Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TRONG GIẢI TOÁN
Lời mở đầu
Máy tính là một công cụ đắc lực trong việc giải toán nói chung và dạng thức thi trắc nghiệm nói
riêng
Đặc biệt đối với dạng thức thi trắc nghiệm, máy tính gần như là vũ khí sống còn và chúng ta
càng hiểu càng thành thạo máy tính, càng biết nhiều thủ thuật giải toán bao nhiêu thì cơ hội chiến
thắng của chúng ta mới càng cao.
Các em học sinh chuẩn bị ôn thi đại học đã được tiếp xúc với máy tính từ rất lâu tuy nhiên đa số
học sinh vẫn chưa khai thác hết kho tính năng khổng lồ của máy tính để phục vụ công việc giải
toán. Chính vì thế,tài liệu này ra đời nhằm cung cấp cho các em những tính năng máy tính nổi
bật và gần gũi nhất với đối tượng học sinh ôn thi đại học
Chuyên đề này tập trung khai thác về các tính năng ưu việt của máy tính Casio 570-VN Plus.
Casio 570-VN Plus được nâng cấp từ dòng máy ES Plus, bổ sung thêm 36 tính năng, tốc độ tính
toán nhanh và chính xác. Hiện nay đây là loại máy phổ biến và được đánh giá là sự lựa chọn tối
ưu cho các em học sinh, sinh viên. Những tính năng được cung cấp trong chuyên đề nay mang
tính đại diện, giới thiệu chứ không phải cá biệt nên các em hoàn toàn có thể tìm hiểu các chức
năng tương đương đối với các dòng máy tính mà em đang sử dụng như Casio: FX 95, FX 220,
FX 500A, FX 500 MS, FX 500 ES, FX 500VNPlus, FX 570 MS, FX 570 ES và FX 570 ES Plus;
VinaCal 500MS, 570 MS và 570 ES Plus; Vietnam Calculator VN-500RS; VN 500 ES; VN
570 RS, VN 570 ES; Sharp EL 124A, EL 250S, EL 506W, EL 509WM; Canon FC 45S,
LS153TS, F710, F720,…vv
Đặc biệt, tài liệu phân tích đan xen các dạng toán đa dạng xuất hiện trong cả đề thi tự luận và trắc
nghiệm các năm gần đây, rèn luyện tư duy hai chiều cho các em học sinh: giải trắc nghiệm để
tìm ra hướng đi cho bài tập tự luận, giải theo cách tự luận để tìm ra phương án tối ưu nhất cho thi
trắc nghiệm.Vậy nên, nếu các em đang hướng đến cả hai kì thi Đánh giá năng lực và Kì thi trung
học phổ thông quốc gia thì tài liệu này vẫn hoàn toàn phù hợp. Dù đang ôn thi theo bất cứ hình
thức nào, các em vẫn sẽ tìm thấy những bí kíp hay cho riêng mình trong chuyên đề này.

CÁCH SỬ DỤNG TÀI LIỆU
Kí hiệu

Ý nghĩa

[SHIFT]

Mô tả phím cần bấm trên bàn phím

(Sto)

Chú thích cho phím trước đó

[=2=3]

Nhiều phép bấm đơn giản được gộp lại

Facebook: />Group: />
- Trang | 2 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

I. Chức năng tìm nghiệm của phương trình [SHIFT + SOLVE]
SOLVE dùng Luật Newton để xấp xỉ nghiệm phương trình và chỉ được dùng trong phương thức
COMP Mode 1
Cách làm tổng quát: Nhập phương trình f(X) vào màn hình chính, đưa vào giá trị khởi đầu của X
và đợi máy tính đưa ra nghiệm

D. M(5,3, 2)

Lời giải:
Để tránh trường hợp phải thay từng đáp án dễ xảy ra nhầm lẫn khi tính nhẩm đại số hay mất công
trình bày như tự luận
Ta có thể nhìn nhanh đề bài và nhập vào máy biểu thức sau
‘’ 2(X 4)  4(5  2 X)  3.
với X chính là ẩn t (

5 X 1
 8 ‘’ và ấn [SHIFT SOLVE] , giá trị khởi đầu X=0
2

x  4 5  y 2z 1


t )
1
2
5

Máy giải ra X=1 thấy luôn x=5 chọn ngay đáp án D !

Với các bài toán hình học giải tích không gian phức tạp hơn, theo tác xác định giao điểm giữa
đường thẳng và mặt phẳng có thể cần được sử dụng nhiều lần. Việc nhìn đề bài, nhân chéo và
thao tác ngay trên máy sẽ rút ngắn được thời gian đáng kể thay vì đi thử đáp án hoặc trình bày ra
nháp dưới hình thức tự luận.

x  1 t


D.330

Lời giải :
+ Nhập vào màn hình phương trình: XC0  XC1  XC 2  56 [SHIFT SOLVE]
 Để tránh trường hợp phải đợi lâu khi máy tính xấp xỉ nghiệm thì các em nên tập kĩ năng
đoán nghiệm ngay khi đọc đề bài, cụ thể ta thấy C8  28;C9  36; C10  45;... và thường
thì XC2 lớn nhất nên ta sẽ chọn giá trị khởi đầu lớn một chút từ 9,10,11,..
2

2

2

Khi đó ta có X=10
+Tiếp tục nhập phương trình 7 X  4(10  X )  26 [SHIFT SOLVE]
 Đây chính là thao tác xác định i sao cho

x7i .

1
x

4(10 i )

 x 26

Khi đó ta có X=4
4
+ Đáp số là C10  210 (A)


1 Y
1
 3)10   C10Y .(a6 
) .(3)10 Y   (3)10 Y (  CYX .a6 X .
)
a
a
( a )Y  X
Y 0
Y 0
X 0

Nhìn rất phức tạp tuy nhiên khi nhập biểu thức vào máy thì lại rất đơn giản :

6X 

YX
2

 16 [SHIFT SOLVE] !

Hiểu một cách đơn giản, khi em nhập hai ẩn X,Y vào máy, máy tính sẽ coi Y là tham số và X là
ẩn, và máy sẽ hỏi bạn muốn gán Y bằng bao nhiêu trước khi giải X

Facebook: />Group: />
- Trang | 3 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn


là số vô tỉ.
*TH1 :

f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm hữu tỉ

Phân tích đa thức thành nhân tử f ( x)  ( x  A).g ( x); g (x) là hàm bậc ba, và máy hoàn toàn giải
được hàm bậc ba bằng cách đưa vào EQN( Mode 5, 4)
VD1: Số nghiệm của phương trình

f ( x)  x 4  (1  2) x3  ( 2  3) x 2  (2 2  1) x  2 là
A.1

B.2

C.3

D.4

*TH2: f ( x)  0 có toàn nghiệm vô tỉ
Facebook: />Group: />
- Trang | 4 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

Ta sẽ tìm cách phân tích được hàm đã cho thành tích của hai đa thức bậc hai có nghiệm vô tỉ

f ( x)  (x 2 +a'x+b').(x 2 +c'x+d')



2


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1  2
Cách 2 : Thường các bài toán trong kì thi đại học, thi thử thì phương trình sẽ không quá phức
tạp, hệ số đều nguyên
Khi đó ta sẽ áp dụng hệ thức Viet để làm bài toán, tìm ra ba nghiệm đầu tiên,gán cho ba biến
A,B,C ta sẽ thử lần lượt A.B ; B.C ; A.C để xem tích nào là số nguyên
Giả sử A.B nguyên khi đó f(x) sẽ phân tích được thành một hạng tử như sau

x2  ( A  B) x  AB Các em chia đa thức để tìm hạng tử còn lại và lại tiếp tục đưa vào EQN để
giải phương trình bậc hai
VD3: Giải phương trình y  x 4  x3  2 x 2  3x  1
Nhập biểu thức X  X  4 X  X  1 , [SHIFT SOLVE]
4

3

2

Thử với X=0, ra nghiệm X=0.4142135624… Shift RCL(Sto) (-) (A) (gán nghiệm này cho biến
A)
Thử với X=-3, ra nghiệm X=-2.41413562… Shift RCL (Sto) (-) B
Thử với X=2 , ra nghiệm X=1,618033989.. Shift RCL (Sto) (-) C
Tính A.B, B.C, C.A thì thấy AB=-1 và A+B=-2 nên phân tích đa thức thành nhân tử sẽ có (
x2  2 x 1 )
 y  ( x2  2 x  1).( x2  x  1) giải phương trình ta có bốn nghiệm tất cả


2
3. Phương trình có bậc từ năm trở lên
1
33
5
9
VD5: Giải phương trình 3x5  x 4  x3  15 x 2  x  =0
2
2
2
2
-Nhập: 3 X 5 

X 4 33 X 3
5X 9

 15 X 2 
 [ = ] [SHIFT SOLVE]
2
2
2 2

(Bậc càng cao máy sẽ giải càng lâu, nên nếu máy giải lâu các em cứ để đó và lấy máy tính
khác ra làm bài khác nhé )
-Nhập X  0 ra X  1 Shift RCL(Sto) (-) A (lưu lấy nghiệm này là A )

X 4 33 X 3
5X 9

 15 X 2 


Khi bạn gõ
3

33: 2X
1:(2+3)sin(30)
6 : 2 : 5e
1
2
3

Ứng dụng máy tính trong giải toán

Máy tự động chuyển thành
33: (2 X 3 )
1: ( (2  3)sin(30) )
6 : (2 ) : (5e)
1
2( )
3

Ngoài ra các em cũng nên lưu ý trình tự tính toán khi nhập các biểu thức

Facebook: />Group: />
- Trang | 7 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Facebook: />Group: />


2
B. 
 x    k

4



x

 k

2
C. 
x    k 

8
2

Cách 1: Thử đáp án, ta sẽ thử với các đáp án có

 x  k
D. 
 x    k
8






B  6 x2 y  13 XY 2  2Y 3 18Y 2  10 XY  3Y 2  87 X 14Y 15

[SHIFT SOLVE] Y  1000, X 

333
 X  2005
2

Với y=1000 thì B  2991(2 X  333)( x  2005)
mà 2005  2.1000  5; 333 

1000  1
; 2991  1000.3  3.3 nên ta dự đoán
3

Facebook: />Group: />
- Trang | 10 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

B  (3 y  9)(2 x 

Ứng dụng máy tính trong giải toán

y 1
)( x  2 y  5) (thay 1000 bằng Y )
3



x  y 1

Thử phân tích (1) theo x-y=1 ta có
(1  y )[ x  y  1]  ( x  y  1)(1  y )  0
 (1  y )( x  y  1)(1  y  x  y  1)  0
y 1
 
x  y 1

Thế x=y+1 vào (2) ta có 2 y 2  3 y  2  1  y  y  (0;1)
Đến đây có thể mày mỏ đưa về dạng liên hợp nhưng sẽ khó và phức tạp nên chúng ta có thể bình
phương lên, chuyển thành phương trình bậc bốn, làm theo cách làm đã quen thuộc ở mục 2
( phần I), giới hạn nghiệm trong khoảng (0,1)

Facebook: />Group: />
- Trang | 11 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

II. Phương thức Véc tơ (MODE 8 – VECTOR )
Tính toán liên quan đến vecto được sử dụng rất nhiều trong các bài toán hình học giải tích,
chúng ta nên khai thác triệt để các chức năng đó để làm các bài toán hình giải tích không gian,
hình phẳng Oxy bằng cách đưa máy tính về phương thức VECTOR (8 MODE )
Ta điểm qua một số phương thức hay dùng khi sử dụng máy tính

Trong đó phương thức tính toán mặc định là COMP


Cộng trừ hai véc tơ

Tích vô hướng

Giá trị tuyệt đối của VT
Góc tạo bởi hai véc tơ

Facebook: />Group: />
- Trang | 13 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

Một số thao tác liên quan đến véc tơ
1. Gán véc tơ, cộng trừ các véc tơ
Ví dụ ta gán véc tơ (1,2) cho biến VctA và (3,4) cho VctB

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(3,5,7), B(2,1,6) và trọng tâm G(2,2,4). Khi dó điểm C có tọa
độ là :
A.(-1,0,1)

B.(1,3,-1)

C(1,0,-1)

D.(1,1,-1)


70
(đvtt)
3

D.

70
(đvtt)
6

1
Ta đã biết công thức sau : VTứdiện ABCD = [AB, AC].AD (*)
6

Gán AB(2, 2, 3) cho VctA; Gán AC (4, 0, 6) cho VctB; Gán AD(1, 5,1) cho VctA
Tính giá trị biểu thức (*) bằng cách bấm máy như sau:
[(] [SHIFT] [5] [3] [x] [SHIFT] [5] [4] [)][SHIFT] [5] [7] (Dot) [SHIFT] [5] [5]

Facebook: />Group: />
- Trang | 15 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

[:] [6]
Khi đó biểu thức hiện ra như sau (VctA x VctB) . VctC :6 !
Kết quả ra là


Facebook: />Group: />
- Trang | 16 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng  : x  2 y  z  4  0;  : x  y 2  z  0 Tìm góc tạo bởi


A.30o

B.45o

C.60o



và

D.900

Lời giải :
[MODE][8][1][1][1] : Mở VctA gán (1,  2,1)
[SHIFT][5][2][2][1] : Mở VctB gán (1, 2, 1)
Viết biểu thức tính toán
[SHIFT][cos]

[SHIFT][5][3] [SHIFT][5][7](Dot) [SHIFT][5][4] [:] [(]

Cộng trừ nhân chia, phép lũy thừa
Số phức liên hợp
Tính giá trị tuyệt đối của số phức

Facebook: />Group: />
- Trang | 18 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

VD1: Giải phương trình
A.12  60i

Ứng dụng máy tính trong giải toán

z
3(5  i)4

1  i (2  3i)3

B.4  20i

C. 10  2i

D.  30  6i

Bấm máy tính giải ra được z  12  60i đáp án A
VD2: Số phức z 
A.1  i



2
. Số phức liên hợp của z là :
1 i 3
B.1  i 3

C.1  i 3

1
3
D.  i
2
2

Bấm máy : [SHIFT] [2] [2] (sau đó nhập 2 : (1  i 3) ) [=]
Kết quả:

1
3

i đáp án A.
2 2

Facebook: />Group: />
- Trang | 19 -


Luyện thi ĐHQG HN – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Ứng dụng máy tính trong giải toán


IV. Giải bất phương trình INEQ (MODE 1)
Dạng của
bất phương trình
Bậc hai :
aX2  bX  c
Bậc ba:
aX3  bX 2  cX  d

Dấu của
bất phương trình
f ( x)  0
f ( x)  0
f ( x)  0
f ( x)  0

Hiển thị nghiệm




X

2

5 x 8

 x  2
C. 
1  x  3



1
là:
625
 x  1
D. 
x  3

Lời giải:

0, 04 x 2 x
3

2

5 x 8



1

0  x  5

x  5
C. 
 2  x  0

D. x  (2,5) 0

Lời giải:
Bài này có một cách là thử đáp án, tuy nhiên để tránh những sai sót có thể xảy ra do nhầm lẫm,
nhẩm sai,.. thì ta có thể giải ra nghiệm chính xác trong một lần bấm máy
Hàm số đã cho xác định 

x 2  3x  10
 x( x 2  3x  10)
 0
 0   x3  3x 2  10 x  0
2
x
x

 x  2
Bấm máy giải ra nghiệm : 
(đáp án B)
0  x  5
VD3. Hàm số y  (m  1) x4  (m3  2m2  4m) x2  m5  m4  1 có ba điểm cực trị khi:

1  x  1  5

A.  x  1  5

 x  5x  6  0
 x 2  11x  30

Facebook: />Group: />
- Trang | 23 -