SỞ GD & ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
1. Đinh Hồng Chinh
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0936850333
2. Đỗ Thị Lan
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0919222356
3. Nguyễn Thị Lan Hương
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 01668607570

1


SỞ GD & ĐT NINH BÌNH..........................................................................................................................1
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................................................4
2. Giả thuyết khoa học.......................................................................................................................4
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................................4
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.....................................................................................................4
5. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................................................5
6. Ý nghĩa của đề tài...........................................................................................................................5
7. Cấu trúc của đề tài.........................................................................................................................5

những vấn đề trên chúng tôi nhận thấy cần đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ
thể để giải quyết các vấn đề của các bài toán đó.
Hình học phẳng là một trong những nội dung cơ bản và rất hay của Toán phổ
thông, cũng là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Tuy vậy,
tài liệu tham khảo đầy đủ về dạng bài tập này còn ít, chủ yếu nằm rải rác ở nhiều tài
liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải. Việc sử dụng phương pháp
nào cho một bài toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung của bài toán và kinh nghiệm của
người giải. Chúng tôi nhận thấy cần phải có hệ thống cơ sở lý thuyết, phương pháp,
cũng như bài tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp các em dễ dàng và chủ động
rèn luyện kĩ năng cho bản thân. Có như vậy mới có thể vừa tích cực hóa được việc học
của người học, vừa rèn luyện được tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời
bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh.
Từ những lý do trên, sáng kiến kinh nghiệm được chọn với đề tài : “Sử dụng các
kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác,
tứ giác trong hình phẳng”
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những
câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến
hành các hoạt động tư duy sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng
thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học phẳng,
tạo nguồn tài liệu đầy đủ và dễ hiểu nhất cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết các
bài toán.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tổng hợp và phân dạng các bài tập hình học phẳng.
- Chỉ ra từng phương pháp, hướng đi cho các dạng bài tập.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
4

1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r r

Vectơ u ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó
song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét:
r

r

– Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ
phương của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ
phương.
1.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r r

Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông
góc với ∆.
r

r

Nhận xét: – Nếu n là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một vectơ
pháp tuyến của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp
tuyến.
r

r

+ k = tanα,
+k=

u2
,
u1

· , α ≠ 900 .
với α = xAv

với u1 ≠ 0 .

1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r

Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u = (u1; u2 ) .
Phương trình chính tắc của ∆:

x − x0 y − y0
=
u1
u2

(2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).

Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
ax + by + c = 0 thì ∆ có vectơ pháp tuyến là

b=0

ax + c = 0

∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy

• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆:

x y
+ = 1.
a b

7


(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
• ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y − y0 = k ( x − x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
1.6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 .
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x + b1 y + c1 = 0
a x + b y + c = 0
 2
2
2

(1)
a


1
⇔ a = b ≠ c (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
2
2
2

• ∆1 ≡ ∆2

1
1
1
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a = b = c (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
2
2
2

(nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )

1.7. Góc giữa hai đường thẳng
r

Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 (có VTPT n1 = ( a1; b1 ) ) và
r
∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ).

( ∆1 , ∆ 2 )

(

)


Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 .
• Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì:
+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.

8


1.8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , ∆) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) > 0 .
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) < 0 .
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12

=±

a2 x + b2 y + c2



x−x

y− y

A
A
PT của ∆: x − x = y − y
B
A
B
A

+ ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆:

x y
+ = 1.
a b

+ ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT của ∆: y − y0 = k ( x − x0 )
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của
một đường thẳng.
• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như
sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′. Khi đó:
uuuuur


x = 1 + 2t
y = −2 − t
r

+) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là u = (2; −1) nên ∆ có vec tơ pháp tuyến là
r
n = (1; 2) . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là : 1( x − 1) + 2 ( y + 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 3 = 0
Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có một vectơ pháp
r
tuyến là n = (2; −3) .
Giải
r

+) Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;2) và có vtpt là n = (2; −3) nên phương trình tổng
quát của đường thẳng là :
2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0
r

+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là n = (2; −3) nên ∆ có vec tơ chỉ phương là
r
u = (3; 2) . Vậy phương trình tham số của ∆ là:

{

x = 1 + 3t
y = 2 + 2t

Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)
Giải

{

x = −1 + t
y = 2 + 3t
r

+) Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là u∆ = (1;3) nên ∆ có vec tơ pháp tuyến là
r
n = (−3;1) . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là
:

− 3 ( x + 1) + 1( y − 2 ) = 0
⇔ −3 x + y − 5 = 0

Ví dụ 1.5 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua A(3; 2) và song song với
đường thẳng d : 2 x − y − 1 = 0.
Giải
r

+) Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là nd = (2; −1) .
r

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên ∆ nhận nd = (2; −1) làm vec tơ pháp
r
tuyến. Vì ∆ đi qua A(3; 2) và có vec tơ pháp tuyến là n∆ = (2; −1) nên ∆ có phương
trình là:
2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0
r

+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là n = (2; −1) nên ∆ có vec tơ chỉ phương là

+) Vì đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là n = (2; −1) nên ∆ có vec tơ chỉ phương là
r
u = (1; 2) .
Vậy phương trình tham số của ∆ là:

{

x = 4+t
y = −3 + 2t

Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2).
a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB
b) Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam
giác ABC.
Giải
uuur

a) AB = (2; − 5)
uuur

Vì đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là AB = (2; − 5) nên ∆ có vectơ pháp tuyến là
r
n = (5; 2) . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là
:

5 ( x − 1) + 2 ( y − 4 ) = 0
⇔ 5 x + 2 y − 13 = 0
uuur

b) + Ta có: AH ⊥ BC nên AH nhận vec tơ BC = (3; 3) là vectơ pháp tuyến của AH.

uuuur  7


7

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp AM =  ; − ÷ nên AM có phương trình:
2 2


7

x = 1+ 2 t

7
y = 4− t

2

13


Ví dụ 1.8 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d:
2 x + y − 3 = 0 và điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d đó.
Giải
∆
∆
+)
r Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d. Nên có vec tơ pháp tuyến là
n ( −1; 2 ) . Vậy PT đường thẳng ∆ có dạng : − x + 2 y = 0


Giải
+) Tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ

{

2

x=−

2x − y + 1 = 0
5 ⇒ I − 2;1
⇔

÷
3x − 4 y + 2 = 0
1
 5 5
y =
5


+) Chọn A ( 0;1) ∈ d
∆ ' là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ∆ . Nên ∆ ' có vec tơ pháp tuyến là
Gọi
r
n ( 4;3) .

Vậy PT đường thẳng ∆ ' có dạng : 4 x + 3 y − 3 = 0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng ∆ . Suy ra H = ∆ ∩ ∆ '
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ

+ ) Đường thẳng d’ đối xứng rvới đường thẳng d qua đường thẳng ∆ đi qua I và A’
nên có vec tơ pháp tuyến là: n ( 2; −11) .
Suy ra d’ có phương trình là:
2
1


2  x + ÷− 11 y − ÷ = 0
5
5


⇔ 2 x − 11y + 3 = 0

Vậy đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ là
2 x − 11 y + 3 = 0

Ví dụ 1.10 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d:
2 x − y + 1 = 0 qua điểm I(2;1) .
Giải
+) Chọn A(0;1) thuộc d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I. Suy ra I là trung điểm của AA’.
Suy ra A’(4;1)
+) Vì d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(2;1) nên d’ đi qua A’ và d ' P d
r
Suy ra d’ có vec tơ pháp tuyến là n ( 2; −1) .
Vậy d’ có phương trình là: . 2 x − y − 7 = 0
Ví dụ 1.11 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
có tọa độ là M (2;1), N (5;3), P(3; −4) .
Giải:


d) M(1; 2), u = (5;0)
r
u = (2;5)

r

b) M(–1; 2), u = (−2;3)
r

e) M(7; –3), u = (0;3)

r

c) M(3; –1), u = (−2; −5)
f) M ≡ O(0; 0),

Bài 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
r
VTPT n :
r

a) M(–2; 3) , n = (5; −1)
r

d) M(1; 2), n = (5;0)
r
n = (2;5)

r

c) A(3; 5), B(3;
16


8)
d) A(–2; 3), B(1; 3)

e) A(4; 0), B(3; 0)

f) A(0; 3), B(0; –2)

g) A(3; 0), B(0; 5)

h) A(0; 4), B(–3; 0)

i) A(–2; 0), B(0; –6)

Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
song song với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x − 10 y + 1 = 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox

{

x = 1 − 2t

d) M(2; –3), d: y = 3 + 4t

e) M(0; 3), d:

c) M(4; 3), d ≡ Oy


c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)

d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 8. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M
qua đường thẳng d với:
a) M(– 5; 13), d : 2 x − 3 y − 3 = 0

b) M(3; – 1), d : 2 x + 5 y − 30 = 0

c) M(4; 1), d : x − 2 y + 4 = 0
Bài 9. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường
thẳng ∆, với:
a) d : 2 x − 3 y + 1 = 0, ∆ : 2 x − 3 y − 1 = 0 b) d : x − 2 y + 4 = 0, ∆ : 2 x + y − 2 = 0
c) d : x + y − 1 = 0, ∆ : x − 3 y + 3 = 0
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm
I, với:
a) d : 2 x − 3 y + 1 = 0, I ≡ O(0;0)

b) d : x − 2 y + 4 = 0, I ( −3;0)

c) d : x + y − 1 = 0, I (0;3)
17


2.1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 .
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x + b1 y + c1 = 0

2

• ∆1 // ∆2

⇔ hệ (1) vô nghiệm

1
1
1
⇔ a = b ≠ c (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
2
2
2

• ∆1 ≡ ∆2

1
1
1
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a = b = c (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
2
2
2

(nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Ví dụ 2.1. Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong

x+ y−2=0
2x + y − 3 = 0

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).
Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1 ; 1).
18


b) ∆1 : 2 x + 4 y − 10 = 0

∆2 :

{

x = 1 − 4t
y = 2 + 2t

Từ phương trình đường thẳng ∆ 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ∆1 ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 ⇔ 10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường thẳng này
không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 song song với nhau.
c) ∆1 : 8 x + 10 y − 12 = 0

∆2 :

{

x = −6 + 5t
y = 6 − 4t


Vậy với m ≠ -10 thì hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau
b) Để hai đường thẳng d và ∆ song song thì
m −5 1
=
≠
⇔ m = −10
2
1 −3

Vậy với m = -10 thì hai đường thẳng d và ∆ song song
c) Để hai đường thẳng d và ∆ trùng nhau thì
19


m −5 1
=
=
( Vô lí)
2
1 −3

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng d và ∆ trùng nhau
Ví dụ 2.3 Cho hai đường thẳng ( d ) x + 3 y − 7 = 0 và ( ∆ ) 4 x − 5 y + 6 = 0 .Viết phương trình
đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và đồng qui với hai đường thẳng trên.
Giải
Tọa độ giao điểm của d và ∆ là nghiệm của hệ

{

{

{

x = 5+t
,
y = −1

x+ y −5 = 0

c) y = −3 + 2t ,

b) 4 x − y + 2 = 0, − 8 x + 2 y + 1 = 0

{

x = 4 + 2t
y = −7 + 3t

x = 1− t

d) y = −2 + 2t ,

{

x = 2 + 3t
y = −4 − 6t

f) x = 2, x + 2 y − 4 = 0

Bài 2. Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để hai đường thẳng:
a) cắt nhau

a) (m − 2) x − y + 3 = 0

b) mx − y + (2m + 1) = 0

c) mx − y − 2m − 1 = 0

d) (m + 2) x − y + 1 = 0

Bài 6.Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0).
a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương
trình các đường trung trực của tam giác.
b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các
đường trung trực đồng qui.
2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , ∆) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

+ Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) ∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) > 0 .
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) < 0 .
+ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau.
21



– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2).
+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong.
+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài.
Ví dụ 3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3 ; 5) và ∆ : 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1 ; 2) và ∆ ' : 3x – 4y + 1 = 0
Giải:
a) Ta có:

d ( A, ∆) =

b)

d ( A, ∆ ') =

4.(3) + 3.(5) + 1
16 + 9
3.(1) − 4.(2) + 1
9 + 16

=

28
5

=

4
5



2.(4) + 2.( −2) − 6
4+4

{

=

2
2
1
=
=
8 2 2
2

x = 1− t

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: y = 3t

r

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là ud = (−1;3) vì vậy vtpt của d
r
là nd = (3;1)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0  -x + 3y +1 = 0
Ta có:
d ( A, d ) =

−1.(−7) + 3.(3) + 1


Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Vậy có
AH = d ( A, BC ) =

4.3 + 3.5 + 1
16 + 9

=

28
5

uuur
b) BC = BC = 5 .

Vậy diện tích tam giác ABC là S =

1
1 28
AH .BC = . .5 = 14 (đvdt)
2
2 5

Ví dụ 3.5 Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng
d1 : 2 x + 4 y + 7 = 0

d2 : x − 2 y − 3 = 0

Giải


3 +4
⇔ c − 6 = 10
c = 16
⇔ 
 c = −4

2

=2

+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3 x − 4 y + 16 = 0
+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3 x − 4 y − 4 = 0
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là : 3 x − 4 y + 16 = 0 và 3 x − 4 y − 4 = 0
Ví dụ 3.7 Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho
khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3 :
Giải : Gọi d có phương trình : Ax +By + C = 0 (A2 +B2 > 0)
d qua P(2;5) nên : 2A +5B + C = 0
theo đề bài : d(Q;d) = 3 nên :

5A + B + C
2

A +B

2

= 3 ⇔ (5A+B+C)2 =9(A2+B2)

mà C = -2A -5B nên ( 3A -4B)2= 9(A2+B2) ⇔ -24AB +7B2 = 0 ⇔ B(-24A +7B)=0