Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

2015 -2016

ĐỀ THI HSG LỚP 9 –
QUẬN 9 (2015-2016)
Bài 1: (1,5 điểm)

Thời gian: 120 phút

 x 1
xy  x  
xy  x
x 1 
Rút gọn biểu thức : A  

 1 :  1 


 xy  1 1  xy
 
xy  1
xy  1 

 
Bài 2: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)  2x 2  3x  1 2x 2  5x  1  9x 2

 x, y  1

 xy  x  y  7

Trang 1

Học Sinh Giỏi Lớp 9 –

–

Quận 9


Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long

2015 -2016

Hướng Dẫn Giải:

ĐỀ THI HSG LỚP 9 –
QUẬN 9 – (2015-2016)
Bài 1: (1,5 điểm)
 x 1
xy  x  
xy  x
x 1 
Rút gọn biểu thức : A  

 1 :  1 


 xy  1 1  xy
 
xy  1







 1
1 
x 1 


 xy  1
xy

1





2 xy
2
:
1  xy 1  xy
1
=
xy
=

Bài 2: (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:






 xy  x  y  7
z  1  4
z  1  4

 y  1 z  1  12



  x  1  2 hay  x  1  2
 yz  y  z  13   y  1 z  1  12  
zx  x  z  7

 z  1 x  1  8
y 1  3
 y  1  3



 z  1 x  1  8
 x  1 y  1 z  1  24






y x
y x
2

x y
x y
x y
 x y  x y

x 2 y2
Ta có: 2  2  3     4  0      3     2  0     1   2   0
y x
y x
y x
y x
 y x  y x

2
2
2
2
x  y   x  y   x  y
x 2  y2  xy x 2  y 2  2xy



0 
 0 (bất đẳng thức đúng
2 2
xy

4
4
1
19
1
19
17
Từ (1) và (2), ta suy ra: 3ab   8   3ab   1  8   1  P 
ab
4
ab
4
4
17
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
. Dấu ‘’=’’ xảy ra khi a  b  .
4
2

Ta có: P  a 3  b3 

Bài 4: (2,5 điểm)
Trong ABC lấy điểm O sao cho ABO  ACO . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O lên AB, AC.

A
K

N
H

OH
Ta có:

OB sin OBH OH OA sin OAH sin OAB




OK
OC
OK OA sin OAK sin OAC
sin OCK

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, HK. Chứng minh rằng: MN vng góc với HK.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OB, OC.
Dễ chứng minh được tứ giác MEOF là hình bình hành.  MEO  MFO
OEH  2OBA
Ta chứng minh được: 
mà OBA  OCA (gt) nên OEH  OFK
OFK

2OCA


MEO  MFO
 MEO  OEH  MFO  OFK  MEH  MFK
Ta có : 
OEH

OFK