TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

LIÊU THỊ PHƢƠNG

TẬP LỒI TRONG Rn
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƢỜNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
n

Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài:

”, trước h t em in được bà t l ng bi t n
s u s c đ n c c th

c gi o trong t H nh h c, c c th

c gi o kho


Liêu Thị Phƣơng


LỜI CAM ĐOAN

Em in c m đo n kh

luận nà là k t quả c

h c tập và nghi n c u c ng với s gi p đ c
To n, đ c biệt là s hướng d n tận t nh c

em trong qu tr nh

c c th
th

c trong kho

gi o - Th.S, GVC

.
Trong qu tr nh làm kh

luận em c th m khảo nh ng tài liệu c

li n qu n đ được hệ th ng trong mục tài liệu th m khảo Kh

luận



tập hợp lồi ..... 11

tập lồi .......................................................... 11

2 2 Định l kell ................................................................................. 12
M t s bài tập ng dụng: .............................................................. 16
Chư ng 3:Ứng dụng m t s tính ch t tập lồi trong Rn trong giải m t
s bài to n h nh h c ................................................................................ 25
3 1 M t s bài to n được giải ch

u s dụng tính ch t c

tập

hợp lồi.................................................................................................. 26
3 2 M t s bài to n được giải b ng c ch l
dụng tính ch t c

b o lồi k t hợp s

tập hợp lồi ............................................................. 35

K T LU N ............................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
L thu t về tập hợp lồi trong to n h c là m t ph n kh ng thể

- Đ i tư ng nghi n c u: Ki n th c về tập lồi
- Ph m vi nghi n c u: M t s bài to n c
s dụng m t s tính ch t c

h nh h c giải b ng cách

tập hợp lồi

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tr nh bà c sở l thu t về tập hợp lồi và m t s tính ch t
- N u m t s phư ng ph p giải bài to n c
dụng tính ch t c

h nh h c b ng s

tập hợp lồi

5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghi n c u s dụng c c c ng cụ to n h c
- Nghi n c u s ch th m khảo, tài liệu c li n qu n

1


II. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. TẬP HỢP LỒI

1.1. Một số kiến thức bổ trợ
● Giả s A  Rn; x1, x2  A, khi đ đo n thẳng n i
cả nh ng điểm

và nh ng điểm ng với λ( λ  (0, 1)).
H i điểm

1,

kh c cả đo n thẳng

x2 g i là 2 m t c
1x2

g i là ở gi

do n thẳng
1

1,

x2 , nh ng điểm

và x2.

● Cho m + 1 điểm đ c lập Po, P1,....,Pm T bi t r ng m phẳng α đi
qu m + 1 điểm đ gồm nh ng điểm M s o cho( với điểm O nào đ )
m

OM

=



Tập hợp đ g i là m_đ n h nh với c c đ nh Po, P1,....,Pm và kí hiệu:
S(Po, P1,....,Pm).
● Cho m+1 điểm đ c lập Po, P1,....,Pm Tập hợp nh ng điểm M s o
cho:
m

PoM =


i 0

λi PoPi,

được g i là m_h p

2

λi  [0.1]


3


1.2. Định nghĩa tập lồi
Cho A là tập cho trước(tr n đư ng thẳng, m t phẳng ho c trong
kh ng gi n) Tập A  Rn được g i là lồi n u  x1, x2  A,  λ  R:
x1 + (1- )x2  A,  λ  [0.1]

x2
x1


x2,...,xm  X n u:
m

 λi ≥ 0 (i = 0.m .),


i 0

m

λi=1, sao cho x =

4


i 0

λix.

1,


1.3.2. Định lí: Giả s tập A lồi,
t hợp lồi c

1,

1,


A

- A lồi  A = coA.
1.4.1.2. Định lí: coA tr ng với tập t t cả c c t hợp lồi c
● Hệ quả: Tập A lồi khi và ch khi A ch

A

t t cả c c t h p lồi c

A

1.4.2. Bao lồi đóng:
1.4.2.1. Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c
ch

t t cả c c tập lồi đ ng

A được g i là b o lồi đ ng cả tập A Kí hiệu co A.
● Nhận ét: co A là tập lồi đ ng nh nh t ch

A

1.4.2.2. Mệnh đề: Giả s A  X lồi Khi đ :
i) Ph n trong intA và b o đ ng A c
ii) N u

1

A là c c tập lồi


● Giả s tập A  Rn đ ng và bị ch n Khi đ coA đ ng
Nghĩ là: coA = co A.
Đị

í

é d y:

Giả s A  Rn Khi đ mỗi điểm c
qu n+1 điểm kh c nh u c

tập coA là t hợp lồi kh ng

A

1.5. Nón lồi
1.5.1. Định nghĩa nón: Tập K  Rn được g i là n n c đ nh t i O n u:

x

K,  λ >0  λ K.

1.5.2. Định nghĩa nón lồi: N n K c đ nh t i O được g i là n n lồi n u
K là m t tập lồi, nghĩ là:

 x,y  K,  λ,  > 0  λ +  y
• Ví dụ:

n

 K.

● Hệ quả:
• Cho K là m t n n lồi N u

1

K, x2  K,..,xm  K và α1> 0, α2>

0, , αm> 0 Khi đ :
m


i 1

λixi  K.

• Giả s A là tập b t k trong Rn, K là tập t t cả c c t hợp t n tính
dư ng c

A Khi đ K là n n lồi nh nh t ch

6

A


1.5.3. Nón lồi sinh bởi một tập
Gi o t t cả c c n n lồi (c đ nh t i 0) ch


1.6. Tập affine và bao affine
1.6.1. Tập affine:
● Định nghĩa: Tập A  Rn được g i là tập ffine n u:
(1- λ ) + λ

A

 A,  λ  R ).
 Rn,

(  x,y

* Nhận xét: N u A là tập ffine th với

A + a ={ x + a: x  A} là tập ffine
● Mệnh đề: Tập M  Rn là kh ng gi n con khi và ch khi M là tập
ffine ch

0

● Hai tập affine song song:
Tập ffine A được g i là song song với tập ffine M n u  a  Rn
sao cho:

A M a
Kí hiệu: A // M

7




m ts

h uh n

c c si u phẳng
● Chiều của tập affine:
Chiều c

m t tập ffine kh ng rỗng được định nghĩ là chiều c

kh ng gi n con song song với n
Quy ƣớc: dim Ø = -1.
● Định nghĩa: Tập ffine ( n - 1) chiều trong Rn được g i là m t si u
phẳng
1.6.2. Bao affine và tổ hợp affine:
● Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Gi o c
là b o ffine c



Rn được g i

được g i là t hợp ffine c

c c điểm

t t cả c c tập ffine ch



i 1

8

λi =1 }.


Định nghĩa 3: Tập m+1 điểm bo, b1,...,bm được g i là tập ffine n u
aff{ bo, b1,...,bm } là m chiều
* bo, b1,...,bm đ c lập ffine  b1- bo....bm-bo đ c lập tu n tính
Khi đ :
▪ bo, b1,...,bm đ c lập ffine n u
m
m


0
.
 0


i bi
i
i 1
 i 1


 λo = λ1 = = λm = 0.
▪ N u bo, b1,...,bm đ c lập ffine, th m i

C c điểm bo, b1,...,bm được g i là đ nh c

đ n h nh

▪ Định lí: Giả s S là đ n h nh n_chiều trong Rn với c c đ nh bo, b1,...,bm.
Khi đ intS  Ø.
Định nghĩa 5: Chiều c

tập lồi A là chiều c

af fA.

Định nghĩa 6: Giả s A  Rn là tập lồi Khi đ dimA là c c đ i c
chiều c c đ n h nh trong A
1.7. Phần trong tƣơng đối
● Định nghĩa: Phần trong tƣơng đối của tập A  Rn là phần
trong của A trong af fA, kí hiệu là riA.
C c điểm thu c riA được g i là điểm trong tư ng đ i c
• Nhận ét:

A1  A2 
 riA1  riA2.
intA = {x  Rn :   > 0, x +  B  A}.

9

tập A


riA = {x  af fA :   > 0, (x +  B) aff  A }.


= riA2.


CHƢƠNG 2
ĐỊNH L KELL VÀ MỘT SỐ T NH CHẤT CƠ BẢN
CỦA TẬP HỢP LỒI

2.1. Một số tính chất của tập lồi
● í

ấ 1: Giả sử Aα  Rn (α

bất kì. Khi đó: A =



I

í

ấ

I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số

Aα là một tập lồi.

: Giả s Aα  Rn (α  I ) là c c tập lồi, I là tập ch s b t

k Khi đ : A =


a
E

11


ấ 3: Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi, λi  R (i = 1.m ) Khi đ :

● í

m


i 1

● í

λiAi là tập lồi

Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi Khi đ :

ấ

m


i 1

Ai là tập lồi

ch ng minh tư ng t
Giả s c n đo n thẳng [ i; bi], i = 1.n c tính ch t s u: B t k gi o
c

h i đo n thẳng nào trong ch ng c ng kh c rỗng, t c là:

[ai; bi]  [aj; bj]   ,  i  j.
n

T s ch ng minh:
i 1

ai, bi    .

T ch ng minh b đề s u:
[ai; bi]  [aj; bj]    min{bi, bj}  min{ai,aj}.
Thật vậ : Giả s [ai; bi]  [aj; bj]   , Khi đ  c  [ai; bi]  [aj; bj]

12


ai  c  bi
hay
a

c

b

j

1i n

1i n

min bi  c  max ai
1i n

1i n

 c  [ai; bi] ,  i = 1.n hay

n
i 1

ai , bi    .

Định lí kell trong kh ng gi n 1 chiều được ch ng minh
*Định lí Kelly trong kh ng gian 2 chiều R2:
Trong m t phẳng cho n h nh lồi (n  4) Bi t r ng gi o c
lồi b t k trong ch ng kh c rỗng Khi đ gi o c

b h nh

n h nh lồi c ng kh c

rỗng
Ch ng minh:
T ch ng minh b ng phư ng ph p qu n p theo s n c c h nh lồi
- Xét khi n = 4
G i F1, F2, F3, F4 là 4 h nh lồi s o cho gi o c

h i đư ng chéo

A1A2, A3A4.
Do

A1  F2  F3  F4 nên A1  F3
A2  F1  F3  F4 nên A2  F3

O

A4

A3

V F3 lồi, mà A2  F3 nên [A1, A2]  F3.
Do đ O  F3.

A2

Lập luận tư ng t su r O
Nghĩ là O 

4
i 1

• B o lồi c

Fi Do đ

 F2, O  F4

14

4
i 1

Fi  

A3


- Giả s k t luận c
-T

định lí Kell đ ng đ n n  4.

ét trư ng hợp c n+1 h nh lồi, t c c F1, F2,…,Fn h nh lồi

s o cho với b t k b h nh lồi nào trong ch ng đều c gi o kh c rỗng
Xét c c h nh s u:

F1'  F1
F2'  F2
…

Fn'1  Fn1
Fn'  Fn  Fn1
Rõ ràng Fi là h nh lồi i  1, n 1 (v Fi '  Fi )

Fn' c ng là lồi v n là gi o c


n p suy ra


* Tổng quát:( Đị

í Ke y

n

k ô

ều)

Giả s Ai  Rn , i = 1.m , m  n  1 là c c tập lồi Bi t r ng gi o c
n  1 tập Ai trong ch ng đều kh c rỗng Khi đ :
m
i 1

Ai  

 Một số bài tập ứng dụng:
Trong h nh h c t hợp th định l Kell là m t trong c c định l r t
quan tr ng Định l nà cho t m t điều kiện đ để nhận bi t khi nào m t
h c c h nh lồi c gi o kh c rỗng
Dưới đ
kh c rỗng c

là m t s bài to n h nh h c t hợp li n qu n đ n tính gi o
c c h nh lồi


là ph n b c

(1)

tập hợp A )

V Pi lồi n n Pi c ng lồi với m i i  1.4
Giả s phản ch ng r ng kh ng tồn t i b n
c c Pi ( i  1.4 ) mà 3 n

m t phẳng nà l p đ

kh ng gian.

Nghĩ là với m i i, j, k ph n biệt mà i, j, k

16

m t phẳng nào trong

{1, 2, 3, 4} th :


Pi  Pj  Pk  R2 hay Pi  Pj  Pk  

(2)

Theo qu t c Demorg n  Pi  Pj  Pk   (3)
Theo định lí Kell th t (3)  P1  P2  P3  P4  



Bi

Giả s h nh tr n b n kính R là ( Ai, j ,k , R ).
T c
ch

( Ai, j ,k , R ) c t c c h nh tr n Ai nên: Oi Ai, j ,k  R  Ri hay (Oi, Ri+R)
( Ai, j ,k , R ).

17


Do đ : ( Ai, j ,k , R )

Bi

Lập luận tư ng t t c ng c : ( Ai, j ,k , R )  Bj
( Ai, j ,k , R )  Bk
Do vậ Bi  Bj  Bk  
Su r theo định l Kell t c : B1  B2  ...  Bn  
Giả s A*  (B1  B2  ...  Bn )
n

Xét h nh tr n (A*, R). Do A* 

i 1

Bi  A*  Bi , i  1.n


Với mỗi Li ét t t cả c c đư ng thẳng c t Li.
C c đư ng thẳng đ c d ng y = aix + bi. ( ai 0 ), ( ai, bi R,  i  1.n )

18


Mỗi đư ng thẳng như vậ được đ c trưng bởi h i s (ai, bi) (H nh2)
y
Bi
2
i

y

yi1

Ai

O

x

( H nh 2)
N u g i Ai ( xi , yi1 ), Bi ( xi , yi2 ) th
thẳng song song =

ng với mỗi gi trị b t k c c đư ng

+ b với b   yi1  axi , yi2  axi  s c t Li, i  1.n .


ai

O

19

u


( H nh 3 )
Như vậ

ng với c c đo n thẳng Li, trong m t phẳng Ouv t c m t

h nh lồi Hi ,  i  1.n .
Mỗi điểm ( i, bi)  Hi đ i diện cho đư ng thẳng

=

ix

+ bi c t

đo n Li.
Theo giả thi t b t k b đo n Li, Lj, Lk, nào c ng c m t đư ng
thẳng c t b đo n
 C c h nh Hi, Hj, Hk, c điểm chung với mỗi b ba i. j, k.
Theo định l Kell th cả n h nh H1, H2,…, Hn, c điểm chung ( *, b*)
T c, t c đư ng thẳng y  a*x  b* là đư ng thẳng c t cả n đo n
L1, L2,…, Lnđpcm

Ci  Rn

Ci  Rn n n với tập comp c b t k Ci* i* 

T c :
i

Ci  Ci*

(2)

V kh ng gi n là h u h n chiều n n do Ci comp c t c Ci đ ng Do đ

C* mở
T (2), su r c m t ph h u h n ph Ci* , t c là  j  1.n sao cho

20


r
j 1

Ci j  Ci*

(3).

Theo qu t c Demorg n th t (3) t c :
r
j 1


k trong ch ng kh ng vượt qu 1 Ch ng minh r ng c thể ph ch ng
b ng m t h nh tr n b n kính R =

1
.
3
Giải

V theo bài r khoảng c ch gi

h i điểm

1
3

b t k trong ch ng kh ng vượt qu 1 n n kh ng
c b điểm nào thẳng hàng
Giả s c c điểm đ cho là Mi , i  1.n .
Khi đ : d (Mi , M j )  1 , i  j .
Xét c c h nh tr n Fi  (M i ,
L

t

1
) , i  1.n .
3

b điểm, giả s là M1, M2, M3.