BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a ⊥ b ⇔ góc (a;b) = 90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a ⊥ (P )
⇒a⊥b
b ⊂ (P )

b

P
C4: Dùng hệ quả:

b
c

a

b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c

C5 : Dùng hệ quả:
a


Bài3.Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a, M ∈ AB, mp(α ) qua M
song song với SA, BC, AB = a.
a. Xác định thiết diện tạo bởi mp (α ) và S.ABC
b. Đặt Am = x. Tính diện tích thiết diện theo a và x
c. Định vị trí (α ) để diện tích này lớn nhất

GV:Nguyễn thị huyền- 1 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

Bài4.Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCD
a. CM: AO ⊥ CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Bài5. Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC

= a 2.
a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
b. Tính góc giữa 2 đt SA và BC
Bài6. Cho tứ diện ABCD trong đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lựơt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh AB ⊥ PQ
Bài7. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a. AB ⊥ CD
b. Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB, MN ⊥ CD
2a
Bài8.Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD =
3


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
a
b

b , c cắt nhau , b,c ⊂ (P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P )

c

P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì
đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
b

a

a // b, b ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ (P )

P

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm
trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau

GV:Nguyễn thị huyền- 3 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

B.Bài tập ứng dụng
Bài1. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là
trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với
mp(BCD)
Bài2. Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
a. CM BC ⊥ SB
b. Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH ⊥
(SBC), SC ⊥ ( AHK)
Bài3. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng
minh
a. SO vuông góc với (ABCD)
b. AC vuông góc SD, BD ⊥ SA
c. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. CM IJ ⊥ (SBD)
d. Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. CM: AD ⊥ (SOH)
Bài4. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
a. CM AH ⊥ (BCD)
b. CM AD ⊥ CD

c. CM SC ⊥ (AHK). Từ đó suy ra AH, AI, AK đồng phẳng
d. CM (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK. Suy ra KH ⊥ AI

GV:Nguyễn thị huyền- 4 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ
Bài11.

HH11

cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a 3 . Mặt bên

SBC vuông tại B, SCD là tam giác vuông tại D, SD= a 5
a. CM: SA ⊥ (ABCD)
b. Đường thẳng đi qua A và ⊥ AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là h/c
của A lên SC. Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ). Cm AK ⊥
(SBC), AL (SCD)

GV:Nguyễn thị huyền- 5 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng
A. Các định lý
b

a ⊂ α
⇒
α ⊥ b
a // α

5. 

B. Bài tập ứng dụng

Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi α là
mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, α cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và α
b. CM BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và α
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và α
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA =
AB. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Bài3.Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH ⊥
(ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS.
Chứng minh MN ⊥ (ABC)
Bài4.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC)
a. Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. CM BC ⊥ (SAB) và AH ⊥ (SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. CM SC ⊥ (AHK)

GV:Nguyễn thị huyền- 6 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11


a ⊂ (β )
 ⇒ (α ) ⊥ (β )
a ⊥ (α ) 

a
β
α

B. Bài tập ứng dụng:
Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại
S. Gọi O là tâm hình thoi
a. CM SO ⊥ (ABCD)
b. CM (SAC) ⊥ (SBD)
Bài2.Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA ⊥ đáy
a. CM: (SAB) ⊥ (SBC)
b. Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC) ⊥ (SBM)
Bài3.Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a. CM: (SAC) ⊥ (ABC)
b. Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK) ⊥
(SBC)
c. Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AI ⊥ AH
Bài4.Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . AC =AD =BC
=BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD
a. CM: IJ ⊥ AB , IJ ⊥ CD
b. Tính IJ và AB theo a và x
c. Xác định x sao cho (ABC) ⊥ (ABD)
Bài5.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng
đoạn SD =

a 6

b. CMR (SIJ) ⊥ (SBC)
Bài10. Cho tứ diện ABCD có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC
và SBC. CMR
a. AH, SK, BC đồng quy
b. SC ⊥ (BHK); (SAC) ⊥ (BHK)
c. KH ⊥ (SBC); (SBC) ⊥ (BHK)
Bài11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a. CMR đường thẳng AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD)
b. Tính đường chéo AC’ của hình lập phương
Bài12.
Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC ⊥
B’D’, AB’ ⊥ CD’ và AD’ ⊥ CB’. Khi nào mp(AA’C’C) ⊥ (BB’D’D)

V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC

A. Lý thuyết
1. Góc của hai đường thẳng
A
a'

a

α

O
b'
b

• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .


O

•

B

ϕ

Chú ý: * 0 ≤ ϕ ≤ 90o

A

* Nếu ϕ > 90o thi chọn góc (·α ; β ) = 180o − ϕ

α

β

3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng

>Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu
của nó trên mặt
A phẳng
a

ϕ

•
•



BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

Bài2. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) và SA =

a 6 . Tính các góc giữa:
a. SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)
b. (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)
Bài3. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác
đều cạnh a. Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa Sc, (SAB)
Bài4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD)
a. CMR: BC ⊥ (SAB)
b. Biết góc tạo bởi SC và (ABCD) là 450 . Tính SA
Bài5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a 2
a. CMR (SAC) ⊥ (SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Bài6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có
AB = 2a, AD=DC=a, SA ⊥ mp(ABCD) và SA = a
a. CMR BC ⊥ (SAC)
b. Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)
c. CMR mp(SAD) ⊥ mp(SDC), mp(SAC) ⊥ mp(SCB)
d. Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)
e. Goi ( α ) là mp chứa SD và vuông góc với mp(SAC). Xác định thiết diện
của hình chóp S.ABCD với ( α )
Bài7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA
a 3
= SB = SD =


VI.KHOAÛNG CAÙCH
A. Lý thuyết
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

GV:Nguyễn thị huyền- 11 -

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

M
M

∆
H

H

α
Dùng: MH ⊥ ( α ), H thuéc (α ) ta cã: d(M,(α )) = MH

Dùng MH ⊥ ∆ : d(M,∆ ) = MH

Khoảng cách giữa hai

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
M
(α ) // (β ), ∆ chøa trong (α )
M
∆
β

a'

H
α
Ta cã: d((α ),(β )) = d(∆ ,(α )) = MH
(M thuéc ∆ , MH ⊥ (α ), H thuéc α )

α

H

b

Cách1
A a

B

• Dùng mÆt ph¼ng (α ) chøa b & (α ) // a
• Dùng MH ⊥ (α ), M thuéc a, H thuéc (α )
• Dùng a' trong mÆt ph¼ng (α ), a' // a
® êng th¼ng a' c¾t ® êng th¼ng b t¹i B

đến AB
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD =

a 3
.
2

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
b. Tính khoảng cách từ S đến BC
c. Tính khoảng cách từ I đến BC
Bài3.
Bài4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA ⊥
(ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD)
c. O đến (SBC)
b. A đến (SBC)
Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B. AB = BC =

AD
= a, SA = a
2

a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Bài6.Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau.
Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC =
a.

Bài10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a;
AD= 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD; SD và AC
Bài11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = 600 . SO
⊥ (ABCD), SO = a
a. Tính k/c từ O đến (SBC)
b. Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB
Bài12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. tam giác SAD đều
và nawmg trong mp ⊥ (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a. CMR (SIJ) ⊥ (SBC)
b. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c. Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Bài13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh bằng a.
a. CM (BĐ’B’) ⊥ (ACD’)
b. Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’)
c. Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’

S

HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
67/ Hình choùp tam giaùc ñeàu
>Hình chóp tam giác đều:
A

h

α
H
B

C

>Hình chóp tứ giác đều:
∗ Đáy là hình vuông
∗ Các mặt bên là những tam giác cân
> Cách vẽ:
∗ Vẽ đáy ABCD
∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC &

S

BD

A

D
β

α

B

I

H
C

∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD)
• Ta có:
∗ SH là chiều cao của hình chóp
∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:


.

ϕ

A
α
B

β
C

D

∗ SA ⊥ (ABCD)
·
∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
=α
·
∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA = β
·
∗ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA
=ϕ
GV:Nguyễn thị huyền- 15 -


BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ

HH11

* Chú ý: