BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Dương Văn Tú
DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Dương Văn Tú
DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
SGK:
Sách giáo khoa.
THPT:
Trung học phổ thông.
THCS:
Trung học cơ sở.
CĐSP:
Cao đẳng Sư phạm.
ĐHSP:
Đại học Sư phạm.
KNV:
Kiểu nhiệm vụ.
TCTH:
Tổ chức toán học.
GV:
Giáo viên.
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1. Bảng các tổng tương ứng ............................................................................... 15
Bảng 1.2. Bảng giá trị vận tốc ........................................................................................ 18
Bảng 1.3. Bảng tóm tắt các KNV ................................................................................... 35
Bảng 1.4. Bảng tóm tắt các KNV ................................................................................... 47
Bảng 2.1. Bảng giá trị vận tốc (km/h) ............................................................................ 54
Bảng 2.2. Bảng giá trị vận tốc (m/s)............................................................................... 54
Bảng 2.3. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 1 ..................................................... 66
Bảng 2.4. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 2 ..................................................... 71
Bảng 2.5. Bảng so sánh kết quả thực nghiệm câu 1 và câu 2 .......................................... 76
Bảng 2.5. Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 3 ..................................................... 77
DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 1.1. Quy trình mô hình hóa toán học ..................................................................... 11
Hình 1.2. S = {(x ; y) a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} ............................................................... 12
Hình 1.3. Diện tích A của các miền đa giác ................................................................... 13
Hình 1.4. S = {(x; y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2} .................................................................. 14
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.................................................... 1
1.2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài ............................ 2
1.3. Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu ..................................................................... 5
2. Khung lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu ............................................. 5
3. Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu .................................................... 6
3.1. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 6
3.2. Lợi ích của nghiên cứu ...................................................................................... 6
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 6
5. Cấu trúc của luận văn............................................................................................ 7
CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC
TOÁN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ................................... 8
1.1. Khái niệm tích phân trong một giáo trình của Mỹ .............................................. 8
1.1.1. Tiếp cận khái tích phân bằng bài toán tính diện tích .................................. 11
1.1.2. Định nghĩa tích phân xác định .................................................................. 18
1.1.4. Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm ................................................ 19
1.1.5. Các tổ chức toán học ................................................................................. 27
1.1.6. Một số kết quả về phân tích giáo trình Mỹ ................................................ 34
1.2. Khái niệm tích phân trong chương trình, giáo trình Việt Nam ......................... 35
1.2.1. Khái niệm tích phân trong chương trình vi tích phân hàm một biến .......... 35
1.2.2. Khái niệm tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến ............... 36
1.2.3. Các tổ chức toán học ................................................................................. 43
1.2.4. Một số kết quả về phân tích chương trình, giáo trình Việt Nam................. 47
1.3. So sánh việc dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình của Mỹ
và Việt Nam .................................................................................................... 48
1.3.1. Về dạy học định nghĩa tích phân ............................................................... 48
1.3.2. Về dạy học mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm. ........... 48
1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 49
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
(Định nghĩa tích phân ở lớp 12 sách giáo khoa ban cơ bản của tác giả Trần văn
Hạo (2009))
Một định nghĩa khác được trình bày trong một giáo trình Giải tích (Giáo trình
phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số của tác giả Nguyễn Mạnh Quý,
Nguyễn Xuân Liêm (2006)). Giáo trình này được sử dụng trong đào tạo giáo viên ở
Trường CĐSP Bình Phước.
Cho f là hàm số xác định trên [a; b].
Hãy chia tùy ý [a; b] thành n phần bằng các điểm chia x0 = a
Theo từ điển toán học thông dụng (trang 520), cho hàm số thực f xác định trên [a; b] của R. Cho một
phân hoạch (xi : 0 ≤ i ≤ n+1) của [a; b] với x0 = a và xn+1 = b và n+1 số thực (ti: 0 ≤ i ≤ n) sao cho ti [xi;
xi+1]. Số thực S = ∑𝑛𝑖=0(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )𝑓(𝑡𝑖 ) được gọi là một tổng Riemann.
1
3
Tác giả cũng đã nghiên cứu về sự chuyển đổi didactic khái niệm tích phân trong
sách giáo khoa giải tích 12 (SGK) ở các giai đoạn: “trước cải cách” (được sử dụng ở
phía nam từ 1975 đến 1990 (do SGK này đưa vào dạy học định nghĩa tích phân bằng
giới hạn của tổng Riemann).
Như vậy định nghĩa tích phân bằng tổng Riemann đã từng được giảng dạy ở bậc
THPT Việt Nam (Miền Nam Việt Nam) thời kỳ 1975 - 1990
Bài báo của Lê Thị Hoài Châu (2004)“ Khai thác lịch sử toán trong dạy học
tích phân xác định” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 2(36)/2004, ĐHSP tp
Hồ Chí Minh.
Trên cơ sở là cách giải quyết bài toán cầu phương của Ibn Quarra, Fermat và
Pascal, tác giả đã đề nghị một cách tiếp cận (dạy học) khái niệm tích phân. Theo cách
đó, giáo viên sẽ tổ chức cho học sinh THPT khám phá ra công thức Newton – leibniz.
Tác giả đã đề nghị các bước phân hoạch, lập tổng và tìm giới hạn của tổng được
học sinh thực hiện để giải quyết bài toán cầu phương. Trọng tâm mà tác giả nhắm tới
là học sinh THPT hiểu nghĩa của khái niệm tích phân và mối liên hệ giữa nó với khái
niệm đạo hàm.
Kết quả của bài báo về dạy học khái niệm tích phân sẽ giúp ích cho chúng tôi
trong nghiên cứu việc dạy học khái niệm này ở Trường CĐSP.
Bài báo của Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “Phép tính tích phân
và vi phân trong lịch sử” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 4(38)/2004, ĐHSP
tp Hồ Chí Minh
Các tác giả đã trình bày tiến trình xuất hiện khái niệm tích phân trong lịch sử. Cụ
Riemann (1826 – 1866) đã xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát hơn tích
phân của Cauchy. Tích phân mà Riemann xây dựng nhằm khai triển một cách chính
xác các hàm số có vô hạn điểm gián đoạn thành chuỗi Fourier.
Trong đề tài cấp bộ của Lê Văn Tiến (2012) “Dạy học Giải tích ở trường trung
học phổ thông – nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, các kết quả chúng tôi quan
tâm là: các đặc trưng khoa học luận khái niệm tích phân; các hoạt động (do tác giả đề
xuất tổ chức) nhằm giúp học sinh THPT khám phá ra khái niệm tích phân như là công
cụ để giải quyết bài toán tính diện tích hình thang cong.
Nhận xét chung
Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu như trên, chúng tôi thấy có một số điểm
cơ bản sau
- Đối với vấn đề khoa học luận lịch sử khái niệm tích phân, các tác giả đã nghiên
cứu khá rõ ràng.
Theo Từ điển toán học thông dụng (trang 70), cầu phương là phép tính diện tích một hình, chẳng
hạn như diện tích diện tích giới hạn bởi một đường cong kín (đường tròn, Elip,…), hay của hình thang
cong a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) với f là hàm số xác định trên [a; b]. Tương tự, khái niệm “cầu tích”, “cầu
trường” gắn liền với vấn đề thể tích và độ dài cung.
4
5
- Đối với việc dạy học khái niệm tích phân, các tác giả chỉ nghiên cứu ở cấp
THPT.
- Đối với việc tiếp cận khái niệm tích phân, các tác giả Lê Thị Hoài Châu, Lê
Văn Tiến đều nhấn mạnh tới việc cần thiết phải tổ chức cho học sinh THPT khám phá
ra khái niệm tích phân (hiểu được nghĩa của khái niệm tích phân). Để tiếp cận khái
niệm tích phân, các tác giả đều có ý chung là cần tổ chức tình huống để học sinh trải
qua tiến trình phân hoạch, lập tổng và tính giới hạn đối với bài toán tính diện tích hình
ý nghĩa của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa như thế nào? Sinh viên có thực
sự nhận ra mối quan hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz?
3. Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Hiểu được thực tế dạy học khái niệm tích phân xác định thông qua học phần
Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số ở Trường CĐSP Bình Phước.
3.2. Lợi ích của nghiên cứu
Về phương diện học tập - nghiên cứu toán học: đề tài nghiên cứu việc dạy học
một nội dung giải tích trong chương trình toán cao cấp bắt buộc của sinh viên ngành
sư phạm Toán và Lý.
Về phương diện lợi ích sư phạm cho giáo viên: đề tài chỉ ra một trường hợp về
sự khác nhau giữa tri thức bác học và tri thức được dạy ở trường THPT. Ở cấp Trung
học cơ sở (THCS), khái niệm tích phân chưa đưa vào dạy học, nhưng việc hiểu khái
niệm này giúp giáo viên hiểu được nguồn gốc của công thức tính diện tích hình tròn.
Đối với vấn đề tính diện tích, ý tưởng chia nhỏ, tính tổng để xấp xỉ diện tích thì giáo
viên THCS hoàn toàn có thể tổ chức cho học sinh của mình thực hiện.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay cụ thể là tìm được câu trả lời cho các câu
hỏi CH1, CH2 chúng tôi sử dụng các phương pháp sau
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Một nghiên cứu so sánh (chương trình, giáo trình “giải tích” dành cho sinh viên
Việt Nam ở các Trường CĐSP và một giáo trình “Calculus” của Mỹ về khái niệm tích
phân). Mục đích của nghiên cứu so sánh là làm rõ hơn những đặc trưng của mối quan
hệ thể chế với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán ở Trường CĐSP.
Về khái niệm tích phân ở trường CĐSP, chúng tôi chú trọng vào đối tượng
nghiên cứu của mình là định nghĩa tích phân và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân
và công thức Newton - Leibniz. Hiển nhiên, nhờ lý thuyết nhân học, để nghiên cứu các
nội dung toán học như định nghĩa và mối liên hệ với công thức vừa xét, chúng tôi cần
phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan trực tiếp đến định nghĩa và mối liên
chế lên các cá nhân là sinh viên ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 5 phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và phần
phụ lục.
8
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Mục tiêu chính của chương là làm rõ những đặc trưng về mối quan hệ thể chế
với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán ở trường CĐSP ở Vệt Nam (chúng
tôi kí hiệu thể chế này là ICĐSP). Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ thực hiện như sau
Thứ nhất, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong một
giáo trình Mỹ. Việc nghiên cứu quá trình dạy học khái niệm tích phân trong một giáo
trình Mỹ nhằm mục đích giúp chúng tôi nhìn rõ hơn đặc trưng mối quan hệ thể chế với
khái niệm tích phân trong ICĐSP.
Thứ hai, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong bộ
chương trình, giáo trình Việt Nam được đang được sử dụng trong ICĐSP.
Một nghiên cứu so sánh về dạy học khái niệm tích phân của một giáo trình Mỹ
và bộ chương trình, giáo trình Việt Nam. Việc làm đó với mục đích làm rõ những đặc
trưng, sự lựa chọn của ICĐSP với khái niệm tích phân.
Khi đạt được các mục tiêu trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH1. Đây là
mục tiêu chính của chương, do đó chúng tôi đặt tên chương 1 là “khái niệm tích phân
trong thể chế dạy học Toán ở Trường Cao đẳng Sư phạm”.
Mặt khác, khi đạt được mục tiêu trên sẽ định hướng chúng tôi nghiên cứu ảnh
hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá nhân là sinh viên
CĐSP. Điều này cho phép chúng tôi tìm câu trả lời một phần của câu hỏi CH2.
Trong chương này, chúng tôi sẽ chia làm bốn phần chính là khái niệm tích phân
Tôi đã cố gắng viết một cuốn sách để giúp đỡ các sinh viên trong việc khám phá
giải tích cả về sức mạnh thực hành lẫn sự ngạc nhiên thú vị của chúng. […]
Newton chắc chắn đã hiểu rõ trải nghiệm của sự chiến thắng khi ông ta làm nên
một phát minh vĩ đại. Tôi muốn sinh viên chia sẻ một vài trong những điều tuyệt
vời đó. [20, tr. xi]
Tác giả xem việc hiểu khái niệm là một điểm nhấn quan trọng và nhận định đó là
mục đích đầu tiên của việc nghiên cứu giải tích. Để hiểu một khái niệm, tác giả tập
trung vào việc trình bày nó trên cả ba khía cạnh hình, số và đại số.
Tập trung trong việc hiểu khái niệm.
Tôi đã cố gắng thực hiện mục tiêu này thông qua Quy tắc của Ba điều: “Các chủ
đề sẽ được trình bày theo khía cạnh hình học, số và đại số.” Sự trực quan hóa,
thực nghiệm số và đồ thị, và một số cách tiếp cận khác đã cơ bản làm thay đổi
cách chúng ta rút ra khái niệm. [20, tr. xi]
10
Quan điểm của tác giả về mô hình toán học: Theo tác giả một mô hình toán học
là một mô tả mang tính toán học một hiện tượng thực tế. Mục đích của mô hình là hiểu
hiện tượng và có lẽ là làm nên những dự đoán về biểu hiện của hiện tượng trong tương
lai.
Một mô hình toán học là một sự mô tả toán học (thường là bằng phương tiện của
một hàm số hay một phương trình) của một hiện tượng thực tế […]. Mục đích của
mô hình là hiểu hiện tượng và có thể thực hiện những dự đoán về hành vi trong
tương lai. [20, tr.23]
Sau đó tác giả đưa ra quy trình mô hình hóa toán học.
Hình 1.1. Minh họa quy trình của mô hình hóa toán học. Nhận được một vấn đề
thực tế […]
1.1.1. Tiếp cận khái tích phân bằng bài toán tính diện tích
Tác giả bắt đầu bằng vấn đề tính diện
tích
Chúng ta bắt đầu bằng việc cố gắng
giải quyết vấn đề diện tích: Tìm diện
tích của miền phẳng S nằm dưới
đường cong y = f(x) từ a tới b. Miền S
này được minh họa ở hình 1 (hình
1.2), được giới hạn bởi đồ thị của một
hàm liên tục f [ nơi mà f(x) 0], hai
đường thẳng đứng x = a và x = b, trục Ox.
[20, tr. 360]
Hình 1.2. S = {(x ; y) a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
Như vậy giáo trình xuất phát từ bài toán tính diện tích hình thang cong một trong
những bài toán của lịch sử khái niệm tích phân.
Đến tận thế kỷ 17 phép tính tích phân mới được xây dựng thành một lý thuyết
toán học độc lập, nhưng thực ra cuội nguồn của nó đã có từ thời Hy Lạp cổ đại.
Phép tính này được ra đời từ các bài toán cầu phương, cầu tích, cầu trường.
[2, tr. 14]
a. Tiếp cận diện tích từ phương diện số đo diện tích
Để giải quyết vấn đề diện tích hình thang cong, tác giả đã dẫn dắt người học tiếp
cận khái niệm diện tích từ phương diện số đo diện tích
12
Trong lúc tìm cách giải quyết vấn đề diện tích chúng ta thường tự đặt cho chính
mình câu hỏi. Từ diện tích có nghĩa là gì? Câu hỏi này thật là dễ cho những miền
Trong ý tưởng tìm diện tích hình thang cong của tác giả việc “phân hoạch, tính tổng”
giống như tìm diện tích đa giác còn có tư tưởng “xấp xỉ” và “chuyển qua giới hạn” thì
giống bài toán tiếp tuyến. Để xấp xỉ hình thang cong tác giả dùng những hình chữ
nhật, tuy nhiên tác giả không đưa ra giải thích cho sự lựa chọn đó.
Bắt đầu bằng một ví dụ cụ thể, tác giả đã giúp người học tiếp cận tư tưởng xấp xỉ
trên cả ba phương diện hình học, số học và đại số.
- Phương diện xấp xỉ hình học
Giáo trình Mỹ bắt đầu bằng một ví dụ
cụ thể.
Ví dụ 1 dùng những hình chữ nhật
để xấp xỉ diện tích của miền S dưới
đồ thị y = x2 từ 0 đến 1, hình 1.4
[20, tr. 360]
Hình 1.4. S = {(x; y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}
Đầu tiên, tác giả chia miền S thành bốn hình thang cong (hình 1.5.1) và xấp xỉ các
hình thang cong này bằng các hình chữ nhật tương ứng. Mỗi hình thang cong được
xấp xỉ bằng hình chữ nhật trong (1.5.2) và hình chữ nhật ngoài (1.5.3).
Hình 1.5.1. Chia miền S
Hình 1.5.2. HCN chứa S
Hình 1.5.3. HCN trong S
Sau đó, tác giả đã tăng lên tám hình chữ nhật xấp xỉ
Hình 1.6. Xấp xỉ miền S với tám hình chữ nhật
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
=
1 1 2
. (1 + 22 + 3 2 + ⋯ + 𝑛 2 )
𝑛 𝑛2
15
=
=
1 2
(1 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛 2 )
𝑛3
1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
.
=
𝑛3
6
6𝑛2
(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 1
=
𝑛→∞
6𝑛2
đoạn con là [x0; x1], [x1; x2],
…, [xn-1; xn] và độ dài mỗi khoảng x =
Hình 1.7. Xấp xỉ miền phẳng S
𝑏−𝑎
𝑛
.
- Xấp xỉ hình thang cong Si bằng hình chữ nhật thứ i có chiều rộng là x và chiều cao
là giá trị của f tại đầu mút phải đoạn thứ i và diện tích của nó là f(xi) x.
- Diện tích A của miền S được xấp xỉ bởi tổng diện tích các hình chữ nhật này, tức là
A Rn = f(x1) x + f(x2) x + … + f(xn) x.
Sau đó, tác giả đã minh họa bằng hình học cho người đọc thấy việc xấp xỉ diện tích A
bởi Rn càng tốt khi n càng lớn, do đó tác giả suy ra A = limRn.
Mục đích của tác giả khi đưa ra quy trình tính diện tích hình thang cong là việc
cụ thể các hoạt động trong việc xác định diện tích miền S (hình 1.4) bằng một thuật
toán cụ thể. Nó là bước tiến gần hơn đến định nghĩa diện tích hình thang cong.
16
b. Định ngĩa diện tích
Định nghĩa
Từ các những hoạt động trên tác giả đưa ra định nghĩa diện tích của miền S có
đường biên cong
Diện tích A của miền S nằm dưới đồ thị hàm số liên tục y = f(x) là giới hạn của
tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ:
𝐴 = lim 𝑅𝑛 = lim [𝑓(𝑥1 )𝑥 + 𝑓(𝑥2 )𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 )𝑥.
𝑓(𝑥 )∆𝑥,
(1.2.1.)
max
𝑓(𝑥)∆𝑥 .
(1.2.2.)
𝑥∈[𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ]
𝑆𝑈 = ∑𝑛−1
𝑖=1
𝑥∈[𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ]
Sau đó giáo trình Mỹ đưa ra một ví dụ minh họa
Ví dụ 3 Cho A là diện tích của miền phẳng nằm dưới đồ thị của hàm f(x) = e-x, từ
x = 0 đến x = 2.
a) Dùng các điểm cuối bên phải của các khoảng chia, tìm một mô tả A như một
giới hạn, không tính giới hạn.
b) Xấp xỉ A bằng việc chọn các điểm chính giữa của các khoảng chia với số
khoảng là bốn và sau đó là mười khoảng chia. [20, Tr. 366]
Copyright: Tài liệu đại học ©