SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT XUÂN THỌ
Mã
số : ……………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
VẬN DỤNG “BÀI TOÁN CƠ BẢN”
ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG MỘT SỐ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Nguyễn Bá Tuấn
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán 
- Phương pháp giáo dục 
- Lĩnh vực khác 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học : 2013 – 2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : Nguyễn Bá Tuấn
2. Ngày tháng năm sinh : 09 – 10 – 1968
3. Nam, nữ : Nam
4. Địa chỉ : 139 Hồ Thị Hương, TX. Long Khánh, Đồng Nai.
5. Điện thoại : (CQ)/ 0613. 870299 (NR); ĐTDĐ :
6. Fax : E-mail: [email protected]
7. Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán – Tin.
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12B1, 12B7
9. Đơn vị công tác : trường THPT Xuân Thọ
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Kỹ sư / Cử nhân

quan trọng là quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian. Đến
chương trình lớp 12, học sinh được học về thể tích khối đa diện và hệ tọa độ trong
không gian. Một trong những nội dung căn bản và khó của phần này là tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách :
1- Phương pháp trực tiếp bằng cách xác định hình chiếu vuông góc từ một
điểm đến một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) hoặc xác định đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
2- Phương pháp thể tích.
3- Phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày phương pháp trực tiếp để tính các
khoảng cách này bằng cách vận dụng kết quả của “bài toán cơ bản”. Đối với các bài
toán tính khoảng cách trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng cần phải vẽ
thêm hình, học sinh rất lúng túng không biết phải vẽ thêm như thế nào. Với định
hướng sử dụng kết quả của bài toán cơ bản, các em có thể dễ vẽ thêm được các
đường thẳng để có được ba đường thẳng đôi một vuông góc, từ đó xác định được
khoảng cách cần tính.
Chuyên đề này bao gồm 4 nội dung :
• Nội dung 1 : Bài toán cơ bản tính khoảng cách và cách tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng thông qua một điểm khác thuận lợi hơn.
• Nội dung 2 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Nội dung 3 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Nội dung 4 : Một số nhận xét
2
III- TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Các bài toán tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh
vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây. Hai dạng toán thường gặp là:
a) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.


⊥ ⊥

BC AH⇒ ⊥
Tương tự ta chứng minh được
AB CH⊥
và
AC BH⊥
, suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi
K AH BC= ∩
.
Trong tam giác vuông OBC, OK là đường cao nên :
2 2 2
1 1 1
OK OB OC
= +
(1)
Trong tam giác vuông OAK, OH là đường cao nên :
2 2 2
1 1 1
OH OA OK
= +
(2)
Từ (1) và (2), ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +


đồng dạng với
ACK∆
:
.
CK AC
k CK k BH
BH AB
= = ⇔ =
Hay:
( ,( )) . ( ,( ))d C k d B
α α
=
2- TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG :
Trong phần này, chúng tôi hướng dẫn học sinh vận dụng kết quả của bài toán
cơ bản ở mục 1 để tính khoảng cách, phương pháp giải được thực hiện qua các bước
như sau :
• Phân tích đề bài và chọn điểm cần tính khoảng cách (hoặc điểm có liên hệ với
điểm cần tính), sao cho có ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau cùng đi
qua điểm đó, trong nhiều bài toán cần phải vẽ thêm hình.
• Sử dụng kết quả của bài toán cơ bản để tính khoảng cách.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, góc
·
0
30ACB =
,
3.AC a=

( )SA ABC⊥
và
SA a=

1 1 1 1 1 1 1 7 21
3 3 7
a
d
d SA AC AD a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
21
( ,( ))
7
a
d A SBC =
Bài toán này còn được giải theo cách khác như sau :
4
Kẻ
( )AD BC D BC⊥ ∈
, tam giác
ADC
vuông tại
D
:
·
3
.sin
2
a
AD AC ACD= =
Kẻ
( )AH SD H SD⊥ ∈
( )SA BC BC SAD BC AH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

( )AH SD H SD⊥ ∈
, để từ
đó chứng minh
( ) ( ,( ))AH SBC d A SBC AH⊥ ⇒ =
, chỉ những em đã làm nhiều
bài tập và có kỹ năng thì mới nghĩ và làm được như vậy.
Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng
4 , 3 , 5 AC AD cm AB cm BC cm= = = =
.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
(Bài tập 5, trang 99, SGK Hình học 12)
Lời giải :
Tam giác ABC có :
2 2 2 2 2 2
3 4 5AB AC BC+ = + = =
nên tam giác ABC vuông tại A
AB AC⇒ ⊥
(1)
Theo đề bài cho :
( ) , AD ABC AD AB AD AC⊥ ⇒ ⊥ ⊥
(2)
Từ (1) và (2), suy ra AD, AB, AC đôi một vuông góc
a) Ta có,
3
1 1
. . 3.4.4 8 ( )
6 6
ABCD
V AB AC AD cm= = =

Gọi H là trung điểm của AB,
SAB
là tam giác đều
SH AB⇒ ⊥

Mặt phẳng
( ) ( )SAB ABCD⊥
theo giao tuyến AB
( )SH ABCD⇒ ⊥
.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
, , HO HB HS HB HO⇒ ⊥ ⇒
đôi một vuông góc.
Và
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))AB HB d A SBD d H SBD= ⇒ =
. Từ đó lời giải bài toán như sau:
Lời giải :
Gọi H là trung điểm của AB,
SAB
là tam giác
đều
SH AB⇒ ⊥
và
3
2
a
SH =
Mặt phẳng
( ) ( )SAB ABCD⊥
theo giao tuyến AB

'A
trên
( )mp ABC
trùng với trung điểm
H
của cạnh
BC
. Tính khoảng cách từ
C
đến mặt
phẳng
' 'ABB A
.
Lời giải :
Theo giả thiết tam giác
'A AH
vuông tại H và
·
0
' 60A AH =
. Ta có :
3
2
a
AH =
,
0
3
' .tan60
2

0
30SBC =
. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo
a
. (Đại học khối
D – 2011)
Lời giải :
Kẻ
( ),( ) ( )SH BC H BC SBC ABC⊥ ∈ ⊥
( )SH ABC⇒ ⊥
,
·
.sin 3SH SB SBC a= =
·
.cos 3BH SB SBC a= =
,
HC BC BH a= − =
Trong tam giác ABC, kẻ
//HK BA
HK HC⇒ ⊥
và
1
4
HK HC
BA BC
= =
3
4 4
BA a
HK⇒ = =

0
120BAD =
, M là trung điểm của cạnh BC và
·
0
45SMA =
. Tính theo
a

khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). (Đại học khối D – 2013)
Lời giải :
·
·
0 0
120 60BAD ABC ABC= ⇒ = ⇒ ∆
đều
3
2
a
AM⇒ =
Tam giác
SAM
vuông tại A, có
·
0
45SMA =
SAM⇒ ∆
vuông cân tại A
3
2

3- TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU :
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó. Vì vậy, nếu như ta xác định được đoạn vuông góc
7
chung đó thì coi như đã tính được độ dài đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên, việc xác
định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào cũng
dễ dàng. Hơn nữa trong nhiều bài toán người ta chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định đoạn vuông góc chung.
Đối với những bài toán khó xác định đoạn vuông góc chung, người ta thường
chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
d
và
2
d
về các bài
toán sau: (xem Nhận xét trang 117, SGK Hình học lớp 11).
a) Nếu
1
//( )d P
và
2
( )d P⊂
thì
1 2 1
( , ) ( ,( ))d d d d d P=
Với A là điểm bất kỳ thuộc
1
d
, do

Sách giáo khoa đã giải bằng cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau SC và BD. Dưới đây chúng tôi trình bày cách giải bằng chuyển
sang tính khoảng cách từ SC đến mặt phẳng chứa BD và song song với SC, sau đó sử
dụng kết quả của bài toán cơ bản như sau :
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là trung
điểm của SA
Ta có :
// , ( ) //( )
( , ) ( ,( ))
OM SC OM MBD SC MBD
d SC BD d SC MBD
⊂ ⇒
⇒ =
( ,( )) ( ,( ))d C MBD d A MBD d= = =

(do
)OA OC=
Theo giả thiết, ta có
, , AM AB AD
đôi một
vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
d AM AB AD a a a
= + + = + +
6
6
a
d⇒ =
.

trên
mặt phẳng
( )ABCD

⇒
góc giữa
'A B
và
( )ABCD
là góc
·
0
' 60A BA =
Trong tam giác vuông
' :A AB
·
0
' .tan ' .tan60 3AA AB A BA a a= = =
Gọi
O AC BD= ∩
Ta có :

' // '
' //( ' )
' ( ' )
A B D C
D C A BD
A B A BD

⇒

Ví dụ 3 : Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có
·
0
, 2 , 30AB a BC a ACB= = =
, hình
chiếu vuông góc của
'A
trên
( )mp ABC
trùng với trọng tâm
G
của tam giác
ABC
,
góc giữa
'AA
và
( )mp ABC
bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
' 'B C
và
'A C
.
Lời giải :
Gọi D là trung điểm của BC

kẻ
// ( )GH AC H BC∈
,
// ( )GK AB K BC∈
Ta có :
GK GH⊥
,
1 3 1
,
3 3 3 3
a a
GH AC GK AB= = = =
Do
', , GA GH GK
đôi một vuông góc nên :
9
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 3 9 51 2
' 4 4
51
a
d
d A G GH GK a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
6 2 51
( ' ', ' ) 3
17
51
a a

·
SCH
là góc giữa SC và mp(ABC), nên
·
0
60SCH =
2 2
7
3
a
HC HD CD= + =
0
21
.tan60
3
a
SH HC= =
Trong mp(ABC) kẻ
//At BC
, kẻ
( )HE AB E At⊥ ∈
,
0
2 3
.tan 60
3
a
HE HA= =
//( )BC SAE
và

tam giác vuông cân tại B,
2AB BC a= =
, hai mặt
phẳng
( )SAB
và
( )SAC
cùng vuông góc với mặt
phẳng
( )ABC
. Gọi M là trung điểm của AB, mặt
phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N.
Biết góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )ABC
bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SN theo
a
. (Đại học khối A – 2011)
Lời giải :
( )SAB
và
( )SAC
cùng vuông góc với
( )ABC
( )SA ABC⇒ ⊥

AD AN a⇒ = = =
Do
// // ( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AB DN AB SDN d AB SN d AB SDN d A SDN d⇒ ⇒ = = =
Ta có
, , SA AD AN
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 13 2 39
12 2 2 12 13
a
d
d SA AD AN a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy :
2 39
( , )
13
a
d AB SN =
Ví dụ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc
·
0
120BAD =
, SO ⊥ (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Lời giải :
a) Kẻ OH ⊥ CD.

. 3
. .
4
OC OD a
OH CD OC OD OH
OH
= ⇒ = =
Trong tam giác vuông SOH :
·
0
3 3
.tan .tan60
4 4
a a
SO OH SHO= = =
Đặt
( ,( ))d d O SCD=
, do
, , SO OC OD
đôi một
vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 4 4 64
9 3 9d SO OC OD a a a a
= + + = + + =
3
8
a
d⇒ =
. Vậy :

. ' ' 'ABC A B C
đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = =
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
' 'A C
,
I
là giao
điểm của
AM
và
'A C
. Tính khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng
( )IBC
. (Đại học khối D – 2009)
Lời giải :
Kẻ
' ( ' )AH A B H A B⊥ ∈
( ' ')
'
BC AB
BC ABB A BC AH
BC AA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


5
a
d A IBC =
• Nhận xét : Nếu trong mặt phẳng (ABC), kẻ
( )AD AC D BC⊥ ∈
để có được
' , , A A AC AD
đôi một vuông góc, rồi sử dụng kết quả của bài toán cơ bản để tính
khoảng cách thì lời giải trở nên dài dòng, phức tạp hơn.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AD
,
H
là giao điểm của
CN
với
DM
. Biết

, do đó
( , )d DM SC HK=
2
2 2 2
5
4 2
a a
CN CD DN a= + = + =
13
CHD∆
đồng dạng
2
2
5
CD a
CDN HC
CN
∆ ⇒ = =
Trong tam giác vuông
SHC
,
HK
là đường cao nên:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 19
3 4 12HK SH HC a a a
= + = + =

2 57
19

BA BC a= =
, cạnh bên
' 2AA a=
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng
AM
và
'B C
. (Đại học khối D – 2008)
2- Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
·
0
30ABC =
, SBC là tam
giác đều cạnh
a
và mặt bên
( )SBC
vuông góc với đáy. Tính theo
a
khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). (Đại học khối A, A1 – 2013)

AD
và
SB
theo
a
.
6- Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng
a
,
·
0
120ABC =
,
' 2AC a=
. Gọi O là giao điểm của
AC
và
BD
,
E
là giao điểm của
'A O
và
'AC
. Tính theo
a

3- Các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
4- Một số tài liệu trên Internet.
VII- PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT
Thời gian làm bài : 45 phút
Câu 1 (5,0 điểm): Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật ABCD,
2 , AB a BC a= =
,
( )SA ABCD⊥
. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy (ABCD) bằng
0
45
. Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho
2MD MC=
. Tính theo
a
khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng
( )SBM
.
Câu 2 (5,0 điểm): Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
2AC AB a= =

MDN∆
1
2
BC MC
DN MD
⇒ = =
2 2DN BC a⇒ = =
,
3AN AD DN a= + =
1,5
Ta có :
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

, suy ra góc giữa
( )SBC
và
( )ABCD
là góc
·
0
45SBA =
SAB⇒ ∆

( )
BM AH
BM SAH BM AK
BM SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( ) ( ,( ))
AK BM
AK SBM d A SBM AK
AK SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

1,0
Ta có :
2
2 2 2
4 13
9 3
a a
BM BC MC a= + = + =
. 6
. .

Trong tam giác vuông
, SAH AK
là đường cao nên :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 13 11 3 22
4 36 18 11
a
AK
AK SA AH a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy
3 22
( ,( ))
11
a
d A SBM =
1,0
2
5,0 đ
Cách 1:
1,0
2 2 2 2
4 5BH AB AH a a a= + = + =
( )SH ABC⊥ ⇒
HB
là hình chiếu vuông góc của
SB
trên
( )mp ABC
Suy ra góc giữa

AC
HD HA a= = =
0,5
17
Ta có
, , SH HA HD
đôi một vuông góc nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 31 465
15 15 31
a
d
d SH HA HD a a a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy
2 465
( , )
31
a
d BC SA =
1,5
2
5,0 đ
Cách 2:
1,0
2 2 2 2
4 5BH AB AH a a a= + = + =
( )SH ABC⊥ ⇒
HB
là hình chiếu vuông góc của


⊥

( ) ( ,( ))
HK SD
HK SAD d H SAD HK
HK AD
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

1,0
Ta có
// //( ) ( , ) ( ,( ))BC AD BC SAD d BC SA d BC SAD⇒ ⇒ =
( ,( ))d C SAD=
Do
2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2CA HA d C SAD d H SAD HK= ⇒ = =
Suy ra:
( , ) 2d BC SA HK=
0,5
AHD∆
vuông cân tại
D
nên
2
2
2
HA a

Tổng số HS
dự kiểm tra
Điểm kết quả
Ghi chú
8 đến 10 5 đến < 8 3 đến < 5 0 đến < 3
Số bài 40 24 14 2 0
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
NGUYỄN BÁ TUẤN
19