TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
------

------

LÊ THỊ HOAN

MOMENT VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN TOÁN

VINH 2006


Mục lục
Lời mở đầu

2

§1. Các kiến thức chuẩn bị

4

§2. Tính chất của kỳ vọng và moment

9

§3. Kỳ vọng điều kiện


Phần 3. Kỳ vọng điều kiện. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu
khái niệm kỳ vọng điều kiện và nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng
điều kiện, đồng thời chỉ ra sự khác nhau giữa kỳ vọng điều kiện và kỳ
vọng thông thường.
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo
của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô
2


giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Cuối cùng, vì sự hạn chế thời gian cũng như tài liệu nên khóa luận
sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng
góp, giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn.
Vinh, tháng 4 năm 2006
Tác giả

3


§1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa. Giả sử Ω = ∅, F là các tập con của Ω. F được gọi là
một σ-đại số nếu:
i) Ω ∈ F;
ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F;
∞

iii) Nếu {An } ⊂ F thì


P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC);
g) Nếu {An } ⊂ F thì
∞

P(

∞

An ) ≤

n=1

P (An )
n=1

4


h) Nếu {An } ⊂ F sao cho A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . thì
∞

An )

lim P (An ) = P (

n→∞

n=1

i) Nếu {An } ⊂ F sao cho A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . thì



( tương ứng F(Xn+1 , Xn+2 , . . . , )) là σ- đại số bé nhất mà X1 , X2 , . . . , Xn
(tương ứng Xn+1 , Xn+2 , . . . ,) đo được).
1.11. Bổ đề. (Bất đẳng thức Markov). Giả sử X là ĐLNN, khi đó với
mọi

> 0 ta có
P (|X| > ) ≤

E|X|r
r

,

với mọi r > 0.
1.12. Định nghĩa. Giả sử µ là độ đo, ν là hai hàm tập cộng tính xác
định trên không gian đo (Ω, F). Ta nói ν liên tục tuyệt đối đối với µ,
nếu với mọi A ∈ F mà µ(A) = 0 thì ν(A) = 0. Ký hiệu ν
1.13. Định lý. (Radon - Nikodym). Giả sử ν

µ.

µ. Khi đó, tồn tại duy

nhất hàm đo được khả tích X : Ω → R sao cho với mọi A ∈ F thì
Xdµ

ν(A) =
A

P p1 p2 . . . pn . . .
thì
EX = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn + . . .
h) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ p(x) thì
+∞

EX =

xp(x)dx
−∞

i) Nếu f : R → R đo được thì

nếu X rời rạc và P (X = xi ) = pi ;

 i f (xi )pi ,
E[f (x)] = +∞

f (x)p(x)dx, nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

−∞

1.18. Định nghĩa. i) Cho X là ĐLNN và số r > 0. Khi đó số
EX r =

X r dP, (nếu tồn tại)
Ω

được gọi là moment cấp r của X.
ii) Số

E|X| ≤ E (max{X, Y } + min{X, Y })
E|Y | ≤ E (max{X, Y } + min{X, Y })
hay
E|X| ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y })
E|Y | ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y })
Theo giả thiết, tồn tại E(max{X, Y }) và E(min{X, Y }) nên từ bất đẳng
thức trên, suy ra tồn tại E|X|, E|Y |.
b) Ta có
X + Y = max{X, Y } + min{X, Y }
nên
EX + EY = E(max{X, Y }) + E(min{X, Y })
2.2. Mệnh đề. Giả sử X là ĐLNN chỉ nhận giá trị nguyên không âm
có kỳ vọng hữu hạn. Khi đó
∞

P (X ≥ n).

EX =
n=1

9


Chứng minh. Đặt
∞

∞

P (X ≥ n), EX =


k=n+1

∞

= Sn +

nP (X = k)
k=n+1

Suy ra S = S , tức là
∞

P (X ≥ n).

EX =
n=1

2.3. Mệnh đề. Giả sử X là ĐLNN có kỳ vọng không và phương sai hữu
hạn. Khi đó
1
E|X| ≤ (DX + 1)
2
Chứng minh. Ta có:
0 ≤ (E|X| − 1)2 = E|X|2 − 2E|X| + 1
= DX + 1 − 2E|X|.
Suy ra
DX + 1 − 2E|X| ≥ 0
hay
1
E|X| ≤ (DX + 1).

∞

P (X ≥ n).P (Y ≥ n)

=
n=1

suy ra
∞

E(min{X, Y }) =

P (X ≥ n).P (Y ≥ n).
n=1

2.5. Mệnh đề. Cho X1 , X2 , . . . là dãy ĐLNN không âm. Khi đó
∞

E

∞

Xn

=

n=1

EXn
n=1

Xk

Xn
n=1

k=1
∞

n

⇔

EXk → E

Xn
n=1
∞

k=1
n

⇔

lim

n→∞

Xn , với Yk = EXk

Yk = E


EXn
n=1

2.6. Mệnh đề. Cho X là ĐLNN, khi đó
DX = min E(X − a)2
a∈R

Chứng minh. Với mọi a ∈ R ta có E(X − a)2 = E(X 2 − 2aX + a2 ) và
DX = EX 2 − (EX)2 , do đó
E(X − a)2 − DX = E(X 2 − 2aX + a2 ) − [EX 2 − (EX)2 ]
= EX 2 − 2aEX + a2 − EX 2 + (EX)2
= a2 − 2aEX + (EX)2
= (a − EX)2 ≥ 0
Từ bất đẳng thức trên, suy ra DX ≤ E(X − a)2 , với mọi a ∈ R. Vậy,
DX = min E(X − a)2
a∈R

2.7. Mệnh đề. Giả sử X và Y là các ĐLNN độc lập với phương sai hữu
hạn. Khi đó
√

DX −

√

2

DY



√

2

DY

≤ D(X + Y ) ≤

√

√
DX +

2

DY

2.8. Mệnh đề. Giả sử X1 , . . . , Xn là các ĐLNN có moment bậc r với
0 < r ≤ 1. Khi đó
E|X1 + . . . + Xn |r ≤ E|X1 |r + . . . + E|Xn |r
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức |a + b|r ≤ |a|r + |b|r , với mọi
0 < r ≤ 1, ta có
E|a + b|r ≤ E(|a|r + |b|r ) = E(|a|r ) + E(|b|r )
Khi đó, với X1 , . . . , Xn là các ĐLNN có moment bậc 0 < r ≤ 1, ta có:
E|X1 + X2 |r ≤ E|X1 |r + E|X2 |r
và
E|X1 + X2 + X3 |r ≤ E|X1 + X2 |r + E|X3 |r
≤ E|X1 |r + E|X2 |r + E|X3 |r


≤E
EX

1
X

2.10. Mệnh đề. (Mở rộng của Mệnh đề 2.9) Giả sử X và Y là các
ĐLNN độc lập, nhận các giá trị dương. Khi đó, với mọi r ≥ 0, ta có:
E

X
Y

r

EX r
≥
EY r

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.9, ta có:
EX r
= EX r E
r
EY

1
Yr

≥ EX r


= P ({|Y1 | > } ∪ . . . ∪ {|X1 + . . . + Xn | > })
≤ P (|X1 || + . . . + |Xn | > )
14


Từ đó áp dụng bất đẳng thức Markov, ta nhận được:
E(|X1 | + . . . + |Xn |) E|X1 | + . . . + E|Xn |
P ( max |Yk | > ) ≤
=
1≤k≤n

hay

n

E|Yk |
P ( max |Yk | > ) ≤
1≤k≤n

15

k=1


§3. Kỳ vọng điều kiện
3.1. Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất, X : Ω → R
là ĐLNN khả tích (E|X| < ∞) và G là σ-đại số con của F. Khi đó,
ĐLNN Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với Y nếu
i) Y là G-đo được;
ii) Với mọi A ∈ G, ta có


Do E|X| < ∞ suy ra ν

P . Theo Định lý Radon-Nikodym suy ra tồn

tại duy nhất ĐLNN Y là G-đo được sao cho
ν(A) =

Y dP

(2)

A

Từ (1) và (2) ta có
Y dP =
A

XdP
A

Vậy Y = E(X/G).
3.3.2. Mệnh đề. Nếu X = c là hằng số thì:
E(X/G) = E(c/G) = c(h.c.c) c là hằng số.

Chứng minh. Ta có Y = c là G-đo được. Mặt khác với mọi A ∈ G, ta
có
Y dP =
A



Vậy, E(X/G) ≥ E(Y /G)(h.c.c)
17

T dP


3.3.4. Mệnh đề. Với mọi a, b là hằng số và aX + bY xác định ta có
E(aX + bY /G) = aE(X/G) + bE(Y /G)

Chứng minh. Đặt Z = E(X/G), T = E(Y /G) khi đó Z, T là G-đo được
do đó aZ + bT cũng là G-đo được.
Mặt khác, với mọi A ∈ G ta có
(aZ + bT )dP = a
A

ZdP + b
A

= a

T dP
A

XdP + b
A

Y dP
A



18


Mặt khác
XdP =
A

XIA dP = E(XIA ) = E(X)E(IA )
Ω

= EX

IA dP = EX
Ω

dP = EXP (A) = P (A)EX
A

Vậy,
Y dP =
A

XdP, hay E(X/G) = EX.
A

ii) Vì Ω ∈ G nên ta có
E[E(X/G)] =

E(X/G)dP =


Vậy, E(X/G) = X.
19


3.3.7. Mệnh đề. Nếu E|XY | < ∞, E|Y | < ∞, Xlà G-đo được thì
E(XY /G) = XE(Y /G) (∗)
Chứng minh. Ta có X.E(Y /G) là G-đo được. Hơn nữa, với mọi A ∈ G,
trước hết ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng với X = IA , A ∈ G. Thật
vậy, từ X = IA ta có
XE(Y /G) =

IA E(Y /G)dP =
A

A

E(X/G)dP
AA

=

Y dP =
AA

IA Y dP =
A

XY dP
A

= lim

(Xn + Xn0 )dP =

n

A

lim E(Xn + Xn0 ) =

(X + Xn0 )dP.

n

A

A
20


Từ đó, kết hợp với tính tuyến tính của tích phân, ta có
lim E(Xn /G)dP =
A

E(X/G)dP, với mọi A ∈ G.

XdP =

n


A

Khi đó
a1
a2
IA +
I .
p
1−p A
Chứng minh. Đặt Y = E(X/G). Khi đó Y là G-đo được, suy ra Y có
E(X/G) =

dạng Y = b1 IA + b2 IA . Mặt khác ta có
E(Y IA ) =

Y dP =
A

XdP = a1
A

21


Hơn nữaY IA = b1 IA suy ra E(Y IA ) = b1 P (A). Kết hợp với trên ta có
b1 P (A) = a1 do đó
b1 =

a1
a1

3.3.13. Mệnh đề. Giả sử G1 , G2 , . . . là dãy không giảm các σ-đại số, X
là ĐLNN có kỳ vọng hữu hạn, khi đó với mọi
P

sup |E(X/Gk )| >

≤

> 0 ta có
E|X|

.

1≤k≤n

Chứng minh. Đặt
A =

ω : sup |E(X/Gk )| >
1≤k≤n

A1 = {ω : |E(X/G1 )| > }
...........
Aj =

ω:

sup

|E(X/Gk )| ≤ , |E(X/Gj )| >

j

j=1 A

suy ra E|X| ≥ P (A) hay P (A) ≤

j=1

j

E|X|

P (Aj ) = P (A).

.

Vậy
sup |E(X/Gk )| >

P

≤

E|X|

.

1≤k≤n

3.3.14. Mệnh đề. Nếu X là ĐLNN thì X và σ-đại số G độc lập với

D(X/G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đối
với σ -đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X/G).
Cov[(X, Y )/G] được gọi là covariance có điều kiện của X, Y đối với σ -đại
số G. Mối liên hệ giữa phương sai và covarian của kỳ vọng và kỳ vọng
điều kiện được thể hiện thông qua hai Mệnh đề sau:

3.3.16. Mệnh đề. Với các điều kiện trang bị trong Định nghĩa 3.3.15,
ta có
DX = ED(X/G) + DE(X/G)
Chứng minh. Ta có
ED(X/G) + DE(X/G)
= E[E(X − E(X/G))2 /G] + E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2
= E[(X 2 − 2XE(X/G) + E(X/G))/G] + E[E(X/G)]2 − (EX)2
= EX 2 + 2E{E(X/G)[E(X/G) − X]} − (EX)2
= DX + 2E{E(X/G)[E(X/G) − X]}
24

(3)