháng 12/1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100
hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người,
phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hoá dưới dạng các dữ liệu fractal và
chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.
Ngoài phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phương

xỉ liên tiếp của Newton trong giải tích số,… Các kết quả thu được giữ vai trò rất
quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng.
I.4 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN
HÌNH:
I.4.1 ĐỘ ĐO FRACTAL:
□ Số chiều Hausdorff của một tập hợp A⊂ R
n
:
Cho trước các số thực dương s và ε. Gọi h
s
(A) là độ đo Hausdorff s-chiều
của tập A thì h
s
(A) được xác định bởi:
H
s
(A) = lim h
s
ε
(A)
ε→0
với:
trong đó:
diam (U
i
) = sup [ d(x,y) : x,y ∈ U
i
], với d là metric Euclide trong không
gian R
n

này rất phức tạp ngay cả với trường hợp tập A rất đơn giản. Do đó, xuất phát từ
định nghĩa này, Mandelbrot đã đưa ra khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ
xác định hơn với ba dạng đặc biệt áp dụng cho từng loại đối tượng (tập A) cụ
thể. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa về các dạng đặc biệt đó, đồng
thời chỉ ra mối liên hệ giữa chúng với định nghĩa số chiều của Hausdorff.
Đề tài : Hình học Fractal 
∞


ε
Σ !"





□ SỐ CHIỀU TỰ ĐỒNG DẠNG: (SỐ CHIỀU HAUSDORFF-
BESCOVITCH ):
Định nghĩa:
Cho trước một cấu trúc tự đồng dạng được chia thành N phần, hệ số thu
nhỏ của mỗi phần so với cấu trúc ban đầu là r. Ký hiệu D
S
là đại lượng xác định
bởi:
Khi đó D
S
được gọi là số chiều tự đồng dạng của cấu trúc đó.

2
3 log
3
1
1
log
9 log
s
==
=

D 3
3 log
3
3 log
3
1
1
log
27 log
s
==
=
đo độ dài. Ở đây giá trị s càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo
càng lớn.
- Trục tung: thể hiện logarit của độ dài u đo được ứng với một đơn vị
đo s.
- d: là hệ số góc của đường thẳng hồi qui dùng để xấp xỉ các giá trị
đo u đo được dựa trên phương pháp bình phương cực tiểu. Ta có
quan hệ:

2
k
= k / 2. Do đó ta xác định được d = 0.5.
Vậy: D
C
= 1 + 0.5 = 1.5
□ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING:
Số chiều xác định theo định nghĩa này được áp dụng cho các đường cong
fractal không thể xác định số chiều theo 2 cách vừa trình bày. Cách tính số chiều
Đề tài : Hình học Fractal 
generator
initiator generator
này có thể áp dụng cho mọi cấu trúc trong mặt phẳng và mở rộng cho cấu trúc
trong khơng gian.
Định nghĩa:
Xét một cấu trúc fractal bất kỳ. Lần lượt đặt cấu trúc này lên một dãy các
lưới có kích thước ơ lưới s giảm liên tiếp theo tỉ lệ ½. Gọi N(s) là các ơ lưới có
kích thước s có chứa một phần cấu trúc. Ta xây dựng hệ toạ độ log/log như sau:
- Trục hồnh biểu thị giá trị của đại lượng log
2
(1/s).
- Trục tung biểu thị giá trị của đại lượng log
2
N((s)).
- D
B
là hệ số góc của đường thẳng hồi qui đối với tập hữu hạn các

log
2
2
k + 1
– log
2
2
k
N(2
– k
)
sau như
n
R của A chặn bò
con tậpmột trên
B
D counting- boxchiều số của thức hìnhnghóa đònh
một có Ta .
s
hạngsố các bởi
s
)
i
diam(U hạngsố các thay cách bằng
này tác thao hóagiản đơn counting- boxchiều Số .
s
)
i
diam(U
1 i

s
. (A)N : s { sup } 0
s
. (A)N : s { inf (A)
b
D
: đó Do
(A)
b
D s khi
(A)
b
D s khi0
s
. (A)N
: rằng rachỉ trên nghóa Đònh
1
log
(A)N log
0
lim(A)
b
D
∀≤
∞
=
=
∞====
<∞
>

D
H
(A) ≠ n.
I.4.2 CÁC HỆ HÀM LẶP IFS:
□ Không gian ảnh Hausdorff:
Giả sử (X, d) là một không gian mtric đầy đủ. Ở đây X được giới hạn
bằng R
2
và d là metric Euclide. Ký hiệu H(X) là không gian các tập con compact
khác rỗng của X. Ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1:
Khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến một tập B ∈ H(X) được xác định
bởi:
Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ một tập A ∈ H(X) đến một tập B ∈ H(B) được xác định
bởi:
Định nghĩa 3:
Khoảng cách Hausdorff giữa hai điểm A và B ∈ H(H) được xác định bởi:
Với các định nghĩa trên ta có định lý:
Định lý về sự tồn tại của các IFS Fractal:
Đề tài : Hình học Fractal 
{ }
B y : y)d(x, min B)d(x,
∈=
{ }
A x : B)d(x, max B)d(x,
∈=
{ }
Ad(B,B),d(A, max B)h(A,
=

n
= w(x
n
) ] là một dãy vô hạn điểm của w(S). Khi
đó [x
n
] cũng là một dãy vô hạn điểm trong S. Vì S compact nên
tồn tại một dãy con [x
n
] hội tụ về một điểm x’∈ S, nhưng do tính
liên tục của w suy ra được [ y
Nn
= f (x
Nn
) ] là một dãy con của [ y
n
] hội tụ về y’ ∈ w(S). Vậy w(S) compact.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3 sau đây chỉ ra cách tạo một ánh xạ co trên không gian metric
(H(X), h) dựa trên một ánh xạ co trên (X,d).
Bổ đề 3:
Giả sử w: X → X là một ánh xạ có không gian metric (X,d) với hệ số co
s. Khi đó ánh xạ w: H(X) → H(X) được xác định bởi:
W(B) = [w(x): x ∈ B], với B thuộc H(X) cũng là một ánh xạ co trên
(H(X), h(d)) với hệ số co s.
Chứng minh:
Từ bổ đề 1 suy ra w: X → X liên tục. Do đó theo bổ đề 2, ánh xạ H(X)
lên chính nó. Bây giờ xét B, C thuộc H(X).
Ta có:
Đề tài : Hình học Fractal 

Với N = 2: Xét B, C ∈ H(X).
Ta có:

Vậy W là ánh xạ co với N = 2.
Giả sử khẳng định đúng với N = k. Ta chứng minh khẳng định đúng với
N = k + 1. Thật vậy, ta có:

Đề tài : Hình học Fractal 
C)s.h(B,
C)}.h(B,
2
s , C).h(B,
1
s { max
(C))}
2
w , (B)
2
h(w, (C))
1
w , (B)
1
h(w{ max
(C))
2
w (C)
1
w , (B)
2
w (B)

TĐặt
(B)
1k
w(B)
n
w
k
1n
(B)
n
w
1k
1n
W(B)
+≤≤
=
+
=
=
+
∪=
≤≤
=
=
∪=
+
∪
=
∪=
+

Định nghĩa 2:
Điểm bất động A ∈ H(X) mơ tả trong định lý IFS được gọi là hấp tử của
IFS đó.
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN
HÌNH.
II.1 HỌ ĐƯỜNG VONKOCK:
Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau thảo luận các fractal được phát
sinh bằng cách sử dụng đệ qui initiator / generator với kết quả là các hình tự
Đề tài : Hình học Fractal 
. H(X) B bất kỳvới (B)
n
W
n
lim A bởitrước cho được và
(A)
n
w
N
1n
W(A)A
: với H(X) A động điểm bấtmột nhất duy có này xạ Ánh
H(X) CB, , C)B, s.h( W(C)), h(W(B)
: là tức , s co số hệvới h(d)), (H(X)
đủ đầy metric gian khôngtrên co xạ ánhmột là H(X) B đó trong
(B)
n
w
N
1n
W(B)

□ ĐƯỜNG HOA TUYẾT VON KOCK-NOWFLAKE:
Đường hoa tuyết được xây dựng bởi nhà toán học Helge Von Kock vào
năm 1904. Ở đây chúng ta bắt đầu với initiator là một đoạn thẳng. Còn generator
được phát sinh như sau:
Generator của đường von kock
Chúng ta chia đoạn thẳng thành ba phần bằng nhau. Sau đó thay thế một
phần ba đoạn giữa bằng tam giác đều và bỏ đi cạnh đáy của nó. Sau đó chúng ta
lặp lại quá trình này cho mỗi đoạn thẳng mới. Nghĩa là chia đoạn thẳng mới
thành ba phần bằng nhau và lặp lai các bước như trên.
Ta thấy quá trình xây dựng là tự đồng dạng, nghĩa là mỗi phần trong 4
phần ở bước thứ k là phiên bản nhỏ hơn 3 lần của toàn bộ đường cong ở bước
thứ (k–1).
Như vậy mỗi đoạn thẳng của generator có chiều dài R = 1/3 (giả sử chiều
dài đoạn thẳng ban đầu là 1) và số đoạn thẳng của generator N = 4. Do vậy số
chiều fractal của đường hoa tuyết là:Đề tài : Hình học Fractal 






=
R
N
D
1
log

if((X2-X1)= = 0)
if(Y2 > Y1)
Theta= 90;
else
Theta = 270;
else
Theta= atan((Y2 -Y1) / (X2 -X1)) * Temp;
if (X1 > X2)
Theta += 180;
return Theta;
♦ Hàm Turn (Angle, Turtle-Theta):
Hàm này cộng thêm vào Turtle-Theta một góc Angle (tức là quay con
rùa đi một góc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu Angle > 0, còn nếu
Angle < 0 thì quay cùng chiều kim đồng hồ). Đoạn mã sau đây minh hoạ cách
cài đặt:
void Turn(double Angle, double &Turtle_Theta)
Turtle_Theta+=Angle;
♦ Hàm Step (Turtle-X, Turtle-Y, Turtle-R, Turtle-Theta):
Hàm này di chuyển con rùa đi một bước. Chiều dài của mỗi bước là
Turtle-R. Ở đây hàm sử dụng vị trí con rùa hiện tại có toạ độ (Turtle-X, Turtle-
Y) và góc định hướng là Turle-Theta để xác định vị trí toạ độ mới sau khi di
chuyển một bước. Đoạn mã sau đây minh hoạ cho cách cài đặt:
void Step(double &Turtle_X, double &Turtle_Y,
double Turtle_R, double Turtle_Theta)
Đề tài : Hình học Fractal 
{
}
{
}
Double Temp=PI/180;

YPoints[ I ]=Turtle_Y;
Turn(Angles[ I ],Turtle_Theta);
if (Level)
for (I=0; I<NumLines; I++)
X1=XPoints[ I ];
Y1=YPoints[ I ];
X2=XPoints[ I +1];
Y2=YPoints[ I +1];
Generator(pDC,X1,Y1,X2,Y2,Level,
Đề tài : Hình học Fractal 
{
}
{
{
}
{
NumLines,LineLen,Angles);
else
for (I= 0; I<NumLines; I++ )
pDC->MoveTo((int)XPoints[ I ], (int) YPoints [ I ]);
pDC->LineTo((int)XPoints[ I+1 ], (int) YPoints [ I+1 ]);
delete[]XPoints;
delete[]YPoints;
Hàm này cũng có thể áp dụng cho việc phát sinh ra các đường khác cùng
họ. Chẳng hạn sau đây là một minh hoạ cho hình vẽ trình bày ở mức 3 của
đường Von Kock-Snowflake.

Hình : Đường Von Kock-Snowflake mức 3.
Lưu đồ của đoạn mã ở trên như sau:
Đề tài : Hình học Fractal 

Nếu có hàm bắt đầu lặp, xác định các toạ độ các đầu mút của đoạn
thẳng mới trong các mảng toạ độ vừa mới tạo thành và sau đó gọi đệ quy hàm –
Generator để thay thế mỗi đoạn bằng một generator.
Nếu Level bằng 0, hàm sẽ vẽ các đoạn thẳng được lưu trong các mảng
toạ độ.
Đề tài : Hình học Fractal 