BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình. Đó là,
cha mẹ và hai em tôi đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, là hậu phương vững chắc giúp tôi yên
tâm hoàn thành khóa học.
Trịnh Ngọc Ẩn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

Trang

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ ................ 10
1.1. Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx .................................................................. 13
1.2. Tiếp cận định nghĩa vi phân ............................................................................ 14
1.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 14
1.2.2. Định nghĩa các vi phân ............................................................................. 17
1.3. Phân tích các tổ chức toán học ........................................................................ 20
1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 30
Chương 2. PHÂN TÍCH CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG ....... 34
2.1. Phân tích chương trình .................................................................................... 34
2.2. Phân tích sách giáo khoa ................................................................................. 35
2.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 35
2.2.2. Định nghĩa vi phân ................................................................................... 36


Chương trình

GT_M:

Giáo trình Mỹ

HS:

Học sinh

KNV:

Kiểu nhiệm vụ

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

SGK_CB:

Sách giáo khoa giải tích 11 cơ bản

SGK_NC:

Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao

Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của HS trong câu hỏi 1c ............................................. 76
Bảng 3.6. Thống kê câu trả lời của HS cho đề về tính gần đúng trong câu hỏi 1c .... .. 77
Bảng 3.7. Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 2 ........................................ 79
Bảng 3.8. Thống kê các chiến lược giải của các nhóm ở pha 1 ................................... 81


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang
Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến ............................................ 3
Hình 1.1. Qui trình mô hình toán học ......................................................................... 11
Hình 1.2. Minh họa định nghĩa các vi phân ................................................................ 19


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
 Từ các kết quả khoa học luận
Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử toán học của Howard Eves (1969) “phép lấy vi
phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán vẽ các tiếp tuyến của các đường cong
và tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số” [5, tr.375].
Theo Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “mặc dầu có nhiều nhà toán
học dần tiếp cận với các phép tính vi – tích phân, nhưng Newton – Leibniz mới được
coi là người phát minh ra phép tính vi – tích phân một cách độc lập” [1, tr.23].
Tiếp tuyến và đạo hàm cổ điển đi đôi với nhau và gắn liền với hai nhà toán học
Newton, Leibniz. Tuy nhiên tiến trình xây dựng hai khái niệm này của hai nhà toán
học khác nhau:
-

sinh khái niệm vi phân như thế nào?
 Từ các kết quả nghiên cứu thể chế Việt Nam
Sách giáo viên Đại số và Giải tích lớp 11 (bộ cơ bản) của tác giả Trần Văn Hạo
(tổng chủ biên) (2010) có đoạn viết như sau: “Theo quy định của chương trình, trong
sách giáo khoa khái niệm này chỉ được đưa ra một cách nhẹ nhàng, chủ yếu là để có
kí hiệu sử dụng sau này” [6, tr.175]. Như vậy làm sao để giới thiệu vi phân “một cách
nhẹ nhàng”? Những ý nghĩa nào học sinh sẽ hình thành với cách tiếp cận “nhẹ nhàng”
của SGK về khái niệm này?
Khi tìm vi phân của một hàm số y  f  x  , ta chỉ cần áp dụng công thức
dy  f '  x  dx một cách hình thức. Như vậy, vi phân và đạo hàm có gì khác nhau?

Vi phân là một bài cuối cùng của chương trình 11 và ứng dụng của vi phân là
tính gần đúng của hàm. Trong khi đó, hiện nay công cụ máy tính hỗ trợ việc tính gần
đúng, như vậy tại sao học sinh phải học vi phân?
1.2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài
Đầu tiên, chúng tôi xem xét một số nghiên cứu về khái niệm đạo hàm (chủ đề
gần với nghiên cứu của chúng tôi) trong một số luận văn thạc sĩ cùng chuyên ngành.


Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp

tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm
Trước hết, tác giả nêu đặc trưng khoa học luận về mối quan hệ của tiếp tuyến và
đạo hàm qua 4 giai đoạn. Kết quả nghiên cứu của tác giả đã cho thấy Leibniz xây dựng
các vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến như sau:


3

Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến

thí điểm bộ 2 lớp 11 và SGK thí điểm bộ 2 lớp 12).
Cuối cùng, tác giả nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng tính thích đáng của giả
thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,
giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine
không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”.


Luận văn thạc sĩ của Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về

khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông


4
Tác giả nghiên cứu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong một số giáo trình bậc
đại học. Tiếp theo, tác giả phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông
của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm
này qua các thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp nhất (năm 2000) và lớp 11, 12 hiện hành để
thấy được những ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam trên khái niệm đạo hàm.
Bên cạnh đó, chúng tôi còn tìm thấy những kết quả liên quan đến luận văn của chúng
tôi, đó là hai kiểu nhiệm vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm vi phân của hàm số y = f(x)”.
Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính gần đúng một giá trị”.

Đối với kiểu nhiệm vụ “tính gần đúng một giá trị”, tác giả nhận xét như sau:
Vấn đề tính gần đúng nhờ vi phân chưa thực sự được thể chế quan tâm. SGK_CB
đưa ra khái niệm vi phân chỉ nhằm mục đích giới thiệu kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥, nhằm
phục vụ cho chương tiếp theo là Nguyên hàm và Tích phân. Trong các lời giải mà
SGK và SBT đề nghị cũng không nêu rõ cách chọn x0 và x thế nào [13, tr.51]?

Chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả này trong phần phân tích các tổ chức toán học liên


hiệu đạo hàm, chứ không mang nghĩa là một thương.


14
1.2. Tiếp cận định nghĩa vi phân
1.2.1. Hoạt động tiếp cận
Trước khi đưa ra khái niệm vi phân, giáo trình giới thiệu phép xấp xỉ tuyến tính
một cách trực quan thông qua việc quan sát đường cong và đường thẳng tiếp tuyến
trong khoảng lân cận của tiếp điểm có hoành độ a.
Chúng ta nhìn thấy đường cong nằm rất gần một đường thẳng tiếp tuyến tại điểm
tiếp xúc. Thật ra, bằng cách phóng to xung quanh một điểm trên đồ thị của hàm
khả vi, chúng ta nhận thấy rằng đồ thị trông càng giống như đường thẳng tiếp
tuyến. Quan sát này là cơ sở cho một phương pháp tìm giá trị gần đúng của hàm.

Ý tưởng là ta có thể dễ dàng để tính được một giá trị 𝑓(𝑎) của một hàm, nhưng lại
khó (hoặc ngay cả không thể) tính các giá trị tại lân cận a của 𝑓. Vì vậy, chúng ta
chuyển sang tính một cách dễ dàng các giá trị của hàm tuyến tính L có đồ thị là
đường thẳng tiếp tuyến của 𝑓 tại (𝑎, 𝑓(𝑎)). (xem hình 1)


15
Nói cách khác, chúng tôi sử dụng đường thẳng tiếp tuyến tại (𝑎, 𝑓 (𝑎)) là một xấp
xỉ với đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) khi 𝑥 gần 𝑎. Một phương trình của đường thẳng tiếp
tuyến này là
𝑦 = 𝑓 (𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
và xấp xỉ

f  x   f  a   f '  a  x  a 
được gọi là xấp xỉ tuyến tính hay xấp xỉ đường thẳng tiếp tuyến của 𝑓 tại 𝑎. Hàm

và vì thế chúng ta có f 1  2
2 x3

giá

trị

này

vào

phương

trình

L  x   f  a   f '  a  x  a 

Chúng ta có hàm tuyến tính hóa là
L  x   f 1  f ' 1 x  1  2 

Tương
4.05 

ứng

xấp

xỉ

7 1.05

Xấp xỉ tuyến tính được minh họa trong hình 2. Chúng ta thấy, trên thực tế, các
đường tiếp tuyến xấp xỉ là một xấp xỉ tốt từ hàm số đã cho khi 𝑥 gần 1. Chúng ta
cũng thấy xấp xỉ của chúng là ước lượng trên bởi vì đường tiếp tuyến nằm trên
đường cong.
Tất nhiên, một máy tính có thể cho chúng ta xấp xỉ của

3.98 và

4.05 nhưng

xấp xỉ tuyến tính cho một xấp xỉ trên toàn bộ một khoảng.
Trong bảng dưới đây chúng ta so sánh ước lượng từ xấp xỉ tuyến tính trong ví dụ
1 với giá trị đích thực. Chú ý từ bảng này và cũng từ hình 2, mà đường xấp xỉ
tuyến tính cho ước lượng tốt khi 𝑥 gần 1 nhưng tính chính xác của xấp xỉ sẽ không
còn nữa khi 𝑥 xa 1
𝑥

Từ 𝐿(𝑥)

Giá trị thực

3.9

0.9

1.975

1.97484176…

3.98


2

2.25

2.23606797…

6

3

2.5

2.44948974…
[16, tr.251]