Igas Bộ GIÁO DỤC VÀ
3 ĐÀO TẠO
121—] TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN
Lâm Hữu Phước

Tri thức là vốn quý nhất của loài người. Càng lên cao, vai trò và công
sức của những người thầy càng quan trọng.
CÔNG THỨC QUY NET
, VÀ
Luận văn này được hoàn tất là nhờ sự tổng hợp khá nhiều kiến thức
MỘT VÀI ỨNG DỤNG
từ các môn trong suốt các khóa học, mà trong đó, cũng nhờ quý thầy
đã tận tình hướng dẫn em nắm bắt được. Nhân đây em xin gửi lời cảm
ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học.

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp

Xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


4

MỤC LỤC

trang
Trang phụ bìa......................................................................................... 2

1.2.1.

Các định nghĩa.................................................................... 11

1.2.2.

Một số mệnh đề.................................................................. 12

Tích tenxơ giữa các môđun........................................................ 13
1.3.1.

Định nghĩa.......................................................................... 13


5
1.4.2.

Tích xoắn các nhóm aben................................................... 17

Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ
EILENBERG - ZILBER
2.1.

19

Tích tenxơ giữa các phức................................................................ 19
2.1.1.

Định nghĩa.......................................................................... 19



Một vài mệnh đề bổ trợ...................................................... 39

3.1.2.

Công thức Quy net ............................................................ 47

3.1.3.

Trường hợp đặc biệt đối với nhóm aben............................ 51

Một vài ứng dụng của công thức Quy net.................................. 55
3.2.1.

Định lý hệ tử phổ dụng....................................................... 55

3.2.2.

Luật kết hợp của hàm tử Tor .............................................. 56

3.2.2.

Tính đồng điều kì dị của không gian tích . . . .

62

KẾT LUẬN................................................................................................ 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 68



Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Phức và đồng điều
1.1.1.

Các định nghĩa

• Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R môđun là họ
{Kn, dn} gồm các R—mô đun Kn và các R—đồng cấu dn : Kn —>
Kn_ 1 được cho theo tất cả các số nguyên n, — oo < n < oo, hơn
nữa dn o dn+i = 0. Điều kiện sau cùng này tương đương với đòi hỏi
Kerớn D Imôn+1. Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu:
K

--------

trong đó, tích hai đồng cấu hên tiếp bằng 0.

• Chu trình n chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn(K) =


9

• Nếu K và K' là các phức thì một biến đổi dây chuyền / : K —*■ K'
là họ các đồng cấu môđun {/n : Kn —*■ K'n, n e Z } sao cho &nfn =
ỉn- A với mọi n.
f* = H n ( f ) :

K".



đồng

điều

Hn(X)

=

0

khi

n

>

0

và

H 0 ( X ) — c. Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ
ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh). Nếu 7 : c —> c' là đồng cấu, £ : X —> c
là phức xạ ảnh trên c và s' : X' —► c' là phép giải của c', thế thì tồn
tại biến đổi dây chuyền f : X —> X', hơn thế £r o fo = 7 o £ và bất kỳ hai
biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân.

1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị
0

• Trường hợp p là một điểm, ánh xạ liên tục : X —> p cảm sinh


13
Mệnh đề 1.6. Cho sn là mặt cầu trong không gian Euclide,
sn = {x£ Rn+1, ||z|| = 1}
Khi đó, ta có:
0 nếu k Ỷ n
7L nếu k = n

1.3.1.
1.3. Tích Định
tenxơnghĩa
giữa các
môđun

• Tích tenxơ hai môđun: Cho XR và RY là các môđun phải và môđun
trái trên cùng một vành hệ tử R. Tích tenxơ của các môđun X và
Y là nhóm aben nào đó, kí hiệu X Y, sao cho có ánh xạ song
tuyến tính r : X X Y —> X Y mà đối với bất kỳ ánh xạ song
tuyến tính (f : X X Y —»■ G (với G là nhóm aben), luôn tồn tại duy
nhất đồng cấu / : X <S>R Y —ỳ G thỏa mãn = / o T (r được gọi là
ánh xạ tenxơ).

• Tích tenxơ của hai đồng cấu: Cho / : XR —> X'R là đồng cấu các
R—môđun phải, g : RỴ —> ỵỴ' là đồng cấu các R—môđun trái. Ta
định nghĩa tích tenxơ của hai đồng cấu / và g, kí hiệu: / 0 g là
đồng cấu nhóm aben từ X (g> X' vào Y 0 Y' sao cho ta có:



nghĩa

1.2.

Cho

Tích xoắn các môđun

GR

là

R—môđun

phải

và

RC

là

R—môđun

trái,

ta xác định Tor^(ơ, c) là tập tất cả các bộ ba: t = (/i, L, v\ Trong đó,
L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, ỊJL : L —» ơ, ỉ/ :
ư —*■ ơ là các biến đổi dây chuyền (xem ơ, c là phức tầm thuờng,


bé

toàn hệ thức trên.
(01,02) 1—> 91 + 92

(ci,c2) I—> C1+C2

nhất

bảo


16
2. Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R—môđun
phải và R—môđun trái đến phạm trù các nhóm aben.
Mệnh đề 1.9. Bộ ba (/i,L,zi) trong Torn cộng tính theo Ị1 và V, chẳng
hạn:
(/Xi + /12, L, ư) = (/11, L, ư) + (/12, L, ư)
Định lý 1.6. Tồn tại đẳng cấu tự nhiên G c — Tor0(ơ, C).

Đối với dãy khớp ngắn E = (x, ơ) : A------------*■ B —c và phần tử t =

E:

0--------A--------- B-----»c—-0

là phức độ dài 71 — 1, có được khi bỏ môđun Ln khỏi L và
đặt:

A là phép giải xạ ảnh của môđun RA. Khi
đó, với môđun GR, ta có đẳng cấu:
Tor n ( G , A ) ^ H n ( G ® Y )
1.4.2. Tích xoắn các nhóm aben

Các nhóm aben được xem là Z—môđun, do đó, nó cũng có định nghĩa
về hàm tử Tor tương tự như môđưn. Tuy nhiên, ở đây, phức L có thể
chọn là phức (Z) (các hạng tử đều là Z). Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Cho G là nhóm aben và f : A —)• B là đơn cấu nhóm aben.
Khi đó,

/* : Tori(ơ,i4) —► Tori (