Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

MỤC LỤC
Trang

1. ĐẶT VẤN ĐỀ:

2

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2

2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề

2

2.2. Thực trạng của vấn đề

3

2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

20


ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải
chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình
vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của
đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến
thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác
và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà
không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết,
phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chứng minh 3 điểm thẳng
2


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh hai đường thẳng song
song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong
không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng
khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song
trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học
lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm
bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát
kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách
không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc
chứng minh quan hệ song song trong không gian.
2.3. Các biện pháp để tiến hành giải quyết vấn đề
I. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

b  (  )
  b
( )  (  )   

 a / /  

Định lý 2 (SGK – trang 61): Nếu a    
 b / /a

       b
 a / /  

Hệ quả ( SGK – trang 62): Nếu b / /   
 b / /a

       b

* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu
phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1
điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2.
I.2. Ví dụ cụ thể
- Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh
một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn.
Ví dụ 1: Trong mp(  ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(  ). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
Hướng dẫn giải
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:

Vậy SE  ( SAB )  ( SCD) .
- Với câu b) tương tự cách làm câu a).
Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF,

S

nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình
giải thích vì sao.

B
A

 F  AC  F   SAC 
 F  ( SAC )  ( SBD ).
 F  BD  F  ( SBD )

F

Có 

C

D

Vậy SF  ( SAC )  ( SBD)
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là
trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của
(MHK) và (SAD).
Hướng dẫn giải
- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác

trong không gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một mặt phẳng và
không song song.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm
hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

  đi qua O, song song với AB và SC.
* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của   và cần xác định
giao tuyến của   với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng
không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học
sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm   đi qua và chứa đường thẳng mà  
song song.
* Hướng dẫn
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?
+ Xác định giao tuyến của   với mp (ABCD)
Câu hỏi 2: mặt phẳng   và (ABCD) có những điểm
chung nào?
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của   với (ABCD) ta
làm thế nào? Vì sao?
Thấy O =     ABCD 

6


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

 AB / /  
 Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của   và

Thấy P =    ( SAB )
 AB / /  
 giao tuyến của   và (SAB) phải
AB

SAB




Thấy 
song song với AB.

7


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =    ( SAB ) hay đoạn giao tuyến là PQ.
+ Xác định    ( SAD )
Câu hỏi 10:   và (SAD) có mấy điểm chung và đó là
những điểm nào?
Câu hỏi 11:    ( SAD ) là đoạn giao tuyến nào?
Thấy M =    ( SAD ) và Q =    ( SAD )
Vậy    ( SAD ) theo đoạn giao tuyến là MQ.
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ.
I.3. Bài tập đề nghị

c) (IJK)  (ABD)

d) (IJK)  (ABC)

Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (JAD)

8


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao
tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (DMN)
II. Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và  
II.1. Phương pháp: Để tìm giao điểm của d và   ta có thể thực hiện theo các
bước sau:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng    chứa d (Nên chọn mặt phẳng    sao cho dễ tìm
giao tuyến với   )
+ Bước 2: Xác định  =       .
+ Bước 3: M =   d
+ Bước 4: Chứng minh M = d    .
- Với dạng toán này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn giản để
học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng toán này.
II.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh
AD sao cho

hơn. Cụ thể:
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng
cách đặt ra các câu hỏi
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp
(SAC)?
Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn
là mp (SBD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)?
Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của
(SAC) và (SBD).
Dễ thấy S = (SAC)  (SBD).
Gọi O = AC  BD. Khi đó O = (SAC)  (SBD).
Vậy SO = (SAC)  (SBD)
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM  (SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp
(SBD).
Gọi E = SO  BM.

10


Phạm Thành


mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học
sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét.
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến
với (IJM)?
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP).
Câu hỏi 9: Xác định (SBP)  (IJM)?
Thấy J = (SBP)  (IJM) ( Vì J  SB )
 F  IM
 F  (IJM )  ( SBP )
 F  SP

Mặt khác 

Vậy JF = (SBP)  (IJM)
11


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

Gọi K = SC  JF
Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC  (IJM)?
 K  SC
 K  SC  (IJM )
 K  JF  (IJM )  K  (IJM )

Thấy K  SC  JF  
II.3. Bài tập đề nghị

- Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được
đường thẳng a    . Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác
định được a.
12


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

III.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh rằng MN // (SBC).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB // (MNP)
c) Chứng minh SC // (MNP).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng
a là đường thẳng BC. Do đó học sinh dễ dàng chứng
minh được MN // (SBC).
 MN / / BC
 MN / /( SBC ) .
BC

(
SBC
)


Cụ thể: Do 

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE.
Chứng minh MN // (CEF).

* Hướng dẫn
- Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện
đường thẳng a trong mp (CEF). Khi đó giáo viên phải
chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp
(CDFE). Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng
chính là chứng minh MN // (CDEF).
Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ?
Do M là trọng tâm của tam giác ABD =>

KM 1

KD 3

Do N là trọng tâm của tam giác ABE =>

KN 1

KE 3

Vậy

KM KN

 MN / / DE (Định lý Talet)
KD KE


 a , b   

a  b  I
Tóm tắt: Nếu 
   / /   
a / /   
b / /   


- Cái khó của phương pháp này là phải xác định được 2 đường thẳng a và b. Vậy
nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn làm sao để học sinh phát hiện được 2
đường thẳng a và b đó.
IV.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên
mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB).
* Hướng dẫn
15


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần
chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn 2 đường là OM, ON
hoặc BC, SC
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

IJ, JK  (IJK )
IJ//( SAB )

Ta có 
 (IJK ) / /( SAB )
JK
/
/(
SAB
)

IJ  JK  J

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.
a) Chứng minh (IGK) // (BB’C’C).
b) Chứng minh (A’GK) // (AIB’).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) học sinh sẽ rất khó nhìn ra 2 đường thẳng a và b. Nhiệm vụ của giáo
viên là phải giúp học sinh phát hiện ra 2 đường thẳng đó bằng cách hướng dẫn học
sinh xác định thêm các trung điểm M và M’ của AC và A’C’. Khi đó học sinh sẽ
nhìn ra hướng giải quyết vấn đề.
Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)?
Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác A’B’C’ =>


=> IG // (BB’C’C).
Câu hỏi 3: Chứng minh (IGK) // (BB’C’C)?
 IK / /( BB ' C ' C )
 IG / /( BB ' C ' C )

Ta có 
 ( IGK ) / /( BB ' C ' C ) .
IK

IG

I

 IK , IG  ( IGK )

17

ACC’


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong
việc tìm ra 2 đường thẳng a và b. Giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm
các trung điểm E, F của BC và B’C’.
Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm
của SD
a) Xác định giao điểm K = BI  (SAC)
b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH // (SAD)
c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN) // (SBC)
d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)

* MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Để làm được một bài toán hình học không gian ngoài việc nắm được phương
pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng. Một hình vẽ tốt phải là hình
đảm bảo các yêu cầu sau:
+) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái
niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt...
+) Phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn và có tính thẩm mỹ.
+) Phải đủ các dữ liệu, không thừa
+) Phải thể hiện được dữ liệu của đề bài cho.
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc “Giải các bài toán về quan hệ song
song trong không gian” với thời lượng lên lớp chính khóa tôi nghĩ là chưa đủ. Do
đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải
soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính
xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập
phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà
trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán.
3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có
học lực khá, có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà
19




11A6

30

Tỉ lệ trên Trung bình
Trung bình

Khá giỏi

10/30 = 33,3%

3/30 = 10%

20

Đánh giá
Yếu


Phạm Thành

11A7

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

34

8/34 =23,5%


16/34 = 47,1%

5/34 = 14,7%

Trung bình

Tuy nhiên, một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được. Tôi thiết nghĩ
không thể nói lên bằng các con số đó là:
- Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán về hình học không gian.
- Các em không còn thấy khó khăn khi vẽ hình không gian.
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán. Từ đó, nó tạo
cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ.
- Phát triển tư duy trực quan hình vẽ, óc quan sát, suy luận toán học, các em
đã biết “Phiên dịch” các vấn đề từ ngôn ngữ văn học sang ngôn ngữ toán học
thông qua các hình vẽ, các kí hiệu... giải quyết vấn đề đó. Từ đó, nó giúp phát triển
ngôn ngữ và tạo cho các em một tư thế mới, vững vàng trong học tập, lao động và
trong cuộc sống.
- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích, suy
ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em không còn ngại khó, mà rất tự
tin vào khả năng học tập của mình.
- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp.
Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh học
yếu, lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài toán dễ về quan hệ
song song trong không gian. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn.
21


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai


Phạm Thành

Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai

Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài
này hoàn thiện hơn, và khả thể triển khai áp dụng để dạy học sinh cho những năm
tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài của tôi
được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Lào Cai, ngày 28 tháng 05 năm 2014.

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. Trần Văn Hạo: Hình học 11- Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007
2. Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007
3. Trần Văn Thương - Phạm Đình - Lê Văn Đỗ - Cao Quang Đức: Phân loại và
phương pháp giải toán hình học không gian lớp 11 - NXB ĐH Quốc Gia Thành
Phố Hồ Chí Minh, năm 2001
4. Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo - Trần Đức Huyên: Phân loại và hướng dẫn
giải toán hình học không gian 11 - NXB ĐH Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh,
năm 2005 .
5. Lê Mậu Thống – Lê Bá Hào: Phân loại và phương pháp giải toán hình học 11 NXB Hà Nội, năm 2007

23