BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thanh Hoành
NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ
SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT
CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thanh Hoành
NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ
SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT
CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................... 1
2. Khung lý thuyết tham chiếu .................................................................................. 4
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ............................................................................ 4
4. Phương pháp nghiên cứu và giới hạn của luận văn................................................ 5
5. Nội dung nghiên cứu ............................................................................................ 5
5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 5
5.2. Cấu trúc luận văn............................................................................................ 6
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH
XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN
HỌC ........................................................................................................................... 7
1.1. Chướng ngại gắn với khái niệm xác suất............................................................ 7
1.2. Kết luận ........................................................................................................... 20
Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ........ 22
2.1. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ........................................... 22
2.1.1. Phép đếm trong sách Đại số và giải tích 11 ................................................ 22
2.1.2. Phép thử - Biến cố - Xác suất .................................................................... 38
2.2. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao ............................ 70
2.3. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu ............................................................. 80
Chương 3. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 82
3.1. Giới thiệu thực nghiệm .................................................................................... 82
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 82
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................... 83
3.2. Thực nghiệm cho giáo viên .............................................................................. 83
3.2.1. Bộ câu hỏi thực nghiệm cho giáo viên ....................................................... 83
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 86
3.2.4. Kết luận ..................................................................................................... 90
3.3. Thực nghiệm cho học sinh ............................................................................... 90
Trong những năm gần đây đề thi đại học luôn có ra xác suất, những năm trước
câu này ra một điểm trong phần chung của đề thi. Năm 2014 đề thi đại học môn toán
cả ba khối A-A1, B và D đều có ra xác suất và câu này có số điểm là 0,5. Chúng tôi
ghi lại cụ thể đề toán khối A –A1 năm 2014 như sau:
Câu 4b. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ.
Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn
Trên báo Thanh Niên ra ngày 14/7/2014, tác giả Ngô Thanh Sơn có viết về bài
toán trên với tựa đề “Làm đúng nhưng khác đáp án có được điểm không?” Lời giải và
thang điểm bài toán trên của Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra như sau:
2
Tác giả cho rằng: Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra hoàn toàn chính xác. Tuy
nhiên, nếu học sinh hiểu theo hướng chọn theo thứ tự khi đó lời giải bài toán như sau:
Số cách chọn 4 thẻ theo thứ tự trong 16 thẻ là A164 = 43680 cách. Số cách chọn 4 thẻ
chẵn theo thứ tự trong 8 thẻ chẵn là A84 = 1680 cách. Vậy xác suất chọn được 4 thẻ
chẵn là
1680
1
và cách làm này cũng đúng.
43680 26
Bài viết trên của Ngô Thanh Sơn – một giáo viên đang dạy tại Trung tâm luyện
thi Vĩnh Viễn (thành phố Hồ Chí Minh) – cho thấy vẫn còn có những cách hiểu khác
nhau về một bài toán xác suất vốn được xem là quen thuộc trong chương trình phổ
thông. Những cách hiểu khác nhau này chưa được người soạn chương trình và tác giả
Và kết quả khảo sát 40 học sinh của tác giả thì có 35 học sinh chọn lời giải 2 sai.
Nhưng không có học sinh nào giải thích được lời giải 2 sai ở đâu. Từ đó, chúng tôi đặt
câu hỏi: Có phải sách giáo khoa hiện hành chưa cung cấp công cụ phù hợp để học sinh
phát hiện sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?
Tổng quan về các đề tài đã có:
Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trung học phổ thông của tác giả
Vũ Như Thư Hương (2005). Tác giả cho rằng: Với cách trình bày sách giáo
khoa toán 11(thí điểm) không nhấn mạnh tính hợp thức của xác suất cổ điển
( đồng khả năng) và xem nhẹ xác suất thực nghiệm dẫn đến học sinh gặp sai
lầm khi tính xác suất cổ điển cho các biến cố không đồng khả năng.
Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song
ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam của tác giả Trần Túy An (2007). Trong
luận văn này, tác giả đã chỉ ra rằng: Giáo viên ưu tiên dạy xác suất cổ điển
mặc dù trong phân tích của luận văn tác giả khẳng định xác suất thực
nghiệm và xác suất cổ điển bổ trợ cho nhau. Từ đó, tác giả khẳng định học
sinh gặp khó khăn khi tính xác suất các biến cố ngẫu nhiên. (học sinh tính
theo công thức xác suất cổ điển mặc dù bài toán đưa ra không hợp thức).
Từ những ghi nhận trên và tham khảo các đề tài đã có, chúng tôi chọn đề tài Nghiên
cứu về những khó khăn và sai lầm của học sinh khi tính xác suất của một biến cố ngẫu
nhiên ở trung học phổ thông để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.
4
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc
vận dụng các lý thuyết khái niệm sau đây:
- Lý thuyết nhân học didactic. Cụ thể, chúng tôi sử dụng khái niệm "tổ chức toán học",
“tổ chức didactic”, “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “chuyển đổi sư phạm”.
- Lý thuyết tình huống: Chúng tôi sử dụng khái niệm phân tích tiên nghiệm, phân tích
Tiếp theo, chúng tôi phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên và đưa ra giả thuyết
nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi thiết kế thực nghiệm để kiểm tra giả thuyết nghiên
cứu của mình.
5. Nội dung nghiên cứu
5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học
xác suất ở lớp 11, nhất là những điều kiện và ràng buộc của việc kiểm tra tính đúng
đắn của một kết quả tính xác suất.
6
5.2. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm 5 phần:
MỞ ĐẦU
Trong phần này, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và tổng quan một số
luận văn khóa trước, khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và nội dung nghiên cứu.
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH XÁC
SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN HỌC
Trong chương này, chúng tôi tổng hợp một số khó khăn và sai lầm khi tính xác
suất của một biến cố ngẫu nhiên đã gặp trong lịch sử toán học thông qua một số tài
liệu đã nghiên cứu. Đặc biệt là trong quyển sách dạy học xác suất ở trung học phổ
thông của tác giả Lê Thị Hoài Châu (2012)
Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích hai bộ sách giáo khoa hiện hành
đó là sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS>11CB) và sách Đại số
và giải tích 11 nâng cao (ĐS>11NC).
Chương 3. THỰC NGHIỆM
ta thường gặp.
Nhưng khi vượt ra khỏi tình huống ấy thì nó sản sinh ra câu trả lời sai. Để có câu trả
lời đúng cho một ( hay những) tình huống tổng quát hơn cần có sự thay đổi đáng kể trong
kiến thức hay quan niệm. Nói cách khác, việc loại bỏ kiến thức, quan niệm ấy là cần thiết,
là yếu tố cấu thành nên tri thức mới.
Thế nhưng, kiến thức, quan niệm này lại cản trở sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện
hơn.
Hơn thế, ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức hay quan
niệm ấy, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng trong những tình huống mới.
Theo tác giả.
Các chướng ngại được Brousseau (1976) phân loại theo nguồn gốc của chúng. Chướng
ngại sinh ra do chuyển hóa sư phạm được gọi là chướng ngại sư phạm. Chướng ngại khoa
học luận là chướng ngại gắn liền với tri thức, và do đó mà việc dạy học không thể tránh
khỏi, dù với cách chuyển hóa sư phạm nào.
Theo Girard J-C.(1997), những chướng ngại , khó khăn mà việc dạy học xác suất phải
đương đầu khá đa dạng và có nhiều nguồn gốc khác nhau.
Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), những chướng ngại khoa học luận gắn liền với
xác suất liên quan đến các khái niệm ngẫu nhiên và xác suất. Ngoài ra, còn có những
khó khăn trong việc chuyển hóa sư phạm khái niệm xác suất, những chướng ngại gắn
phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất. Chính vì
thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là « tiếp cận đại số tổ hợp ».
-
Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ
cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính
được xác suất mà không cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác
suất theo định nghĩa của Laplace là “xác suất chủ quan” hay “ xác suất tiên nghiệm”.
•
Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique):
-
Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối
của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép
thử.
-
Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là « xác suất khách quan » vì giá trị
của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm.
Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép
giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không
và thỏa mãn một hệ tiên đề.
Từ các cách tiếp cận trên, chúng tôi quan tâm đến cách tiếp cận theo Laplace và
Thống kê. Vì đây là hai cách tiếp cận rất phù hợp với học sinh THPT.
Xác suất của một biến cố theo Laplace là ”tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số
tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Vậy số tất cả các trường hợp có thể xảy ra là số
như thế nào? Số tất cả các trường hợp thuận lợi là số như thế nào? Để tìm hiểu vấn đề
này chúng tôi phân tích một số tri thức luận của khái niệm xác suất.
Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có ghi vấn đề xác suất
như sau:
Định nghĩa 1.1. Một không gian xác suất là một tập hợp Ω, cùng với:
1) Một họ S các tập con của Ω, thỏa mãn các tính chất sau:
Ω ∈S,và nếu A, B ∈S thì A ∪ B ∈S, A ∩ B ∈S và
= Ω \ A ∈S. Một họ như vậy
được gọi là một đại số các tập con của Ω.Trong trường hợp Ω là một tập có vô hạn các
phần tử, thì chúng ta sẽ đòi hỏi thêm điều kiện sau: Nếu Ai , i =1, 2, 3,... là một dãy vô
hạn các phần tử của S, thì
i 1
Ai cũng thuộc họ S. Với thêm điều kiện này, S được
gọi là một sigma-đại số. Các phần tử của S được gọi là tập hợp con đo được của
không gian xác suất.
2) Một hàm số thực P : S→ R trên S, được gọi là độ đo xác suất trên Ω, thỏa mãn các
tính chất sau:
2 , φ(Si)= S, φ(Hi)= H. Tất nhiên, khi ta chia nhỏ sự kiện S ra thành nhiều sự kiện
(không giao nhau) S1 , S2 ,..., thì không phải vì thế mà xác suất của nó thay đổi. Nói
cách khác, ta phải có P(S)= P(φ-1(S))= P(∪iSi)= P( Si ) (1.12)
i
Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ φ :(Ω1, P1) → (Ω2, P2) từ một không gian xác suất (Ω1, P1)
vào một không gian xác suất (Ω2, P2) được gọi là một ánh xạ bảo toàn xác suất nếu nó
bảo toàn độ đo xác suất, có nghĩa là với mọi tập con B ⊂ Ω1 đo được, ta có
P1(φ−1(B))= P2(B) (1.13).
Từ những tri thức xác suất được trình bày trên chúng tôi ghi nhận các vấn đề này
trong xác suất Laplace như sau:
Trong một không gian xác suất thì tập hợp các kết quả có thể có chính là tập không
gian mẫu . Mỗi phần tử không gian mẫu có tính chất đều nhau. Nghĩa là nếu tập
không gian mẫu có n phần tử thì xác suất mỗi phần tử đó là 1/n. Về mặt cấu trúc mỗi
11
phần tử đó là như nhau (nếu phần tử này có phân biệt thứ tự thì phần tử kia cũng có
phân biệt thứ tự).
Tập các phần tử thuận lợi của biến cố A là tập con của không gian mẫu. Do đó,
phần tử ở không gian mẫu và phần tử của biến cố A có cùng cấu trúc.
Nếu mỗi phần tử trong không gian xác suất thứ nhất được biến đổi về nhiều phần
tử trong không gian xác suất thứ hai và các phần tử này có cùng cấu trúc thì xác suất
của chúng không thay đổi.
Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất D’Alembert đã giải bài toán “Tung hai
đồng xu liên tiếp, tính cơ hội nhận được ít nhất một mặt ngửa” như sau:
D’Alembert cùng một lúc đưa ra hai mô hình. Mô hình thứ nhất gồm 3 kết quả
có thể (N-S, N-N, S-S), ông nói rằng xác suất cần tìm là 2/3. Trong mô hình thứ hai
mặt là 12/48 =1/4. Khi nói gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền thì chúng ta thường hiểu là ba
đồng tiền phân biệt hoặc ba đồng tiền lần lượt để khi liệt kê không gian mẫu trùng với
kết quả có của trường hợp này. Vì khi liệt kê gieo cùng lúc ba đồng xu giống nhau
{ SSS, SSN, NNS, NNN } ta thấy kết quả SSS và NNN trùng với kết quả gieo ba
đồng tiền phân biệt. Do đó, những phần tử còn lại phải tuân theo cấu trúc gieo ba đồng
tiền phân biệt. Nhưng số phần tử không gian mẫu khi gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền là
8 biến cố sơ cấp chứ không thể là số khác.
Khi tính xác suất chúng ta phải thừa nhận sự ngẫu nhiên. Vì cùng một hiện tượng
như nhau thì hiện tượng ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Do đó, nó làm
cho cảm giác của chúng ta không chắc chắn khi tính xác suất của một biến cố. Những
bài toán mà trong lịch sử phát triển xác suất thường gặp rơi vào nghịch lý loại 2 ( một
lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn). Chúng tôi phân tích bài toán
dạng này và cách giải quyết đã gặp trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất hoặc
trong dạy học thực tiễn mà các đề tài đã nghiên cứu trong hai phần dưới đây.
Bài toán Méré. Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có viết
về bài toán này như sau:
Hiệp sĩ de Méré (tên khai sinh là Antoine Gombaud (1607-1684), là nhà văn và nhà
triết học người Pháp) là một nhân vật lịch sử nghiện đánh bạc. Ông ta hay chơi súc
sắc, và nhận thấy rằng trong hai sự kiện sau:
A = “Tung một con súc sắc 4 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên 6”, và
B = “Tung một đôi súc sắc 24 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên một đôi 6”,
13
thì B ít xảy ra hơn A.Tuy nhiên ông ta không giải thích được tại sao. Theo ông ta thì
đáng nhẽ hai sự kiện đó phải có khả năng xảy ra bằng nhau, vì 24=6×4. Ông ta bèn
hỏi bạn mình là nhà toán học và triết học Blaise Pascal (1623-1662), vào năm 1654.
Pascal lúc đó đã “từ bỏ toán ”, nhưng có nhận lời suy nghĩ về câu hỏi của de Méré.
Sau đó Pascal viết thư trao đổi với Pierre de Fermat (159?-1665), một luật sư đồng
14
có thể có và các trường hợp thuận lợi. Lời giải thứ hai xét riêng 2 đồng xu đầu với
đồng xu thứ ba.
Lời giải 1: Các kết quả có thể có: SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN. Các
kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét: SSS, NNN. Xác suất cần tính: 2/8 = ¼.
Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, khi tung 3 đồng xu, có ít nhất 2 đồng xu rơi
xuống cùng mặt. Để cả 3 đồng xu rơi xuống cùng mặt, cần và đủ là đồng xu thứ ba có
cùng mặt với hai đồng xu đầu. Vậy xác suất cần tính là ½.
Hai kết quả khác nhau nên không thể cả hai lời giải đều cùng đúng. Lời giải 1 liệt kê
đủ các trường hợp có thể có và các trường hợp thuận lợi, huy động định nghĩa cổ điển
của xác suất nên là một lời giải đúng. Vậy, lời giải 2 sai. Sai lầm của lời giải 2 là đã
thay đổi điều kiện của bài toán: ½ là xác suất để 3 đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã
có 2 đồng tiền cùng mặt. Học sinh có phát hiện được sai lầm của lời giải 2 không?
Theo Trần Túy An (2007), để thuận lợi cho liệt kê các trường hợp gieo 3 hoặc 4
đồng tiền thì sách song ngữ Pháp-Việt đã cung cấp cách liệt kê sơ đồ cây cho học sinh.
Với cách liệt kê này học sinh dễ liệt kê không để sót phần tử. Bên cạnh đó, chúng tôi
thấy nó có thể giúp học sinh phát hiện được sai lầm lời giải 2 do thay đổi điều kiện của
bài toán.
Bên cạnh những khó khăn như các bài toán nghịch lý loại 2 đã nêu trên, thì trong
lịch sử phát triển lý thuyết xác suất còn gặp khó khăn các bài toán khác rơi vào nghịch
lý loại 1 và nghịch lý loại 3. Theo Trần Lương Công Khanh (2013) tác giả có ghi như
sau:
Trong toán học, thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với
trực giác thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng
dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2). Trong lý thuyết xác suất, tồn tại những bài toán
có nhiều kết quả khác nhau phụ thuộc vào cách hiểu (hợp thức hoặc không) đề bài đã
cho. Do lạm dụng ngôn ngữ, ta gọi chúng là nghịch lý loại 3.
n
365 (365 n 1)!
365 (365 n 1)!
n
dụng phần mền Maple để vẽ đồ thị và tìm được n = 23 thì P(A) 0,50729. Đồ thị được
thể hiện như sau:
Hình 1.1. Đồ thị hàm số f(n)= 1
365!
365 (365 n 1)!
n
16
Hoặc chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả P(A) với n = 23 trên chức năng calculator ở
chế độ khoa học trong Windows trên máy vi tính của chúng ta.
Căn cứ vào hình 1.1, chúng ta thấy với một nhóm 57 người thì xác suất hai người
cùng ngày sinh nhật là 0,99. Điều này trái với trực giác thông thường của chúng ta.
Tác giả Trần Lương Công Khanh (2013) đã khảo sát 35 học sinh về bài toán trên thì có
34 học sinh cho rằng kết quả n = 23 thì xác suất của chúng vào khoảng (0;0,25). Cụ
thể nội dung khảo sát như sau:
Phiếu số 1 gồm hai câu hỏi sau đây:
Câu hỏi 1: Có bạn nào trong lớp có cùng ngày, tháng sinh với em không?
Câu hỏi 2: Không tính toán, em hãy phỏng đoán xác suất để trong một nhóm 23
người, có 2 người có cùng ngày, tháng sinh (đánh dấu vào ô tương ứng với khoảng giá
trị phỏng đoán):
(0; 0,25)
+ 26/35 học sinh cho rằng xác suất chỉ thể hiện một khả năng nào đó chứ không có gì
chắc chắn. Một phản ví dụ của 26 học sinh này là “lớp em có 35 người (đông hơn 23
người) nhưng không ai có cùng sinh nhật với em.”
+ 9 học sinh còn lại dùng mô hình tần suất để giải thích nghịch lý sinh nhật. Theo đó,
xác suất gieo một con súc sắc được 6 chấm là 1/6 không có nghĩa là cứ 6 lần gieo thì
có 1 lần được 6 chấm. Điều này có nghĩa là khi số lần gieo n đủ lớn thì số lần xuất
hiện 6 chấm sẽ gần với n/6. Đối với nghịch lý sinh nhật, khi số người n 366, ta luôn
tìm được ít nhất 2 người có cùng ngày tháng sinh (theo nguyên lý Dirichlet).
Chúng tôi rút ra những nhận xét sau từ khảo sát trên:
- Tuyệt đại đa số học sinh ước lượng P(A) < 0,5. Điều này cho thấy khó xem xét biến
cố A bằng trực giác thông thường.
- Việc học sinh quan niệm rằng xác suất là khả năng không chắc chắn cho thấy sự cần
thiết phải đi tìm ý nghĩa của xác suất trong những tình huống cụ thể.
- Với tiếp cận tần suất, học sinh giải thích một cách chặt chẽ ý nghĩa của 1/6 khi cho
n (trường hợp gieo 1 con súc sắc) nhưng không giải thích được ý nghĩa của
0,5073 (trường hợp nghịch lý xác suất).
- Học sinh đã xem xét xác suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với
ngày tháng sinh của một người cho trước (chẳng hạn của mình) thay vì xem xét xác
suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với ngày tháng sinh của một
người bất kỳ.
Từ các nhận xét trên của tác giả, chúng tôi ghi nhận và giải thích rõ ràng hơn nữa
các vấn đề sau:
Học sinh xem xác suất để một người nào đó trùng với ngày sinh của mình thay vì xem
xác suất hai người bất kì cùng ngày sinh. Mà xác suất này ứng với 23 người là rất thấp.
Cụ thể chúng tôi giải lại bài toán này như sau: Gọi B = “Tồn tại 1 người có cùng ngày
18
365
chúng ta vì 253 > 365/2.
Nghịch lý Betrand: Theo Trần Lương Công Khanh (2013) nghịch lý này được tác
giả viết như sau:
Nghịch lý Betrand được nhà toán học Pháp Joseph Bertrand (1822-1900) phát biểu
năm 1888 trong quyển Calcul des probabilités (Phép tính xác suất), nghịch lý liên
quan đến bài toán sau: Trên đường tròn (O, 1), dựng ngẫu nhiên một dây cung MN.
19
Tính xác suất để MN có độ dài lớn hơn
3 (độ dài cạnh tam giác đều nội tiếp).
Xác suất cần tìm là tỉ số diện tích đường tròn nhỏ và đường tròn lớn. Do đó kết quả là ¼.
Khi cách chọn dây cung được xác định, bài toán có lời giải duy nhất. Khi chưa xác
định cách chọn dây cung, thuật ngữ “ngẫu nhiên” trong “chọn ngẫu nhiên một dây
cung trên đường tròn” trở thành mơ hồ. Ba lời giải của Bertrand ứng với ba cách chọn
dây cung khác nhau và ta không có lý do để ưu tiên hoặc bác bỏ lời giải nào. Ngoài
đường kính, một dây cung hoàn toàn được xác định bởi trung điểm của nó. Một cách
khác để chọn dây cung ngẫu nhiên là xem xét phân phối trung điểm dây cung. Hai lời
giải đầu tạo ra hai phân phối không đều, khác nhau. Lời giải thứ ba tạo ra một phân
phối đều các trung điểm ở miền trong của đường tròn. Có thể xây dựng các phân phối
khác và thu được các xác suất khác. Giáo viên có tính đến sự phụ thuộc của xác suất
vào các lựa chọn ngẫu nhiên?
20
Copyright: Tài liệu đại học ©