!"!
#$%&'()*)+,-.()*/,-.
012'3$45%6789:;12+'<*
1%=>2*?"
@A8)&'()*
)+,-.9%?3859-=1B-CDE
=FG;12+'.%?-+"
(12H8'6=I8-J5KK?L
D=MN16<*1%=>"
38O>PQQR
3#1'
S
P
$'H=9#=T??UV'KKD8>1
I?+?*;E1%*W'FFE6D
=1I?)"1A?E1B2=*
'F1I?)*XB1Y=<GG%G
=ZG<A*=B)'F"[-K
24XLV'G'9KH=;<U?V'
G24'D8>I)*2)K48%D\
I9]8'"(G=6=%+'D)^E1=IB8%=
')W88*2)-4'"(
'=;<?WV')*5K'?2E+'5
E1=''B1D_1%B1)6?\?U'?9T9<
E9TG')'"
=>8??1%V'0124'5)%1%'
9#*X /$PR`SS`PQQa"01245)N1'1%'9#*X
aS`PQQa`03SS"-=B17V1'9#*X-4V'
iQpQPpaj
/S
RSaPQaP R PQQa o;piqq
i
P
PaROpRaS
/S
jnSOPiQ n PQQa o;pPqq
p
P
PpQiOani
/S
jPiajii j PQQp o;pSqq
a
P
PQRROQSS
/S
OiPQpiQ O PQQi o;pQqq
O
P
SipOORSj
/S
pQaiRpO a PQQS o;iRqq
j
SRPpR"P
SiQSnanO
rS
iRSnRQQ ![SQ PQQj
n
PjOai"P
PS
1Kước
V'I8;2K"
!21.bội chung V';21
n
aaa """
PS
1Kbội
V'8;2K"
o419{QV';21
n
aaa """
PS
K.1V'
n
aaa """
PS
B1V'969.ước chung lớn nhấtx|(b$yV'
n
aaa """
PS
"&L*19s9x
n
aaa """
PS
y'9sDx
n
aaa """
PS
y"
n
aaa """
PS
. nguyên tố cùng
nhau.
102345
a
3';2n=Singuyên tố cùng nhau=6+/3xnSiysS"
1.1.1.5. Đồng dư
0"#$%$&'
(';21'x{Qy"'Ku'=“đồng dư”='1
'*3FE*'1''=''%H4;2;"
&L*1k6≡>x9y"
102345
Sj≡ax9iy=6'Sj=aiH;29P"
1"#$%$&'()*%+GH$,-
1.1.2.1. Nhóm
0"#$%$&'
$K44x tyK ≠∅tphép toán hai ngôi '5'
GI;'1k
r\?KGD?kxtyt}stxt}y =.}∈ "
r(K?Xtrung lập∈ ktsts =.∈ "
rf.∈ K?X#8~∈ kt~s~ts"
Cấp của nhóm GW1;2?XV'KDL*1• •"
(I?V'KKW∞1 K=)-?X"
Nhóm AbelKx tyK?\?')tKG'"
GIk $1'ts't6s"
$1'tst6's"
102345
%??;21€H=?\?4xry)+K'
102345
$KxI
+
ryc;219(=?X;+sS"
1.1.2.4. Tập thặng dư thu gọn theo modulo
0"#$%$&'
&G*1I
n
s„QSP"""/S…%?;21D)z"
j
I
n
=?\?4xry%?nhóm CyclicK?X;?1%?9sQ"
xI
n
ry.K4KKC1-KI?"
&G*1I
t
n
s„J∈I
n
J12H'1=%…"EJ?8≠Q"
I
t
n
.Tập thặng dư thu gọn theo mod nK;2?XφK%L"
I
t
n
=?\?9%?4KxKy?1-?sS"
o4?XK?X#8.D8#"
102345
6?X#8V'iI
j
E?88?6iJ≡Sx9My;‡?X#8V'i"
ˆ
i
u
i
v
i
y
S j S Q
S i Q S P
P S S /P i
i Q
f6(s=
P
s/PzQ9KJs6
S
−
ks(r%s/Prjsa"
f%a?X#8V'iI
j
"
N"#$%$&'OP"Q/(HP/R6("FS((*#%
1.1.3.1. Bài toán
[9]-u'?k
(?G?884N16Gc?G=B+'=4"
Chi phí thời gianV'4N16G+'W<*4
N16G"f1%<'•k(?G+';2?\?G
8<*N16G"
R
Chi phí bộ nhớV'4N16G;2)W<*4N1
6G"
.•41%9C*1=V'55K'u
K"1%•G9C*1=?884I#"'DL*1k
(
A
xy+'=
A
K9L4"
1LOP"Q/(HPVW>O%"cK)*%+()de%+"fPJgF%"g(L5
A
K%L@'6Jh
A
K9LVc$i9i≤%jk%dDGe1=V'1%"
NLOP"Q/(HP("e$+$6%K)*%+()de%+"fPJgF%"l(L5
A
K%L@'6Jh(
A
K9LkVc$i9i≤%j
mLOP"Q/(HP($&'/S%5,4?E-?xy.*%ƒxyDL
*1ŠxŽxyy1∃;2
Q
xy≤"Žxy∀•
SSO
Šx
i
y SQ
Sn
iPQQQ>
ŠxP
n
y SQ
iQSQiQ
SQ
iQSQQO
1FV'=AT
Chú ý
SQ
(K+u'G=24ID)N1'
B11%'U)9:4=G9T5DWE"
/[XL2K'1%=iE?E?-D'1;‡#1i
%1N18;'1kSau 1 giờ:
1%•K4?E-?Šxy kiO*12"
1%[K4?E-?ŠxykQP*12"
1%(K4?E-?ŠxP
n
ykPS2"
1.1.3.5. Hàm một phía và hàm cửa sập một phía
Sy"3Žxy.hàm một phía1G“xuôi”sŽxy6“dễ”G
“ngược”sŽ
S
−
xy-I“khó”.
x•-4Ey?W8%•%??48%5='
=*X?•X[8%5[%=d85eW-=>
8?•#X",W•?=[-?•=[
SS
?8'1%='11%%?5=85=g*4DK'
%51&W<*1%K"
$+D))Kxg*D)DK'&y9H
KI4ADK6=>8?'+•=[12X
'1"
1.2.1.1. Khái niệm mật mã
“Mật mã” K‡D_1%9H1+I=*88
“Antoàn thông tin”.“mật mã”79H'N12
?'=*88“An toàn thông tin”11V'..
+x9)V11B-)D'y=6=%D_1%
“mật mã”)D'.+9H",B1G%uƒ“khóa”%5"
3*'KB1D_1%%5D'1MD_1%K1
W"H11V')+E9T'9HD_1%'
D_1%D"(KC)+?8'1*2IDW+'=
?G"(KC)+-8??91'C'8%=?G<
*"
o%5FWV19HWdI1e9C*1"f%5*-
D8>dI1e9C*19HW<*k&L;2xDL*Xy--
9*)*?'E89C*1'E<<W'E
<*1'EEdD)4)e'E'1%'
E??2DK'225'9#*X';†G%h
Y'Z?d%5eV19HW8%9C*1N1'*ko%
5.D'.E1%5x-5=?G5y
G5D_1%*1%?G%5DW'G8%
V'Kg?=‘;<G%V'K"G5.5"
Y'4d%5e4C)T*1N1888•
∈
‹9
D
k(“”
D
9
D
.
%?5=85E=DK'%5D"(K?8'5*
Ek 9
D
x
D
xyys=
∀
∈
"
1.2.1.4. Những tính năng của hệ mã hóa
(1I?4E'=BG8%=Z22=<"
rG8%k[88G%)=9C*1u=*I1
)+D_1%5K'"
rG=Zk[88=u8D)#'F+
1B"
r(22k(KW%u*15^'K'8D.2
‰^2K"
Si
rG<k(1I?'9#=Tk
$%9-1c2V'4)88uKU;<<"
&W'#9'V'+'>%?*2?TDW'g
CHệ mã hóa cổ điểno5K'DK'2Ek9]W19]<K4'
D)'"f6-G7)?-=8C;X9T
Sp
85=G9T€
PO
19HC'"f*5K'FW1
DK'%?5'1%%?5KWd9]e#8’=6d9]e6
DK'85"
CHệ mã hóa‹@!xSRjiyo5K'DK'2Ehiện đạiK4''"
N0v/G$w'
Ưu điểm:
3*5K'DK'2E5K'=85'3*5K'DK')D'"
Hạn chế:
xy"o5K'DK'2E'%'=L9;'1k
$+5K'=+85Kd1e4DK'"&K'?8CG%
1*2=6DK'd9]e#DK'D'=-"
xy"fIB'1%DK'=N18LDK'1DKD>=?E-?"$+
V=+%?81)2I='1=BDK'"f*'FDK'I
DK=9]#4"&K'1?8X'1D'"
ogDD'+x%?585yHd1e4G%6DK
CG%–
m0Z$,x34%+"&'t"p67"p6G-$JQ%+
3*5K'DK'2E+;X9T)+DK'
1KW9]9'1WG%•-H4-44"3*
5K'DK'2E+9HW5K'C8=6245K'=
85'*5K')D'"
1.2.2.2. Hệ mã hóa khóa phi đối xứng (hệ mã hóa khóa công khai)
0"#$%$&'
&'t"p67"p6P"$G-$JQ%+3*5K'KDK'%?5=DK'85D
'1xD
D'ˆD=*'F1WDK'G%2DKD>"
,gF%V'*5K')D'DK')D'x?1Dy=
85x?yB1KWX4D1Bkhông an toàn.
SO
(K8DK')D'=855AD)9]D?
8’"
$=6K245K'=85chậm,*5K'DK')D'
79HW5K'C8‰=G9T5K'DK'G%X"
3*5K'DK')D'+;X9Tg?+9H'
1%DK'G%V'*5K'DK'"
Nyz
N"#$%$&'X/"a7^,-Y
1.3.1.1. Giới thiệu “chữ ký số”
Sj
,WE<1c2'*1<V'4*1x=G9Tk.
I%?."""y1'+'9HCDL“tay”=?G'9V'
M*1"$=%+DL?8trực tiếp“ký tay”=*1"
$'*1;2K'+'AK11E<
1c2'*1<V'*1"‚’D)WdDL'e=*1
=6UD)II"*1d;2ex'*1d*Xey41
GxQ'Sy1GKWI9x1IKW6'y"
d(CDLeWE<41G*1AD)W41Gg
?G'91G*1"o4dCDLe=%‰‰;‡#D†';'\?W
g94*1DI???"
$C>nQV'D•PQD'.5?'“chữ ký số”
WE<4“tài liệu số”",KG“bản mã”V'1G*1"
$+'-'“chữ ký số”xCDL*Xy“tài liệu số”2-
'“bản mã”V'*1=dDK'%?5e"
“Chữ ký số”D);X9Tu8%)u8=*
)D)#+D26'FW-');'*"$K
,U1_@$+
k
KJL
9)
k
KJk_Ls
!'1_≠$+
k
KJL
Chú ý
+9H*5K'DK')D'W%?“Sơ đồ chữ ký số”"w
DK'G%69HDK'“ký”DK')D'>9HDK'DW'“chữ
ký”. x$-=5K'9HDK')D'>%?5DK'G%685"y
,B1<“ký”CG%?89HDK'G
%6W“ký”"(“chữ ký”)D'.+.9HDK'
)D'>WDW'"
N18"l%E*H$X"a7^,-Y
1.3.2.1. Phân loại chữ ký theo đặc trưng kiểm tra chữ ký
L"a7^7"\$P"4/("\%+G$&P5
SR
b-CDLK+X7X“chữ ký”+%KWD)
?T-)*?5“ký” ƒ“chữ ký”"
1L"a7^G$7{'("\%+G$&P5
b-CDLK+X7X“chữ ký”?8XDJ8)*?
5“ký”ƒ“chữ ký”"$-;‡D)K)*?2"
fG9Tk(CDL@''CDLDJ)*?;‡6T;'1"
1.3.2.2. Phân loại chữ ký theo mức an toàn
L"a7^X7"\%+("wP"R%"S%Y5
$u=*8CDLW;X9TB12I+X'
'<?==*DWXCDL",B1K<*u4'E
1.4.1.2. Giải quyết vấn đề
Cách 1:
)
*?
)
*?
)
*?}
3*%5
'
!cDL;2
[85
'
[8DL;2
$1c ,G
PS
o48W8N1=IB=)*?KDG
“chặt” 8B1-xf‹SOQy;'1KDL-K
4%?'1"$*??g?=IB"
3C'g?=IB.",KDN18;'1DDL4
91V')*?KW#4='1g4;2-UK
W#I"'?88=*G=ZV'82"
Cách 2:
'=6?8DL*19+'+9H“hàm băm” W-
“đại diện”*1;'1Kd&L;2e“đại diện”"
(*1x8yKW99-=>868'h=DG
V'UHLx=&[=To[yN1'1%>ko‹p
o‹a!3•-9*EV'UKDGcố định=G9TSPn
=9o‹SOQ=9!3•"
“Đại diện”V'*1G#V'“hàm băm”*1K
9*y
z=h(x)
[8>
x=>8-
9*y
z
^,-
x;X9T
;cDL;2
‚!•@''
‹!!y
sig
K
(z)
"p6>2'S(
V'+
X
"p6>2'S(
V'+
X
[8DL;2
y= sig
K
(z)
)*?[8DL;2
xy
$+XKL $+%KL
Pi
m1•%+BF6%VWb'>~'
1.4.2.1. Đặt vấnđề
P`"$19C*18J#'F'#K'W8J€6#
>"KJ€L•"KJL
(9H74;<'F=G9T7'FS9C*1V'8
2J6#>"KJLV'KA=:'F",B1KY'k')
*?D'16#>V'UAD'1"
i`"$491V'82dDKeW;1'^#>V'K"$Y'k=
)*?J6d9]eGq@"KJL-dDKeG-J1
7#>"KJLx&W8D>"y"
NL‚%+34%+/R6b'>~'
S`"f89J6CDLJA;‡9=%2+'dDLe2
4W1CdCDLe2B1+'W1BdCDLe-"
$+'9H>"W--9*8q@"KJLKK49‰
x=G9TSPny"!'1KDLq=%CDLq;‡IB1;=
CDL82J
P`"3>9HW#G=Z9C*1"
i`"3>9HW8%4;29C*1g*=G9T8=*%D›18=*
DK'%5h
1.4.2.3. Cấu trúc của hàm băm
31>%5B1KI1U81%;'1k
(4)*?MK49ID•"H1%;X
9TU'KWF;14;2=)*?W%)
*?K494;2V'4u;2"(')*?^
D2KDGu'1kM
S
M
P
hM
s
.H-KDGnfd\e<*'4
D29C*1=-*