Trờng đại học vinh
Khoa vật lý
----------------

Hệ thống bài tập thuyết tơng đối

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: vật lý lý thuyết

Giáo viên hớng dẫn: Lê Thị Thai
Sinh viên thực hiện: Mai Thị Hảo
Lớp: 44A Vật lý

Vinh , 2007

1


Phần I
Mở đầu
Cuối thể kỷ XIX đầu thế kỷ XX khi vật lí học nghiên cứu đến những
hiện tợng có liên quan đến vận tốc ánh sáng hoặc những vận tốc lớn hơn, so
sánh đợc với vận tốc ánh sáng. Ngời ta nhận thấy rằng những khái niệm cũ
(những khái niệm cổ điển) không có khả năng giải thích một số hiện tợng mới
hoặc dẫn đến những cách giải thích sai lầm. Thuyết tơng đối Anhstanh ra đời
năm 1905 đã xây dựng lại những khái niệm không gian và thời gian khác hẳn
với những khái niệm cũ của Niutơn. Tới nay, thuyết tơng đối Anhstanh đã đợc
thử thách trong thực nghiệm và trở thành một trong những cơ sở không thể
thiếu đợc của vật lí học hiện đại.
Trong quá trình học thời gian hạn chế nên đa số sinh viên không có


ICơ sở lí thuyết
IIBài tập
Phần III:
Kết luận
Vì kinh nghiệm của bản thân còn ít nên bản luận văn này không tránh
khỏi các thiếu sót. Rất mong sự góp ý xây dựng của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên để cho bản luận văn này hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô giáo Lê Thị Thai
Ngời giúp đỡ cho em rất nhiều về kiến thức, phơng pháp nghiên cứu và nguồn
tài liệu quý giá.
Vinh, tháng 05 năm 2007
Ngời thực hiện

Mai Thị Hảo

3


Phần II
Nội dung

Chơng I:

Động học tơng đối

I- Cơ sở lí thuyết

1.1. Nguyên lí tơng đối Galilê, phép biến đối tọa độ:
Theo nguyên lí: mọi hiện tợng cơ học đều diễn ra nh nhau trong các hệ

dt

uy =

dy
;
dt

Vận tốc của nó trọng hệ k là:
u' x = ux - v

(1)

u' y

= uy

(2)

u' z

= uz

(3)

uz =

dz
dt



v2
c2

x'+vt '

hoặc

y = y
z = z

x=

v2
c2

y = y
z = z

v
x
c2
v2
1 2
c

t

t =


Xét một thanh AB không biến dạng
nằm yên trong hệ k và có chiều

y

y

dài song song với trục 0x.
Trong hệ k điểm A có tọa độ x 'A ,

k

k
A

điểm B có tọa độ x B' .

B
v

Chiều dài của thanh AB đo trong hệ k
l0 = x B' - x 'A
(l0 là chiều dài riêng của thanh)
Trong hệ k thanh AB đang chuyển động.

0

x x

0

1

Chiều dài thanh trong hệ k bằng
l = xB - xA
Từ (4.1), (4.2) kết hợp với tA = tB ta có
6

(4.3)


xB x A

x 'B - x 'A =
hay

1

v2
c2

2

l = l0 1 v 2
c

Nh vậy theo phơng chuyển động chiều dài bị co lại theo phơng vuông
góc với phơng chuyển động tọa độ không đổi.Vì vậy đối với thể tích của thanh
ta cũng viết đợc:
2


Ta có:

7


Vì trong hệ k hai biến cố cùng xẩy ra một chỗ nên x 'A = x B' và khoảng
thời gian giữa hai biến cố đo trong hệ k là:
t B' t A'
t = tB tA =

1

v2
c2

t 0

Hay

t

=

1

v2
c2

> t0


u x =

dx'
;
dt '

u y =

dy '
dt '

;

uz =

dz '
dt '

(6.2)

Chúng ta phải tìm sự liên hệ giữa u và u
Lấy vi hai vế của các côngthức biến đổi Lorenxơ ta có:
dx'+vdt '

dx =

1

(6.3)


=
v
dt
dt '+ 2 dx '
c
dy
=
dt

dz
=
dt

hay

dy ' 1
dt '+

v2
c2

v
dx '
c2

dz ' 1

v2
c2


1+

hoặc

ux v
v
1 2 u x
c
uy 1
1

v2
c2

u 'z =

v
u' x
c2

Nếu chất điểm chuyển động dọc theo trục x thì:
u '+v
u=
v
1 + 2 u'
c

hay

v


Trong thuyết tơng đối ngời ta định nghĩa khoảng của hai biến cố là lợng
s, xác định bằng:
s2 = x2 + y2+ z2 c2t2
(7.1)
Nh vậy khái niệm khoảng là sự khái quát hóa khái niệm khoảng cách
không gian và khoảng cách thời gian.
Khi chuyển sang hệ k khoảng của 2 biến cố A và B là lợng s.
s2 = x2 + y2 + z2 - c2t2
(7.2)
Theo phép biến đổi Lorenxơ ta có:
x vt
x

=

1

v2 ;
c2

v
x
c2
v2
1 2
c

t
y


10


chiều gọi là đờng thế giới. Khoảng s là khoảng cách hai điểm thế giới trong
không gian bốn chiều.
Đặt x x1, y x2, z x3, x4.
Ta tởng tợng một phép quay tọa độ trong không gian 4 chiều trong đó
trục 0x1, 0x4 quay trong mặt phẳng x10x4 một góc , còn 0x2 và 0x3 vẫn đứng
yên.Trong phép quay đó tọa độ điểm thế giới sẽ biến đổi.
x 1' = x1cos +x4sin
x '4 = x4cos -x1sin
`
(8.1)
'
x '2 = x2, x 3 = x3
Khoảng cách giữ hai điểm thếgiới có các thành phần biến đổi:
'
x 1 = x1cos + x4sin
'
x 4 = x4cos - x1sin
(8.2)
'
x '2 = x2
x 3 = x3
Khi đó s2 = s2
Vậy khoảng là một bất biến đối với phép quay trục tọa độ trong không
gian 4 chiều.
Phép quay tọa độ trong không gian bốn chiều tơng đơng với phép biến
đổi Lorenxơ.Nh vậy có thể tìm đợc quan hệ giữa góc và vận tốc của hệ k.

c

x1 +

x 1' =

x '2 = x2;

x 3' = x3

iv
x1
c
v2
1 2
c

x4

x '4 =

11

1
v2 ;
c2

cos =

1


A3' = A3

iv
A1
c
v2
1 2
c

A4

A '4 =

ba lợng A1, A2, A3 là các thành phận thực, lợng A4 là thành phần ảo.
- Vô hớng 4 chiều là một lợng bất biến đối với phép quay hệ tọa độ 4
chiều tức là bất biến đối với phép biến đổi lorenxơ.
VD: Vận tốc ánh sáng c, khoảng S, thời gian riêng t0
1.9. Vectơ vận tốc 4 chiều và gia tốc 4 chiều.
a) Vectơ vận tốc 4 chiều
Trong không gian ba chiều vectơ vận tốc là tỉ số của vi phân bán kính
vectơ với vi phân thời gian:

u=

dr
dt

Tơng tự vectơ vận tốc 4 chiều u là tỉ số của vi phân bán kính vectơ 4
chiều

1

u2
c2

12


uy

dx2

u2 =

dt 1

u2
c2

=

dx3

u3 =

dt 1

dt 1

u2

Khi uôc thì dẫn tới các thành phần vận tốc thông thờng của chất điểm:
u 2 = u 12 + u 22 + u 32 + u 24 = - c2 < 0
Vectơ u là vectơ dạng thời gian.
Bốn thành phần của u không độc lập với nhau nếu ta biết 3 thành phần
thì có thể tìm đợc thành phần còn lại.
b) Gia tốc 4 chiều
Tơng tự ta định nghĩa vectơ gia tốc 4 chiều w là: ta có tỉ số W =
mà u2 = c 2 lấy đạo hàm 2 vế 2 u

du
dt 0

du
= 0 hay u W = 0 . Ta nói rằng vectơ vận
dt 0

tốc 4 chiều u và vectơ gia tốc 4 chiều W là trực giao với nhau trong không
gian 4 chiều.

13


II- Bài tập

Loại bài tập sử dụng công thức biến đổi lorenxơ.
Bài 1.1: Một đĩa tròn bán kính R chuyển động thẳng đều với vận tốc v
theo phơng // với mặt đĩa. Hỏi trong hệ quy chiếu gắn với trái đất đĩa có hình
dạng gì?
y
y


2
+ y2 = 1

R

Nh vậy địa có dạng hình elíp.
Bài 1.2: Thời gian sống riêng của một hạt không bền nào đó là 0 =
10ns tìm quãng đờng hạt đi đợc trớc khi phân rã trong hệ quy chiếu phòng thí
nghiệm trong đó thời gian sống của hạt là: = 20ns.
Bài giải:
Xét hệ quy chiếu k gắn với hạt
Hệ quy chiếu k gắn với hệ quy chiếu phòng thí nghiệm
áp dụng công thức sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động
=
<=>

2

0

v2
c2
2
2
1 - v 2 = 02
c

1



1

v '2 ;
c2

(1)

(2)

Thay x, t từ (1) vào (2) ta có:
v
x
2
x vt
c
v'.
v2
v2
1 2
1 2 =
c
c
t

x =

v '2
1 2
c

t =

1 v '+v
x
c 2 1 + vv'
c2





1 v'+v
1 2
c 1 + vv'


c2


(3)

2

Gọi u là vận tốc tơng đối của hệ k '' đối với hệ k ta có:
u
x
2
x =
''
c

.
Bài giải:
Xét hệ k gắn với thanh AB, hệ k gắn với trái đất
- xA, xB là tọa độ điểm A, B khi nó đi qua điểm p đứng yên nên ta có
xA= xB (trong hệ k)
- tA, tB thời điểm A, B đi qua điểm P trong hệ k
- t A' , t B' thời điểm A, B đi qua điểm P trong hệ k
áp dụng công thức biến đổi lorenxơ:
t A vx A
t B vx B
tA =

v2
1 2
c

;

;

tB =

1

v2
c2

tB t A

tB tA =

2

2

l = t . v = t 1 v 2 . v = l0 1 v 2
c

c

2

Vậy l = l0 1 v 2 (đpcm)
c

Bài 1.5: a.Tìm thời gian sống trung bình của một dòng mezon +
chuyển động với vận tốc = 0,73 .Thời gian sống riêng trung bình của mezon
+ là t0 = 2.5.10-8 (s).

b. Quãng đờng mezon + đi đợc bằng bao nhiêu.
c. Quảng đờng mezon + đi đợc bằng bao nhiêu nếu không kể đến hiệu
ứng tơng đối.
Bài giải:
Xét hệ k gắn với menzon + . Hệ k gắn với trái đất.
Thời gian sống của menzon + trong hệ k là:
t0 = 2,5 . 10-8 (s)
Vậy thời gian sống cỉa menzon + trong hệ k là:
t0

t=



B

x

A

x


Bài giải:
Xét hệ k gắn với xe chuyển động
với vận tốc v và hệ k gắn với trái đất.
- Trong hệ k: sét đánh tại A ở vị trí xA
vào thời điểm tA và sét đánh tại B ở vị trí xB
vào thời điểm tB.
- Trong hệ k: Sét đánh tại A ở vị trí x 'A
vào thời điểm t A' và sét đánh tại B ở
vị trí x 'B vào thời điểm t 'B
Ta lại có 2 sét đánh tại 2 điểm A, B
cùng một lúc đối với quan sát viên trên xe
tức là : t 'A = t 'B và xA > xB (từ hình vẽ)
áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ta có:
v
v
t A 2 xA
t B 2 xB
c
c
tA =

theo quan điểm của ngời đứng trên mặt đất.
Bài 1.7: Trong hệ k một hình vuông ABDE có tọa độ các đỉnh bằng.
A (xA = 1, yA = 1)
D (xD = 3, yD = 2)
B(xB = 3, yB = 4)

18


a. Khi đồng hồ trong hệ k chỉ thời điểm t = 2 3 thì tọa độ các đỉnh
c

A,B,D trong hệ k là bao nhiêu? Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ những thời điểm
nào ?
b. Khi đồng hồ trong hệ k chỉ thời điểm t = 2 3 thì tọa độ các đỉnh
c

A,B,D trong hệ k là bao nhiêu?
c. Tính kích thớc của hình vuông trong hệ k và so sánh với kích thớc
của nó trong hệ k.
Cho biết vận tốc của hệ k là v = c 3
2
Bài giải:
a. Khi trong hệ k đồng hồ chỉ thời điểm t = 2 3 tức là ta có:
c

tA = t B = t D = 2 3 m
c

áp dụng công thức biển đổi lorenxơ ta có:

1
c
1 2
2
c

tA

t 'A =
Tơng tự ta có:

x B vt B

x 'B =

3

c 3 2 3
.
2
c =0
1
2

v2 =
1 2
c
v
2 3 c 3
t B 2 xB


x 'D =

v2 =
1 2
c

3

c 3 2 3
.
2
c =0
1
2

v
2 3 c 3
xD
2 .3
c2
c
2c
=
= 3m
2
1
v
c
1 2


=> tA = t 'A

1

v2 + v
x A chú ý:
c2
c2

1
=> tA = 2 3 . + c 32 .1 = 3 3 m
c

2

2c
2c
2
v
Tơng tự ta có: tB = t 'B 1 v 2 + 2 x B
c
c
1
= 2 3 . + c 32 .3 = 5 3 m
2
c
2c
2c
2

2c = - 1,5
2
xB = xD =
v =
1
1 2
c
2

20

1

v2 = 1
2
c2


c. Tính kích thớc hình vuông trong hệ k. Xét trong hệ k: ta có diện tích
hình vuông.
s = (yB yD) (xB xA)
Xét trong hệ k diện tích hình vuông:
s= (y 'B y D' ) (x 'B - x 'A )
mà ta có: yB = y 'B ; yD = y 'D
nên

s
=
s'


đặt tại điểm B của đoàn tàu khi đó trùng với A chỉ 0h ymà thôi.
các đồng hồ đặt tại các điểm khác nhau trên tàu ta không thể thấy đợc.
b. Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga.
21

O
A

x

B
A

xB

B

x


*Theo quan điểm của ngời đứng trên
1

v2
c2

sân ga (hình a) đoàn tàu có chiều dài l0
Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga
thì đoàn tàu đi đợc một đoạn đờng
l0

v2
1 2
c

chú ý

2



= 2160 (s) = 36 (phút)
2

=

2,4.10 8
= 0,6
1
8
3.10

Theo câu a đối với ngời đứng ở đầu sân ga tất cả các đồng hồ đặt trên sân ga
đều chỉ nh đồng hồ ở A tức là đều chỉ 36 phút.
Ta có:

tB = tA =... = 36 phút.

Khi này tọa độ của đuôi tàu và đầu tàu trong hệ k là:
x A'


2
v
1 2
0,6
c

t A'
t A' ' =

(

)

22


v
xB'
2,4.10 8
2
36
.
60

.8,64.1011.0,6
c
8
=
= 1296 (s) = 21,6 (phút)
3.10

B

B

x
x


(Hình b)

x

11

l
8,64.10
= 0 =
= 3600 (s) = 60 (phút)
v
2,4.10 8

t B' '

Cũng nh quan sát viên đứng ở trên sân ga
ngời đó phải thấy mọi đồng hồ trên đoàn tàu cùng chỉ một giá trị.
t A' = t B' = ...= 60 phút
'

'


v2
1 2
c

t'B +

tB =

t 'A , t 'B là thời điểm tơng ứng của đầu sân ga và cuối sân ga theo đồng hồ
gắn với đoàn tàu, rõ ràng ta có:
t 'A = t 'B = t 'A ' = t 'B ' = 60 phút.
Nh vậy tB =

60.60 +

2,4.10 8

(3.10 )

8 2

(

. 3,456.1011

0,6

23

)

Nh vậy thời gian trôi đi:
l 0 8,64.1011
tB = =
= 3600 (s) = 60 (phút)
v
2,4.10 8

y

y

Theo câu a đối với ngời đứng trên sân
ga thì tất cả các đồng hồ đặt trên sân ga đều
chỉ nh đồng hồ ở B tức là.
tA = tB = 60 (phút)
Tọa độ của đầu tàu và đuôi tàu trong hệ k là:
x B = l0 = 8,64.1011

A

B

0

x

'

x A' = l0 (1 -


.
60

. 3,456.1011
c
2
8
=
3.10
v2
1 2
0,6
c

t A'
t A' ' =

(

)

(

24

)

= 4464 (s) = 74,4 (phút)



= 2160 (s) = 36 (phút)
y

- Theo quan điểm của ngời đứng ở
2

đầu tàu (hình d) sân ga có chiều dài l0 1 v 2 .
c

A x
A

Khi đầu tàu đi ngang qua cuối sân ga đoàn

B

o

2

tàu đi đợc l = l0 1 v 2 .

x

c

Nh vậy thời gian trôi đi là:
0

t

Đối với ngời này sân ga chuyển động với vận tốc v theo chiều ngợc lại
2

và do đó chiều dài của nó bằng: l0 1 v 2 .
c

Ta có tọa độ của đầu sân ga và cuối sân ga trong hệ k là:
2

x 'A = - l0 1 v 2 = - 8,64.1011 . 0,6 = -5,184.1011
c

x 'B = 0
Gọi t 'A , t 'B là thời điểm tơng ứng của đầu sân ga và cuối sân ga theo
đồng hồ gắn với đoàn tàu ta có:
t 'A = t 'B = t 'A' = t 'B ' = 36 (phút)
áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ta có:
v
2,4.10 8
x' A
2
36
.
60
+
. 5,184.1011
c
2
8
=