BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN VĂN MINH

THAY ĐỔI BIẾN Ở BẬC PHỔ
THÔNG TRUNG HỌC - MỐI LIÊN
HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS lê Thị Hoài Châu, giảng
viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức
và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn, người mà tôi xem là tấm gương phải noi
theo trong nghiên cứu khoa học.
Tôi xin trân trọng cám ơn quí thầy cô đã tận tâm truyền thụ cho chúng tôi kiến thức
về didactic toán, trang bị cho chúng tôi một công cụ khoa học và hiệu quả để nghiên
cứu chuyên môn, qua đó giúp chúng tôi tự tin, say mê và hạnh phúc trong từng giờ trên
bục giảng. Lời cảm ơn trân trọng xin được gởi đến:
 TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
 PGS TS Lê Văn Tiến, giảng viên Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí
Minh.
 GS TS Claude Comiti, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp.


–

–2

y’

0

y

0
-

–1

0



0


–2
(I)

-4

Sau đó, bằng việc xét dấu y”, người ta nói rằng đồ thị hàm số là một đường cong lồi trong khoảng
(-∞; -1), lõm trong khoảng (-1; +∞), và nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng. Từ những kết quả trên, người

(chương trình 2000).


Ta thấy ở đây một sự phối hợp uyển chuyển trong việc sử dụng các hệ thống biểu đạt (registre)
của hai phạm vi (cadre) khác nhau – giải tích (GT) và hình học 2 (HH). Cụ thể : đồ thị là một sự biểu
đạt bằng ngôn ngữ HH (registre géométique) của hàm số. Nhưng tất cả các tính chất của đồ thị đều có
thể được thể hiện qua những biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác là có thể được
chứng minh trong phạm vi GT (cadre analytique). Song, trong lời giải trên, nhằm tránh những phép
biến đổi GT phức tạp, người ta ở lại trong phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối
xứng của đồ thị.
Liên tưởng với ý kiến của Douady (1986) về tầm quan trọng của sự thay đổi phạm vi và hệ thống
biểu đạt trong hoạt động toán học nói chung, trong dạy học toán nói riêng, chúng tôi nẩy sinh mong
muốn nghiên cứu quan hệ giữa giải tích (GT) và hình học (HH) trong dạy học toán ở trường phổ thông
Việt-Nam. Quan hệ này có thể được thể hiện qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến là một trong
những nội dung đó. Như thế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là : Đổi biến : quan hệ
giữa giải tích và hình học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông.
1

• Bài toán 2 (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính

3

  2x  1 dx .
0

Đặt t = 2x+1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3.
dt
Ta có dt = 2dx  dx = .
2



Trong luận văn này, để đơn giản, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến”. Vả lại, thuật ngữ thứ hai
có thể làm người ta nghĩ đến phương pháp giải quyết một vấn đề (hay một loại vấn đề) cụ thể, trong khi chúng tôi lại muốn dùng nó
theo nghĩa có sự xuất hiện của phương pháp đổi biến khi người ta giải một bài toán (hay một dạng toán) nào đó.




Quan điểm 1: xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ. Trong trường

hợp này, hệ tọa độ thay đổi, còn đường cong (đồ thị của hàm số ban đầu) được giữ nguyên,
nhưng trong hệ tọa độ mới thì nó trở thành đồ thị của một hàm số mới (thu được từ hàm số ban
đầu bằng đổi biến). Chúng tôi nói đây là đổi biến theo quan điểm HH.


Quan điểm 2: xem việc đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp. Chúng tôi nói

đổi biến ở đây được nhìn từ quan điểm GT.
Những ghi nhận về việc đổi biến trong lời giải của hai bài toán trên cũng như sự tác động thường
xuyên của nó trong các kỳ thi tú tài và tuyển sinh đại học khiến chúng tôi quan tâm. Chúng tôi tự hỏi :


Q’1 : Đổi biến được đưa vào ở đâu trong chương trình toán bậc trung học phổ

thông Việt nam ? bằng cách nào ? chúng đóng vai trò gì ?


Q’2 : Quan điểm nào - HH hay GT - được ưu tiên hơn trong thể chế dạy học bậc

trung học phổ thông Việt nam ?

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các
mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại
ra sao, đóng vai trò gì trong I, …. Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của
R (I, O).
Với những định nghĩa trên thì trả lời cho các câu hỏi Q’1, Q’2 chính là làm rõ quan hệ của thể
chế I mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O. Đối tượng O ở đây là “đổi biến”, còn thể chế dạy học
I thì với khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ giới hạn trong phạm vi lớp 12. Những yếu tố trả lời cho
câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm rõ R(I, O) mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá
nhân của học sinh đối với O, vì, như đã nói trên, tác động của thể chế I lên chủ thể X (tồn tại trong I)
thể hiện qua quan hệ R(X, O).
Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ
cá nhân R(X, O) ?
 Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô
hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã
đưa vào khái niệm praxeologie.
Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,  ,  ,  ], trong đó : T là một
kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí
thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  .
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học
(organisation mathématique).


Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức
O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O : “
Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào
những kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch. M và Chevallard Y., 1999).
Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với

ban đầu mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này.
Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh những yếu tố cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I thể chế dạy học toán ở lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, và quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12
với O.


Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào? nó lưu trú ở đâu (habitat),

trong những tổ chức toán học nào? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì
(niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì? v.v…


Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến

HH và GT ? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?


Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc

nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng
ra sao đến việc hình thành quan hệ cá nhân của họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể
vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào?
Tuy nhiên, trước khi đi tìm những yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành một nghiên
cứu tri thức luận về đối tượng O là cần thiết. Nghiên cứu đó sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về O trước
khi nghiên cứu cuộc sống của nó trong I. Vì thế, chúng tôi đặt thêm một câu hỏi cần phải được xem xét
trước và gọi đó là câu hỏi Q 0 .


Q 0 : về mặt toán học thì O có thể xuất hiện ở đâu, qua những tổ chức toán học

nào, trong những phạm vi nào ? có những quan điểm nào được gắn với O ?

 Về phía người dạy : Chúng tôi dự định thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy toán lớp
12 qua một bộ câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm của họ về vai trò của đổi biến trong
dạy-học toán bậc trung học phổ thông , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết mà
chúng tôi đưa ra.


Chương 1

ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

Mục đích của chương này là tìm kiếm những yếu tố của câu trả lời cho câu hỏi Q 0 : về mặt toán
học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu, gắn với những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào?
Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không
tiến hành một nghiên cứu trên các tài liệu gốc về lịch sử toán học, mà tìm kiếm câu trả lời trong vài
giáo trình được sử dụng cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm.
Lưu ý rằng chúng tôi quan tâm đến hai quan điểm có thể gắn với đổi biến :
-

Quan điểm HH : xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ, và như thế thì đổi biến có thể
gắn với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong phạm vi HH.

-

Quan điểm GT : xem đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp, là một tri thức thuộc phạm vi GT.
Vì lẽ đó, chúng tôi chọn một giáo trình GT và một giáo trình HH được sử dụng trong các trường

đại học sư phạm để nghiên cứu. Cụ thể, đó là :
-

Nguyễn Mộng Hy (2000), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục.




cơ sở nền là ei và ei' với i = 1,2, . .n. Giả sử các điểm E’ i có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhấtE 0 ,



E i  là E’ i = (a i1 ,a i2 ,. . . , a in ) với i = 0,1,. . n. Khi đó, ma trận sau đây được gọi là ma trận chuyển từ





mục tiêu thứ nhất E 0 , Ei  sang mục tiêu thứ hai E '0 , Ei' :
 a 1 1 -a 0 1 a 1 2 -a 0 2 . . . . a 1 n -a 0 n 


a -a
a -a . . . . a 2 n - a 0 n 
C   21 01 22 02
 .............................................. 
 a -a

 n 1 0 1 a n 2 -a 0 2 . . . . a n n -a 0 n 

Giả sử X là một điểm của không gian afin An. Ký hiệu (x i ) và (x’ i ) lần lượt là ma trận dòng các
tọa độ của X đối với hai mục tiêu trên. Người ta chứng minh rằng quan hệ giữa (x i ) và (x’ i ) được biểu
diễn bởi công thức :
[x] = [a 0 ] + C*[x’]


i, j = 1

ij i j

i =1

i i

0

không gian A n đều có một trong ba dạng chuẩn tắc sau :

I 
 II 
 III 

r

:  ei xi2 = 1

, ei = ±1, 1  r  n

:  ei xi2 = 0

, ei = ±1, 1  r  n

i=1
r

i=1

để thiết lập phương trình của các phép dời hình và để nghiên cứu các siêu phẳng trong En.
 Phương trình của phép dời hình được thiết lập tương tự như đối với các phép biến đổi afin và kết quả
thu được là phương trình sau, trong đó A là một ma trận trực giao cấp n (vì cơ sở {E 0 ; E i } được chọn ở
đây là cơ sở trực chuẩn) :
[x’] = A[x] + [b]

(3)

 Cuối cùng, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn cũng được áp dụng để đưa các phương trình siêu mặt
bậc hai trong không gian Ơclit về dạng chuẩn tắc.
Định lý: Đối với mọi siêu mặt bậc hai (S) trong E n ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương
trình của (S) đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc sau :
n
''2
 i x i  1 , 1  r  n
i1
n
''2
 i x i  0 , 1  r  n
i1
n
2
 bi X i  2mX r 1  0 , 1  r  n
i1

 I
 II 
 III 

I.3. Nhận xét






hợp này :


'
'
 x1   1 0   x1   a1 
x1  x1  a1
[x] = [a 0 ] + C*[x’]   x    0 1   '    a   
'
 2     x2   2 
x 2  x2  a2

Đây chính là công thức đổi tọa độ từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY với I(a 1 ;a 2 ) mà chúng tôi tìm
thấy trong sách giáo khoa đại số 10 (tr.40)
 Bây giờ, chúng ta xét phương trình của phép dời hình khi n = 2.
Theo kết quả được chứng minh trong giáo trình mà chúng tôi tham khảo, với mọi phép dời hình f
luôn luôn tìm được một cơ sở trực chuẩn của không gian euclide En sao cho ma trân A của f có dạng :
 A1

 A2
.

A







1 

vói i = 1,2,....k (tham khao sách đã dẫn, tr.108,109)

Từ đó suy ra , ứng với mọi phép dời hình trong E2 luôn chọn được một mục tiêu trực chuẩn sao
cho ma trận A của phép dời hình có một trong ba dạng sau đây :
1 0 
1) 

 0 1

 cos - sin 
2) 

 sin cos 

1 0 
3) 

 0 -1

Lần lượt thay ba dạng có thể của A vào công thức (3), ngườii ta rút ra kết luận là trong E2 có ba
loại phép dời hình : tịnh tiến, quay, đối xứng. (sách đã dẫn, tr. 110,111,112)
 Về các siêu mặt bậc hai, áp dụng định lý nêu trên cho n = 2, ta suy ra đối với mọi đường bậc hai
trong E2 ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của nó đối với mục tiêu đó có
một trong ba dạng chính tắc

[…] Hàm số y = log (2t+3) là hàm hợp của hàm x = 2t+3 với hàm y = log x. Miền xác định của hàm hợp cũng
được xác định rõ : hàm số y = logx xác định với mọi x >0 và hàm số x = 2t+3 xác định trên toàn trục số. Nhưng
hàm số hợp y = log (2t+3) chỉ xác định với t > -

3
vì chỉ với điều kiện đó mới có x = 2t + 3 >0”
2

(Vũ Tuấn và các tác giả, 1981, tr. 54)

Theo định nghĩa trên, phép đổi biến ở đây tương ứng với phép lập một hàm hợp. Ví dụ kèm theo
chứng tỏ rằng bằng cách lập hàm hợp như vậy người ta có thể chuyển hàm số ban đầu về hai (hay
nhiều) hàm số đơn giản hơn để nghiên cứu.
Lướt qua toàn bộ giáo trình, chúng tôi thấy tư tưởng đó tác động rõ rệt ở chương V- “Phép tính vi
phân” và chương VI – “Phép tính tích phân”.
 Trong chương V, người ta xây dựng qui tắc đạo hàm của hàm số hợp. Kể từ đó, qui tắc này thường
xuyên được sử dụng để tìm đạo hàm (cấp n, với n = 1, 2, …) của hàm số ; tính giá trị đạo hàm của hàm
số tại một điểm ; chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm ; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số, v.v. ... Vì quy tắc này hầu như tác động đến lời giải của mọi bài toán trong đó phải tính
đạo hàm của hàm số, nên có lẽ không cần thiết phải nêu ví dụ minh họa ở đây.
 Đổi biến theo quan điểm GT còn tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác được đề cập ở chương VI “Phép tính tích phân”.
Ví dụ : tìm I=

dx

 a2  x 2

Giải : Bằng cách đặt u =

(a > 0 ).

Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên được tìm thấy
trong trích dẫn sau :
« Nếu biết
Thì ta có

 g(u)du = G(u)+ C

 g  w(x)w (x)dx = G  w(x) + C
'

» (Sách đã dẫn, tr.12)

 Trong chương này còn có một kiểu đổi biến khác được sử dụng để giải bài toán tính tích phân.
a

Ví dụ : Tính tích phân



a 2 - x 2 dx

0

π

Đặt x = asint. Ở đây α = 0 và β = 2 ta có :
a


0

 f(x)dx trong đó f(x) là một hàm số liên tục
a

là một hàm số thỏa mãn các điều kiện:
1) (t) liên tục trên đoạn [ ; ] nào đó và (t  [a ; b] với t [ ; ]
2) ()= a ; ( = b
3) tồn tại đạo hàm’(t) trên đoạn [ ; ]
b



a



'
Thế thì :  f(x)dx   f((t)) (t)dt ” (Sách đã dẫn, tr. 66)

trên đoạn [a ; b]. Giả sử rằng x = (t)


Ta thấy, hai kiểu đổi biến khác nhau, nhưng đều gắn liền với quan điểm giải tích – đổi biến tương
ứng với việc thiết lập hàm hợp.
II.2. Tác động của quan điểm HH
• Trong chương V, phần khảo sát hàm số, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau :
Ví dụ : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

x3
x2 - 1


 Liên quan đến tích phân còn có vấn đề tính diện tích, thể tích, chiều dài của một cung, …. Về vấn đề
này, chúng tôi nhận thấy đổi biến xuất hiện ở khắp nơi. Tuy nhiên, ở đây người ta chỉ dùng phép đổi
biến theo kiểu thiết lập hàm hợp để tính các tích phân. Hiện tượng đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi : ngoài
suy luận mà chúng tôi vừa nói trên về việc vẽ đồ thị hàm số, phải chăng đổi biến theo quan điểm HH
không có ảnh hưởng gì khác đến GT ?
Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi vượt ra ngoài phạm vi các vấn đề về hàm số một biến số,
tham khảo thêm những giáo trình có nghiên cứu các hàm số nhiều biến số. Thật thú vị, chính ở bài toán
tính tích phân hai lớp

 f  x, y dxdy của hàm hai biến f(x, y) xác định trên một miền D, chúng tôi thấy
D


đổi biến theo quan điểm HH tác động khá nhiều trong trường hợp D là một phần (hay toàn bộ) hình
tròn, thậm chí một phần (hay toàn bộ) ellip. Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm HH còn có mặt
trong lời giải nhiều bài toán tính tích phân  f(x, y, z)dxdydz của hàm ba biến f(x, y, z) xác định trên
V
miền V khi V là một phần của hình cầu hay hình trụ. Tất nhiên, phép đổi trục ở đây không phải là từ hệ
tọa độ trực chuẩn này sang hệ tọa độ trực chuẩn kia, mà là từ một hệ tọa độ trực chuẩn sang một hệ toạ
độ cực trong trường hợp tích phân của hàm hai biến, và sang hệ tọa độ cầu trong trường hợp tích phân
của hàm ba biến.
Do khuôn khổ của luận văn và do chương trình GT của phổ thông không đề cập đến hàm số nhiều
biến số, chúng tôi sẽ không đưa ra ở đây những ví dụ minh họa. Bạn đọc có thể tìm thấy chúng trong
mọi giáo trình GT hàm nhiều biến.
Trở lại với GT hàm một biến, ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến kết luận : về mặt lý thuyết mà nói,
đối với vấn đề tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm một biến, thực ra trong một
số trường hợp, bằng cách đổi hệ tọa độ, ta có thể đưa về một tích phân đơn giản hơn. Hơn thế, việc đặt
tương ứng đổi biến bởi đổi hệ trục tọa độ còn cho phép dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một số
phương trình vốn khá phức tạp nếu biện luận với các đồ thị xét trong hệ tọa độ ban đầu. Kết luận này
sẽ được chúng tôi lưu ý khi phân tích sách giáo khoa ở chương 2 và xây dựng tình huống thực nghiệm

phương trình» và «tìm nghiệm gần đúng của một phương trình».
- Đối với bài toán tính tích phân, đổi biến theo quan điểm HH là một trong những kỹ thuật cho phép
giải quyết kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một số đường cong thường gặp.
Ba phần này bao hàm cả những tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi vừa
nêu trên khi nói về phạm vi tác động của quan điểm GT.
 Tuy vậy, trong giáo trình GT mà chúng tôi xem xét, tác động của quan điểm HH khá yếu ớt.

Trở về với mục đích nghiên cứu đã được thể hiện rõ qua tên của luận văn (‘‘Đổi biến : quan hệ
giữa GT và HH trong dạy học toán ở trường phổ thông’’), chúng tôi thấy rằng cần phải tập trung
nghiên cứu việc dạy học ở lớp 12. Trong thực tế, chương trình lớp 12 đề cập đến hầu hết kiểu nhiệm vụ
mà chúng tôi đã nêu trên : tính đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích
phân. Và như chúng tôi tổng kết lại trong bảng dưới đây những kết qủa thu được từ nghiên cứu tri thức
luận, trừ kiểu nhiệm vụ tinh đạo hàm, kỷ thuật giải quyết ba kiểu nhiệm vụ còn lại đều có thể được tạo
thành từ đổi biến theo quan điểm này hay quan điểm kia.


Đổi biến theo quan Đổi biến theo quan
Kiểu nhiệm vụ

điểm GT la một yếu điểm HH là một
tố kỹ thuật

Tính đạo hàm
Khảo

sát Xác định chiều biến thiên

yếu tố kỹ thuật

x


Giảii phương trình (biện luận, tìm nghiệm gần
đúng)


Chương 2

ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ QUAN HỆ GIỮA GIẢI
TÍCH VÀ HÌNH HỌC

I. Mở đầu
Những câu hỏi cần được trả lời

Như đã nói, câu hỏi trung tâm của luận văn này là : quan hệ giữa GT và HH đã được tính đến như
thế nào bởi thể chế dạy học được xem xét. Thực ra thì GT và HH giao nhau ở nhiều điểm, cả về
phương diện phương pháp luận nghiên cứu lẫn phương diện đối tượng nghiên cứu. Trong khuôn khổ
của luận văn này, chúng tôi chọn “Đổi biến” - một trong những điểm giao nhau đó.
Được đặt trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học, nghiên cứu ở chương 2 nhằm mục đích
làm rõ quan hệ của thể chế I (sự lựa chọn I sẽ được chúng tôi giải thích ngay trong phần dưới) với đối
tượng O (đổi biến). Cụ thể, chúng tôi nhắc lại dưới đây hai câu hỏi đầu tiên cần phải được trả lời qua
nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O).
 Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào ? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ

chức toán học nào ? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì (niche), cho phép
giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì ? v.v…
 Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến HH và GT?

Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?
Từ nghiên cứu thể chế này, chúng tôi hy vọng có thể đưa ra được những giả thuyết liên quan đến
câu hỏi thứ ba sau đây mà việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết đó sẽ là nghiên cứu

khoa, nhiều khi để hiểu rõ ý đồ của nosssphère, chúng tôi còn phải nghiên cứu cả các cuốn Tài liệu
hướng dẫn giảng dạy viết cho giáo viên. Để thuận tiện, trong phần còn lại của luận văn, chúng tôi quy

ước dùng tên Sách giáo viên, viết tắt là SGV, để chỉ loại tài liệu này. Chẳng hạn SGV-12 có nghĩa là
Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 12.

Ngoài ra, vì vấn đề khảo sát hàm số cũng đã được xét ở các lớp 10 và 11, nên cũng thú vị nếu làm
rõ được sự tiến triển của đối tượng này trong chương trình Đại số - Giải tích toàn bậc THPT.
Hơn nữa, vì những nội dung dạy ở lớp 12 sẽ xuất hiện trong các đề thi tú tài và tuyển sinh đại
học, nên việc phân tích một số đề thi này có lẽ cũng có đóng góp quan trọng cho nghiên cứu quan hệ
thể chế.
Như thế, nghiên cứu thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện qua việc phân tích :


- Chương trình ĐS-GT toàn bậc THPT (áp dụng từ năm 2000), SGV-10, SGV-11viết theo
chương trình 2000
- SGK-GT12, SGV-12 và Sách bài tập (SBT) GT12 viết theo chương trình 2000
- Một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học giai đoạn 2003-2007 (giai đoạn sử dụng SGK viết
theo chương trình 2000)

II. Đổi biến trong chương trình 2000 bậc THPT
II.1. Đổi biến trong chương trình đại số 10

Với chương trình 2000, ở lớp 10, đổi biến theo quan điểm HH xuất hiện lần đầu tiên trong phần
“khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai tổng quát”. Ở đây, người ta sử dụng đổi biến để
chứng mình đồ thị của hàm bậc hai tổng quát ax2 + bx + c cũng là một parabol. Về điều này, SGV-10
nói rõ :
“Lớp 9 đã xét hàm số y = ax2. Đồ thị của hàm số này được gọi là đường parabol có đỉnh O và trục đối xứng
là Oy.
Để chứng minh đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c cũng là một parabol, ta phải đưa nó về dạng Y= aX2 đã

Trước hết, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm GT tiếp tục được sử dụng để đại số hóa các
phương trình, hệ phương trình lượng giác, mũ, logarit.
Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 nói rõ :
“Rất nhiều phương trình lượng giác được giải bằng cách sau đây : đặt một hàm số lượng giác hoặc một biểu
thức lượng giác bằng một ẩn phụ t (với những điều kiện tương ứng cho t) để đưa về phương trình đại số theo t.
Giải phương trình này theo t rồi từ đó giải theo x.” (Sách đã dẫn, tr. 24)

Cụ thể hơn, người ta giải thích : chương trình ĐS-GT11 đề cập các loại phương trình lượng giác
sau :
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác :

a.sin2x + bsinx + c = 0 ; a.cos2x + bcosx + c = 0 ; a.tg2x + btgx + c = 0 ; a.cotg2x + bcotgx + c = 0
(a ≠ 0)
- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c
- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

asin²x + bsinxcosx +ccos²x = 0
- Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx :

a (cosx + sinx) + bsinxcosx = c
Phương pháp chung để giải những dạng phương trình này là tìm cách đưa về các phương trình
lượng giác cơ bản :
“Nói chung việc giải phương trình lượng giác là biến đổi để đưa chúng về các phương trình lượng giác cơ
bản. Cần lưu ý là không phải phương trình lượng giác nào cũng có thể biến đổi để đưa về phương trình lượng giác
cơ bản được, nên trong phạm vi phổ thông, không phải phương trình lượng giác nào cũng giải được .
Chính vì vậy trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số dạng phương trình lượng giác đơn giản mà việc đưa
về phương trình lượng giác cơ bản có thể thực hiện được bằng một trong hai phương pháp.