S GIO DC V O TO LO CAI
TRNG THPT S 1 VN BN

a

b

A
B
O
P

b'
I

H

Sáng kiến kinh
nghiệm
Tên đề tài :
MộT Số KINH NGHIệM DạY THể TíCH KhốI ĐA DIệN

ở TRUNG HọC PHổ THÔNG

môn: toán
tên tác giả: nguyễn mạnh hà
giáo viên môn: toán
chức vụ: phó tổ TRƯởNG chuyên
môn



- Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành.
- Thực tế các giờ dạy của bản thân, dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp.
5. Phạm vi nghiên cứu: Trong trường THPT số 1 Văn Bàn và trao đổi với
các giáo viên trường bạn.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích, đánh giá, dự đoán.
- Thống kê, hệ thống hóa.


PHẦN II: NỘI DUNG
1. Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn
a. Cơ sở lý thuyết
* Về phương pháp dạy học
- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ.
- Trò chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hành
nhiều hơn. Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo.
* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo
khoa:
- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức.
- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chính
xác toán học.
- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh.
- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học.
- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểu
các ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễn
cuộc sống.
- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hình
thành thẩm mỹ toán học.
- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy.
b. Cơ sở thực tiễn


B

O

b'

I

P

H

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
b
c
b
c
e) sin B = ;cos B = ; tan B = ;cot B =
a
a

=
= 2R
sin A sin B sin C

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
2.1.3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
2
2
1
= ab.sin C =
2
abc
=
= p.r =
4R

1
2

S = a.ha = b.hb = c.hc
1
1
.bc.sin A = .ac.sin B
2
2
a+b+c 


g) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
1
2

h) Diện tích tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: S = x. y
h) Diện tích hình tròn: S = π .R 2
2.1.4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Khi đó đường thẳng nối hai điểm
chung là giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường
thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.
2.1.5. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo
chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định.
Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có). Đó chính là giao điểm
cần tìm.
2.1.6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng
quy
- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba
điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Khi đó A, B, C nằm trên giao
tuyến của chúng.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong
ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng còn lại
(thông thường lại đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng)
2.1.7. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)
B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta
được các đoạn giao tuyến.
B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác
cần tìm.
2.1.8. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b

thẳng kia.
C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp
chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng.
C3: Dùng định lí ba đường vuông góc (Nếu vuông góc với hình chiếu thì
muông góc với đường xiên và ngược lại)
2.1.14. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia
C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện do
hai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900
2.1.15. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
b

C1: Nếu a và b vuông góc với nhau thì:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B
- Dựng BA ⊥ a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

a

B
A

P

C2: Cho a và b chéo nhau
- Dựng mp(P) chứa a, song song với b
- Chọn M trên b dựng MM ' ⊥ ( P) tại M'
- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A

B

I

H

2.1.16. Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và
b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b.
2.1.17. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P): là góc
giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P).
2.1.18. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó,
Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm.
2.1.19. Thể tích khối chóp:
1
V = .B.h
3

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)

2.1.20. Tỉ số thể tích tứ diện:
Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc
SA, SB, SC. Ta có:

S

C'

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=

3

đáy.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vuông góc với đáy theo giao tuyến ∆ thì
trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với ∆ sẽ được đường
cao của khối chóp.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình
chiếu của nó là đường cao.
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa
giác đáy.
- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong
mặt phẳng đáy.
- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một
khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
- Cho điểm A và mặt phẳng (P). Đường thẳng d chứa A và d / /( P) thì khoảng
cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P).
- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A
đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P).
b) Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích:
- Tính thể một khối đa diện, ta không tính trực tiếp nó mà thông qua một
khối trung gian. Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diện
trung gian. Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính.
- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
đường cao tương ứng.
- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
diện tích đáy.


A

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)

B

C

A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)

Hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A'

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O
của hai đường chéo của hình thoi
ABCD

z

D'

B'
C'

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

D


;
0
Khi đó : 
  2

2

 

O

a 2   a 2 
B
B  0; −
;0 ÷; D  0;
;0 ÷; S (0;0; h)



2

÷





2

÷

 a
 a

A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷
 2

Khi đó :  2
 a 3   a 3 
C  0;
;0 ÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 


C

A
I

H

B

x

Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)
z


S

ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

A
B

O
C

Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
z
Tam giác ABC vuông tại A có

x


AB = a; AC = b đường cao bằng h .

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0)
A

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

Khi đó : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

B

S ( a;0; h )

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại C
∆ ABC vuông tại C CA = a; CB = b
chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 )

z

S

y

x

a b
S ( ; ; h)
2 2

B


x

a
S (0; ; h)
2

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông cân tại C
z

Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA = CB = a đường cao bằng h .

S

H là trung điểm của AB
y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho H(0;0;0)
 a





a

A




V
=
Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
 AB, AD  . AA '

2.2.2. Các dạng toán
Loại I: Thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

y

x


Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh
AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),
ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC =
5a. Tính thể tích khối chóp tứ diện
ABCD theo a và tính khoảng cách từ A
đến (BCD).

D

H
C

A

1
1
1
1
1
6a 34
=
+
=
+
+
= 2+
+
2
2
2
2
2
2
2
2 ⇒ AH =
AH
AD
AM
AD
AB
AC
9a 16a 16a
17


G
I
B

2
3
1
1 1
 1 1 a  a
VS .BCG = SA.SGBC = SA. S ABC ÷ = a. . ÷ =
3
3 3
 3  3 2  18
* Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
a3
3
3VG .SBC
3VS .GBC
18 = a 2
d (G,( SBC )) =
=
=
1
1
S SBC
6
SB.BC
a 2.a
2
2


B

C

Giải
* Tính thể tích khối chóp G1. ABCD :
1
1 1
VG1 . ABCD = .d ( G1 , ( ABCD ) ) .S ABCD = . d ( S , ( ABCD ) ) .S ABCD
3
3 3
3
1
1
a 3
= SA.S ABCD = a 3.a 2 =
9
9
9


* Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC).

2
21
1
d (G2 ,( SBC )) = d ( J ,( SBC )) =
d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC ))
3

.
6

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1:
S
Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D; AB = AD = 2a; CD = a.
Mặt phẳng (SBC) tạo với
mp(ABCD) một góc 600 . Mặt bên
I
(SAD) vuông góc với đáy. Các
mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo
với mặt đáy một góc bằng nhau.
A
Gọi H là trung điểm AD. Tính thể
M
H
tích khối chóp S.ABCD theo a và
tính khoảng cách từ điểm C đến
K
D
C
mp(SHB).
Giải
Vì các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau
·
·
nên SAD

B


3a 2
2
2S
3a 5 ; SH = HK .tan 600 = 3a 15
HK = HBC = 2 =
5
BC
5
a 5
1
1 3a 15 2 3a 3 15
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .
(đvtt)
.3a =
3
3
5
5
* Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SHB):
Dựng CM ⊥ HB tại M ⇒ CM ⊥ ( SHB ) ⇒ d ( C , ( SHB ) ) = CM
S HBC

2S
3a 5
3a 5
3a 2
; BH = a 5 ; CM = HBC =

a

I
B

Giải
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Hình chóp tứ giác đều SABCD có:
+ ABCD là hình vuông cạnh a;
+ SO ⊥ (ABCD);
+ SA = SB = SC = SD.
Đặt AB = x. Gọi I là trung điểm BC. Vì mặt bên tạo với đáy một góc 600
·
nên SIO
= 600 .
x
x 3
x
Ta có OI = BI = ; SO =
; SI =
2
2
4
2
2
 a 5   x   x 2
2
2
2
SB = SI + IB ⇔ 

OH
OJ
OS
2
3
3
Suy ra OH =
.a
a .Vậy d ( AD, SC ) =
2
4

Ví dụ 2:
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD cạnh đáy bằng a. Cạnh bên
bằng 2a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AE và BC. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo
a.

E
S
M

A

P
O

D

C
O

A

M

B

G
D'

C'

A'

B'

Giải
BG
2
=
(do G là trọng tâm ∆ABA’). Khi đó
BM
3
2
2
21

= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
E
AM và B’C.
C
A
Ta có

M
B

Giải
Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)
Suy ra d(B’C,AM)= d(B’C,(AEM))= d(C,(AEM)) = d(B,(AEM))
(vì MB = MC)


Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi một
vuông góc với nhau.
Nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD ( H ∈ ( AEM ) ) thì
1
1
1
1
1
1
1
7
a 7

c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên

B'

C'

A'

B

45°

C
M

A

Giải
* Diện tích tam giác ABC là:
* ( B ' M , ( ABC ) )

1
a2 3
S ABC = . AB. AC.sin 600 =
2
4
0
= ∠B ' MB = 45

* Xét tam giác B'BM vuông tại B có: BB ' = BM .tan 450 =

D'
C'

A'
B'

D
C

N
A

H
M

B

Giải
Kẻ A’H ⊥ ( ABCD ) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD
¼
⇒¼
A 'MH = 45o ,A'NH
= 60o
Đặt A’H = x . Khi đó
2x
A’N = x : sin 600 =
3
3 − 4x 2
AN = AA' 2 − A' N 2 =
= HM


A1

C
H

1

B1
Giải
Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc ∠AA1 H là góc giữa AA1 và (A1B1C1).
Theo giả thiết thì góc ∠AA1 H bằng 300.
a 3
Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc ∠AA1 H =300 ⇒ A1 H =
.
2

a 3
2
AH
⊥
B
C
B
C
⊥
(
AA
H
)

S
M

N

A

D

C
O


Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đê cac vuông góc Oxyz như sau :
O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 )
Ta có :

(

C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; 2 )

)

(

SA = 2;0;−2 2 ; BM = − 1;−1; 2

)


=
3
8+4



2. MN // AB // CD ⇒ N là trung điểm của SD. Toạ độ trung điểm N  0;− ; 2 


SA = (2;0;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

1
2

SB = (0;1;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 ) ⇒ [ SA, SM ] = (0;4 2 ;0)
1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB =
=
6
6
3
1
2 2
2
VS . AMN = [ SA, SM ].SN =

D y
K

H
N

C




Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Ta có : SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2
⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = a
a 3
Do đó : ∆SAM đều ⇒ SH =
2



a 3

÷;
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : H (0;0;0) ; S  0;0;
2 ÷






a
;
−
÷

÷;
;
 2
2 ÷
2 ÷
2



uuur  a
a 3  uuur
SD =  − ; 2a; −
÷; DN = ( 2a; − a;0 )
2 ÷
 2





uur  3a
a 3
SB =  ;0; −
÷;
2 ÷

 SM , SN  SB = a 3 ;  SM , SN  SD = 3a 3




2
2
3
1 uuur uuur uur a 3
1 uuur uuur uuur a 3 3
VSMNB =  SM , SN  SB =
VSMND =  SM , SN  SD =
;
6
12
6
4

VS . BMDN = VSMNB + VSMND =

a3 3 a3 3 a3 3
+
=
12
4
3

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
cos ( SM , DN ) =


uuuur  a
 uuuur
AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 2 ;
2

uuuur
AB ' = 0; − a; a 2

(

z

A'

C'

)

(

(

)

A

B

)


2

(đvtt)

+ Khoảng cách giữa AM và B’C
uuuur uuuur uuuur a 3

Vì :  AM , B ' C  AB ' =
2
⇒ AM và B’C chéo nhau
uuuur uuuur uuuur
 AM , B ' C  AB '


d ( AM , B ' C ) =
uuuur uuuur
 AM , B ' C 


3
a
a 7
2
=
=
7
1
2a 4 + a 4 + a 4
2


- Cần khai thác tốt các phần mềm Toán học như: mapple, Cabri, Sketpad, ...
trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh.
- Cần có sự quan tâm sát đáng đối với học sinh yếu. Các phần kiến thức cần
được nhắc đi, nhắc lại nhiều lần để kiến thức có thể thấm dấn vào học sinh.
- Chú ý đổi mới kiểm tra, đánh giá. Kiểm tra kiến thức học sinh trong cả quá
trình học tâp (trước, trong và sau khi học).
* Để có thể học tốt, người trò phải tích cực, tự giác trong việc chuẩn bị bài,
rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
2. Đề xuất, kiến nghị
- Nội dung dạy một bài luyện tập cần được quan tâm nhiều hơn trong các
dịp bồi dưỡng (cần có những giờ giảng mẫu của các giáo viên cốt cán, mà qua đó
các giáo viên dự có thể đúc rút ưu, nhược điểm để hoàn thiện mình).
- Trong các dịp bồi dưỡng cần dành thời gian đáng kể để trao đổi về các
chuyên đề ôn thi học sinh giỏi (có sự chọn lọc giáo viên tham gia). Điều đó sẽ làm
rút ngắn khoảng cách giữa giáo viên các trường và giáo viên trường THPT Chuyên
Lào Cai, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng môn Toán nói chung của toàn
tỉnh Lào Cai.
- Trong đổi mới phương pháp, máy chiếu và các phần mềm Toán học giữ vai
trò quan trọng nhưng đổi mới tư duy của người thầy là quan trọng hơn cả.