Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

Chuyên đề

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

Huỳnh Chí Hào

I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể
hiện trong các tính chất sau.
Xét các hệ thức

(
)
(
)
f x g x
=
(1) ;
(
)
(
)
f x g x
>
(2) ;
(
)
(

= ∩
là tập xác định của hệ thức, ta có:
1. Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của
f
G
và
g
G

2. Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Nhận xét 1
1. Phương trình (1) có nghiệm
⇔

f
G
và
g
G
có
k
điểm chung khác nhau.
Nhận xét 2
1. Bất phương trình (2) có nghiệm
⇔
có điểm thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

2. Bất phương trình (2) vô nghiệm
⇔
không có điểm nào thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi
x D
∈

∈

⇔
toàn bộ
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Chú ý 1
Đối với hệ thức dạng

(
)
0
f x
=
(1) ;
(
)
0
f x
>
(2) ;
(
)
0
f x
<

thì
g
G
có phương trình
y m
=
nên
g
G
là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ
(
)
0;
m

• Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ
g
G
trên
D
bằng việc lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=

trên
D
. Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”.


trên
»
.
Phương trình
(
)
1
có nghiệm
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị hàm số

(
)
y f x
=
vẽ trên
»
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:

4 4 1 1 4 4 1 1 0
x x x x x x x x x
+ + − + = − + + + ⇔ =

Thử lại, ta thấy
0
x
=
không thỏa (2). Vậy
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
Do
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
⇒

(
)
'
f x
không đổi dấu trên
»

x x
x
f x
x x x x
→+∞ →+∞
= =
+ + + − +
và
(
)
lim 1
x
f x
→−∞
= −

Bảng biến thiên

x

-
∞
+
∞

(
)
'
f x


(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

Khi đó:
( )
2
2
1
2 2
x
m
x x
+
⇔ =
− +
(2)
•
Xét hàm số
( )
2
2
2 2
x
y f x
x x

4 3
'
2 2 2 2
x
f x
x x x x
−
=
− + − +( )
4
' 0
3
f x x
= ⇔ =

Gi
ớ
i h
ạ
n:
2
2
lim ( ) lim 1
2 2
x x
x
f x

(
)
'
f x

+
0
̶̶

(
)
f x10
1
−

1•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:


x mx x
+ + = +
(1)

Lời giải.
• Do
0
x
=
không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

( )
2
2
2 2
3 4 1
1
3 4 1
(2)
1
2
1
1
2 4 4 1
2
2
x x
x x mx
m
x

= =
trên
1
;
2
D
 
= − +∞


 
.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt
1
;
2
x
 
∈ − +∞


 

⇔
đường thẳng
y m
=



 Giới hạn:
2
3 4 1
lim ( ) lim
x x
x x
f x
x
→+∞ →+∞
+ −
= = +∞

Bảng biến thiên

x

1
2
−

0

+∞

(

Ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
9
2
m
≥
.


MINH HỌA ĐỒ THỊ
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =
(1)

y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
]
0;6
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1
'
2 6
2 2 2 6


Đặ
t
( )
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1
,
2 6
2 6
u x v x
x x
x x
= − = −
−
−
. Ta th
ấ
y
(
)
(
)
2 2 0
u v
= =
nên
(

f(x)

6 3 2
+
4
2 6 2 6
+

4
12 2 3
+• Dựa vào BBT ta suy ra:
Phương trình
(
)
1
có nghiệm trên
[
]
0;6
⇔
4
2 6 2 6 3 2 6
m
+ ≤ < +

với
[
]
1;1
x ∈ −
. Tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;1
x ∈ −
là :
[
]
' 0;1
D =

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2 3
1
t t m
− + =

⇔

3 2
1
t t m
− + =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm

]
0;1
t ∈
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
0;1
.
•
Lập BBT của hàm số trên
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)


1

(
)
'
f t

̶̶

0
+
(
)
f t

1
−

123
27•

)
6 2 4 2 2 4 4 2 2
x x x m x x
+ + − − = + − + −
(1)
Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
1;4
D =

• Đặt ẩn phụ
4 2 2
t x x
= − + −
với
[
]
1;4
x ∈
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;4
x ∈

Ta có:
1 1 2 2 2 4
'

t3
3

6Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 3;3
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2
4 4
t t m
− + =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
[

3;3
t
 
∈
 
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
3;3
 
 
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:

7 4 3
−

1
0•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
1;4
x ∈
⇔
0 1
m
≤ ≤

⇔
(2) có nghiệm
'
t D
∈

• Để tìm miền giá trị của
t
ta nên lập BBT của hàm số
(
)
t u x
=
trên
D
(có thể sử dụng bất đẳng
thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số)
• Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa
x
và
t
. Tức là mỗi
giá trị
'
t D
∈
thì phương trình
(
)
u x t

[
]
2;3
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
2;3
x ∈ −

Ta có:
1 2 3 2
'
2 2 2 3 2 2. 3
x x
t
x x x x
− − +
= − =
+ − + −(
)
' 0 3 2 2 3 4 2 1
t x x x x x
= ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = −

Bảng biến thiên


• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2
14
t t mt
− =

⇔

14
t m
t
− =
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
2;3
x ∈ −
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
5;5
t

ệ
m
5;5
t
 
∈
 
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố

14
' 1 0
f t
t
= + >
,
5;5
t
 
∀ ∈
 

Bảng biến thiên

t

5

5

(
)
'
f t

+
(
)
f t


.




Thí dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
+ − − + = − + + − −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
1;1
D = −

• Đặt
2 2
1 1
t x x
= + − −

[
]


-1 0 1

'
t

̶̶ 0 +

t2

2 0

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 0; 2
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
(
)

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
• Xét hàm số
( )
2
2
2
t t
y f t
t
− + +
= =
+
với
0; 2
t
 
∈
 
.
Phương trình
(
)
2
có nghiệm
0; 2
t
 
∈
 
⇔

t t
f t t
t
− −
 
= ≤ ∀ ∈
 
+

Bảng biến thiên

t

0

2

(
)
'
f t

̶̶
(
)
f t

1

Thí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( )
( )
4
1
1 1 1
1
x x m x x x
x
 
+ − + + − =
 
−
 
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
(
)
0;D
= +∞

• Khi đó:
( )
( )
( )
4

⇔ − + + − = −
−4
1
1
1
x x
m
x
x
−
⇔ + = −
−
(2)
• Đặt
4
1
x
t
x
−
=
, do
1
x
>
nên
1

thành:
2 2
1 1
1 1
t m m t
t t
+ = − ⇔ = − − +
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
(
)
1;x
∈ +∞
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
(
)
0;1
t ∈

•


t ∈
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ


Bảng biến thiên
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

t

0

1

(
)
'
f t

+
(
)
f t1
−−∞•


− + + = −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
)
1;D
= +∞

• Khi đó:
( )
( )
2
4
2
1 1
1 3 2
1
1
x x
m
x
x
− −
⇔ + =
+
+

4

x
−
≤ < ⇒ ≤ <
+
. T
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a t là:
[
)
' 0;1
D =

•

V
ớ
i
ẩ
n ph
ụ
trên thì ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2

)
2
3 2
y f t t t
= = − +
v
ớ
i
[
)
0;1
t ∈
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi
ệ
m
[
)
0;1
t ∈
⇔

đườ
ng th

∈
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
' 6 2
f t t
= − +
,
( )
1
' 0
3
f t t

0
1
−•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
)
1;
x
∈ +∞
⇔
1
1
3
m
− < ≤
.


ng trình :
3
1;3
D
 
=
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
• Đặ
t
2
3
log 1
t x
= +
v
ớ
i
3
1;3
x
 
∈
 
. Tìm t
ậ
p giá tr
ị
c

x
≤ + ≤
⇔
2
3
1 log 1 2
x
≤ + ≤
⇔
1 2
t
≤ ≤
⇔

[
]
1; 2
t ∈

Tập giá trị của ẩn phụ t khi
3
1;3
x
 
∈
 
là
[
]
' 1; 2

[
]
1;2
t ∈
.
Phương trình (2) có nghiệm
[
]
1;2
t ∈
⇔
đường thẳng
2
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị hàm
số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
1;2
.
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
0

• Dựa vào BBT ta suy ra:
Phương trình (1) có nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 
⇔

0 2
m
≤ ≤
.


Thí dụ 12. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

4 5
x x m
− + + ≥
(1)


đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
]
5;4
−
.
•
Lập BBT của hàm số trên trên
D
. Ta có:
( )
( )( )
1 1 4 5
'
2 4 2 5
2 4 5
x x
f x
x x
x x
− − − +
= + =
− +
− +


3 3

• Dựa vào BBT ta suy ra:
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Bất phương trình (1) có nghiệm
[
]
5;4
x ∈ −

⇔
3 2
m ≤
.



Thí dụ 13. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

3 1
mx x m
− − ≤ +
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
)
3;D
= +∞

[
)
3;x
∈ +∞
⇔
có điểm thuộc đường thẳng
y m
=
nằm phía dưới
đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
)
3;
+∞
.
•
Lập BBT của hàm số trên
D
. Ta có:
( )
( )
2
5 3
'
2 3 1

x

3

4

+∞

(
)
'
f x

+ 0 ̶̶

(
)
f x2
3
1
2

0


Thí dụ 14. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
[
]
2;4
x ∈ −(
)
(
)
2
4 4 2 2 18
x x x x m
− − + ≤ − + −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
2;4
D = −

• Đặt
2
2 8
t x x
= − + +
với

Bảng biến thiên
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

x

-2 1 4

'
t

+ 0 ̶̶

t3
0

0 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
[
]
' 0;3

]
0;3
t ∈
.
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi
[
]
0;3
t ∈
⇔
đường thẳng
y m
=
nằm hoàn toàn ở phía
trên phần đồ thị hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
0;3
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=

+
(
)
f t

10 7 6 •

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

B
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ

(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

• Đặt
2
x
t
=
với
x
∈
»
. Tập giá trị của ẩn phụ t khi
x
∈
»
là
(
)
' 0;D
= +∞

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:

( )

B
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i
m
ọ
i
(
)
0;t
∈ +∞

•

Xét hàm s
ố

( )
2
4 1
4 1
t
y f t


đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
n
ằ
m hoàn toàn
ở

phía trên ph
ầ
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
(
)
0;

t t
− −
= < ∀ ∈ +∞
+ +
,
Gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
lim 0
t
f t
→+∞
=

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Bảng biến thiên

t

0

+∞

(
)
'

3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m

− + + =


+ − = −


(1)
Lời giải.
• Ta có :
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
1
2 1 2
x x x y m
x x x y m


ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
(
)
(
)
2
2 1 0 2
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u

=
+ − + =


⇔
 
+ = −
= − −





2
2
2 2 1
2 1
u u
m u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+

•

Xét hàm s
ố

( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
v
ớ
i
1
;

ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ

th
ị
hàm s
ố
(
)
f u
v
ẽ
trên
1
;
4
 
− +∞

( )
1 3
' 0
2
f u u
− +
= ⇔ =

Bảng biến thiên

u

1
4
−

1 3
2
− +
+
∞

(
)
'
f u
+

H
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
⇔
2 3
2
m
−
≤


BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập rèn luyện 1
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
1)
2

Đ
S:
3
2
m
≥ −

4)
(
)
12 5 4
x x x m x x
+ + = − + −

Đ
S:
(
)
2 3 5 2 12
m
− ≤ ≤Bài tập rèn luyện 2
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ

( )
( )
4
1
1 16 1 1
1
x x m x x x
x
 
+ − + + − =
 
−
 
ĐS:
12
m
≥

4)
2
9 9
x x x x m
+ − = − + +
ĐS:
37
3
4
m
− ≤ ≤


m
>Bài tập rèn luyện 3
1) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

(
)
2 1 4
x m x m
− − − ≤ −Đ
S:
2
m
≥

2) Tìm m
để

6
m
≥

3) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

2
1 2
m x x m
+ ≤ + −Đ
S:
5
4
m
≤

4) Tìm m
để
b

để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
»(
)
9 2 1 3 2 3 0
x x
m m
− + − − >

Đ
S:
3
2