BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------------------
PHẠM THỊ YẾN
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON
TRONG MÔI TRƯỜNG TRONG SUỐT
CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Vinh - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------------------
PHẠM THỊ YẾN
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN
SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Chuyên ngành: Quang học
Mã số:
60.44.01.09
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lĩnh vực quang học, soliton là mối quan tâm đặc biệt bởi vì các
ứng dụng quan trọng của nó trong xử ly và truyền tải thông tin [1, 5]. Cho đến
nay, hầu hết các soliton quang được tạo ra trong các môi trường quang thụ
động, ví dụ như sợi thủy tinh. Tuy nhiên cũng chính do tính chất thụ động của
môi trường đã làm cho việc điều khiển hoạt động của soliton quang gặp nhiều
khó khăn.
Cùng với sự phát triển của công nghệ laser, trong những năm gần đây
nhiều nghiên cứu đã tập trung vào việc xem xét tính chất quang học của các
môi trường hoạt động thông qua hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ [1215]. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa lượng tử giữa các biên độ xác
suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của
một hoặc nhiều trường điện từ. Hệ quả của sự giao thoa lượng tử này là dẫn
đến sự trong suốt của môi trường đối với một chùm quang học nào đó (chùm
laser dò) dưới sự điều khiển của một chùm sáng khác (gọi là “chùm laser điều
khiển”). Đến nay, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ đã được phát triển mở
ra nhiều lĩnh vực ứng dụng mới như: tạo ra các bộ chuyển mạch quang học,
làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng, lưu trữ và xử ly thông tin lượng tử, tăng
cường hiệu suất các quá trình quang phi tuyến, phổ phân giải cao [12-15 ].
Các tính chất của hiện tượng này đã dẫn đến một loại soliton quang mới, là
soliton quang siêu chậm có thể có thể tồn tại trong môi trường nguyên tử
nhiều mức [12-15]. Trong luận văn này chúng tôi sẽ tập trung vào xem xét
các tính chất động học của quá trình lan truyền xung trong môi trường dưới
ảnh hưởng của hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ. Làm rõ sự khác biệt
giữa sự lan truyền soliton trong môi trường thụ động với các môi trường cộng
hưởng ( hoạt động).
mới có ứng dụng trong thực tiễn đời sống.
- Về thực tiễn: Giúp các bạn sinh viên, học viên và người quan tâm có
một hệ thống kiến thức tương đối đầy đủ và vững chắc về tính chất động học
cơ bản của soliton khi lan truyền trong môi trường trong suốt cảm ứng điện
từ.
7
7. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn được trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, hai
chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Lan truyền soliton trong môi trường sợi quang
Chương này sẽ thiết lập phương trình sóng mô tả lan truyền xung trong
sợi quang từ hệ phương trình Maxwell. Đồng thời trong chương này còn giới
thiệu về soliton, cơ chế hình thành soliton và một số loại soliton cùng ứng
dụng của nó trong thực tế. Tìm hiểu về hiện tượng trong suốt cảm ứng điện
từ.
Chương 2: Khảo sát quá trình lan truyền của soliton trong môi trường
trong suốt cảm ứng điện từ.
Trong chương này sẽ đưa ra hệ phương trình Maxwell-Bloch đối với quá
trình lan truyền các xung laser dò và laser điều khiển trong môi trường
nguyên tử ba mức có cấu hình Λ. Xác định các lời giải soliton và sự xuất hiện
của simulton ( một dạng đặc biệt của soliton, thuật ngữ này đã được sử dụng
trong [5,11]). Đồng thời nghiên cứu sự va chạm của soliton dưới điều kiện cụ
thể và từ đó rút ra tính chất của soliton cũng như ứng dụng của nó.
Chương 1
LAN TRUYỀN SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG SỢI QUANG VÀ
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Trong đó E , H lần lượt là vectơ cường độ điện trường và vectơ cường
độ từ trường. D , B là vectơ cảm ứng điện và vectơ cảm ứng từ, J là vectơ
mật độ dòng điện dẫn, và ρ f là mật độ điện tích tự do. Trong môi trường
không có điện tích tự do như sợi quang thì J = 0 và ρ = 0. Mối liên hệ giữa
các vectơ nói trên tuân theo các hệ thức sau
D = ε0E + P
B = µ0 H + M
(1.1.5)
(1.1.6)
Ở đây ε 0 là hằng số điện môi của chân không, µ 0 là hằng số từ thẩm của
2
hệ µ 0 ε 0 = 1 / c . Nhìn chung, để đánh giá chính xác về vecto phân cực P đòi
hỏi tiếp cận bằng phương pháp cơ học lượng tử. Tuy nhiên đối với trường hợp
9
của sợi quang trong dải bước sóng 0,5 − 2 µm là mối quan tâm cho việc
nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến ta có thể tiếp cận nó theo phương pháp bán
cổ điển. Nếu chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba được chi phối bởi χ (3) , lúc đó
phân cực gồm có hai thành phần thỏa mãn:
P( r , t ) = PL ( r , t ) + PNL ( r , t )
(1.1.8)
Với phân cực phi tuyến PL và phân cực tuyến tính PNL phụ thuộc vào
điện trường E bởi các mối quan hệ tổng quát sau:
∞
PL ( r , t ) = ε 0 ∫ χ ( 1) t − t ' . E r , t ' dt '
tuyến tính trong E , điều đó thuận lợi cho viết trong miền tần số:
~
ω 2 ~
∇ × ∇ × ∇ E ( r ,ω ) − ε ( ω ) 2 E ( r ,ω ) = 0
c
(1.1.11)
~
Trong đó E ( r, ω ) là biến đổi Fourier của E ( r , t ) được định nghĩa như sau:
~
E( r ,ω) =
∞
E
∫ ( r , t ) exp( iωt ) dt
−∞
(1.1.12)
10
α (ω ) =
[
1
Re χ~ 1 ( ω )
2
Ở đây Re và Im là phần thực và phần ảo tương ứng. Sự phụ thuộc tần số của
n và α đã được thảo luận ở trong một số tài liệu [1, 2, 8].
Có hai đơn giản hóa có thể tiếp tục được thực hiện trước khi giải phương
trình (1.1.11). Đầu tiên vì mất mát quang học trong sợi quang thấp ở vùng có
bước sóng mà chúng ta quan tâm, phần ảo của ε ( ω ) là nhỏ so với phần thực..
Thứ hai, n( ω ) thường độc lập với tọa độ không gian ở cả lõi và lớp vỏ của hệ
số bậc sợi, ta có thể dùng:
(
)
∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ ∇E − ∇ 2 E = −∇ 2 E
(1.1.17)
∂ 2 PNL
∂ 2 PL
2
(1.1.19)
∇ E − 2 2 = µ0
+ µ0
c ∂t
∂t 2
∂t 2
Trong đó các thành phần tuyến tính và phi tuyến của hiện tượng phân
cực gây ra có liên quan đến điện trường E ( r , t ) thông qua phương trình (1.1.9)
và (1.1.10) tương ứng.
Để đơn giản hóa trước khi giải phương trình (1.1.19), chúng ta chú y
rằng: Thứ nhất PNL được xem như một sự nhiễu loạn nhỏ so với PL . Thứ hai
trường quang học được giả thiết duy trì độ phân cực dọc theo chiều dài sợi
sao cho cách tiếp cận vô hướng là phù hợp. Thứ ba, các trường quang học
được giả thiết gần như là đơn sắc, tức là xung phổ tập trung tại ω 0 , giả thiết
rằng phổ có độ rộng ∆ω sao cho ∆ω / ω 0
2
(1.1.22)
Thành phần tuyến tính PL có thể thu được bằng cách thay phương trình
(1.1.21) vào phương trình (1.1.9) và được cho bởi:
∞
PL ( r , t ) = ε 0 ∫ χ xx( 1) ( t − t ′) E ( r , t ′) exp [ iω0 ( t − t ′) ] dt ′
−∞
ε
= 0
2π
(1.1.23)
∞
~ ( 1) ( ω ) E~( r, ω − ω ) exp [ − i( ω − ω ) t ] dω
χ
0
0
∫ xx
−∞
tìm thấy có một số hạng dao động tại ω 0 và một số hạng dao động khác tại
họa âm bậc ba tần số 3ω 0 . Số hạng thứ hai đòi hỏi có giai đoạn phù hợp và
13
thường là không đáng kể trong sợi quang. Bằng cách sử dụng phương trình
(1.1.22), PNL ( r , t ) được cho bởi:
PNL ( r , t ) ≈ ε 0ε NL E ( r , t )
(1.1.25)
Trong đó sự đóng góp phi tuyến với hằng số điện môi được xác định như
sau:
ε NL =
2
3 ( 3)
χ xxxx E ( r , t )
4
(1.1.26)
Có được phương trình sóng với biên độ biến thiên chậm E ( r , t ) sẽ thuận
lợi hơn khi xét trong miền Fourier. Nó không phi tuyến như phương trình
trình (1.1.26). Tương tự như phương trình (1.1.14), hằng số điện môi có thể
được sử dụng để xác định chiết suất khúc xạ n~ và hệ số hấp thụ α~ . Tuy
nhiên, cả n~ và α~ trở nên phụ thuộc vào cường độ vì ε NL . Điều đó là thông
thường để đưa ra:
14
2
α~ = α + α 2 E
2
n~ = n + n 2 E ,
(1.1.30)
2
Sử dụng ε = ( n~ + iα~ / 2k 0 ) và phương trình (1.1.26), (1.1.29), hệ số chiết
suất phi tuyến n2 và hệ số hấp thụ hai photon α 2 được cho bởi:
n2 =
(
)
3
3)
Re χ(xxxx
Trong đó A( z , ω ) là một hàm biến đổi chậm của z và β 0 là số sóng,
~
phương trình (1.1.28) dẫn đến hai phương trình sau cho F ( x, y ) và A( z , ω ) :
[
]
∂2F ∂2F
~
+ 2 + ε ( ω ) k 02 − β 2 F = 0
2
∂x
∂y
(1.1.33)
~
∂A ~ 2
~
2iβ 0
+ β − β 02 A = 0
∂z
(1.1.34)
(
)
không ảnh hưởng đến hàm phân bố F(x, y) . Tuy nhiên, giá trị riêng β trở thành:
~
(1.1.37)
β ( ω ) = β ( ω ) + ∆β
Trong đó:
k 0 ∫∫ ∆n F ( x, y ) dxdy
2
∆β =
−∞
(1.1.38)
∫∫ F ( x, y ) dxdy
2
−∞
Dùng phương trình (1.1.20) và (1.1.30), điện trường E ( r , t ) có thể được
viết như sau:
1
E ( r , t ) = xˆ{ F ( x, y ) A( z , t ) exp [ i ( β 0 z − ω0 t ) ] + c.c}
2
thuận lợi cho việc khai triển β ( ω ) trong chuỗi Taylor về tần số mang ω 0 như
sau:
β ( ω ) = β 0 + ( ω − ω 0 ) β1 +
1
( ω − ω0 ) 2 β 2 + 1 ( ω − ω0 ) 3 β 3 + ...
2
6
(1.1.41)
Trong đó:
d mβ
β m = m
dω ω =ω0
(m = 1,2,…)
(1.1.42)
Số hạng lập phương và bậc cao trong khai triển này là không đáng kể nếu
độ rộng phổ ∆ω
17
∂A
∂A iβ 2 ∂ 2 A α
2
+ β1
+
+
A
=
i
γ
A
A
∂z
∂t
2 ∂t 2 2
(1.1.45)
Trong đó tham số phi tuyến γ được định nghĩa như sau:
γ=
n2ω 0
cAeff
(1.1.46)
2
các chỉ số lõi – vỏ. Nếu F(x,y) gần đúng bằng phân bố Gauss [3] thì Aeff = πw ,
thông số chiều rộng phụ thuộc vào thông số sợi. Thông thường Aeff có thể
thay đổi trong khoảng 20 −100µm 2 trong miền 1.5µm tùy thuộc vào cấu tạo của
sợi. Do đó, γ có giá trị trong khoảng 1 − 10W −1 / km nếu n2 ≈ 2.6 × 10 −20 m 2 / W .
Trong vùng sợi có ảnh hưởng lớn (LEAF), Aeff được tăng để giảm ảnh hưởng
của sợi phi tuyến.
Phương trình (1.1.45) mô tả sự lan truyền xung cỡ ps trong sợi đơn
mode. Nó được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) và có thể rút
gọn dạng dưới điều kiện cụ thể. Nó bao gồm ảnh hưởng của mất mát sợi
thông qua α , của tán sắc thông qua β1 và β 2 , và của phi tuyến thông qua γ .
Tóm lại đường bao xung lan truyền với vận tốc nhóm ν g ≡ 1 / β1 trong khi ảnh
18
hưởng tán sắc của vận tốc nhóm được điều khiển bởi β 2 . GVD tham số β 2 có
thể dương hoặc âm tùy thuộc vào bước sóng λ là dưới hay trên bước sóng
không tán sắc λ D của sợi. Trong tán sắc dị thường ( λ > λ D ), β 2 âm và sợi có
thể hỗ trợ soliton quang. Tiêu chuẩn trong sợi silica là β 2 ≈ 50 ps 2 / km trong
vùng nhìn thấy nhưng trở nên gần − 20 ps 2 / km gần vùng bước sóng ≈ 1.5µm ,
sự thay đổi dấu xuất hiện ở vùng cận với 1.3µm .
1.2. Soliton quang học và ứng dụng
Một sự xuất hiện thú vị về quang phi tuyến xảy ra thông qua soliton
quang, hình thành do kết quả của sự tương tác giữa các hiệu ứng tán sắc và
phi tuyến. Từ soliton dùng để chỉ một loại bó sóng đặc biệt có thể lan truyền
trên một khoảng cách dài mà không bị biến dạng. Soliton đã được phát hiện ở
nhiều ngành của vật ly. Trong điều kiện của sợi quang học không chỉ có
soliton là mối quan tâm cơ bản nhưng người ta cũng đã tìm thấy các ứng dụng
Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số của xung là ω 0 và tần số của
nó được giữ nguyên là hằng số trên toàn bộ xung (xung Gauss không chirp).
Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với hệ số tán sắc vận tốc nhóm
β 2 < 0 nó sẽ bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm. Do đó tần số ở
phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung. Các thành phần tần số lớn
hơn sẽ lan truyền nhanh hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn do
đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ
rộng hơn tín hiệu ban đầu và đuôi xung bị dịch tần.
Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến không tán
sắc, xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần của xung có
giá trị âm ở phần đầu xung và có giá trị dương ở phần cuối xung. Do đó tần số ở
phần đầu xung sẽ bé hơn ở phần cuối xung, phần đầu xung bị giãn.
Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng trên được mô tả bởi
hình 1.1 [2]:
20
Môi trường tán sắc
tuyến tính
Môi trường phi
tuyến không tán
sắc
Hình 1.1: Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng GVD và SPM.
Bây giờ trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụng
đồng thời của hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướng
τ=
t − β1 z
z
;ξ =
T0
LD
với LD là quãng đường đặc trưng tán sắc và T0 là độ rộng ban đầu của xung.
Giả sử:
u (ξ ,τ ) = V (τ ) exp[ iφ (ξ ,τ )] và φ (ξ ,τ ) = Kξ
(1.2.2)
Ta có:
1 ∂ 2V (τ )
iV (τ )iK exp(iφ ) −
exp(iφ ) + V 2 (τ )V (τ ) exp(iφ ) = 0
2
2 ∂τ
⇔ − KV −
1 ∂ 2V
+V 3 = 0
2
2 ∂τ
u d ( ξ ,τ ) = (η tanh ς − iK ) exp iu 02ξ
)
2u 0 , Lim
τ →∞
∂V
=0⇒
∂τ
Suy ra nghiệm chung có dạng:
(
2u 0
)
4
(
− 2 2u 0 K = 0 ⇒ K = U 02
(
Với
ς =η (τ − Kξ ) , η = u 0 cos φ , K = u 0 sin φ
Soliton tối bậc cao không cho phép một dạng tiến triển hoàn toàn sau
mỗi chu kì như soliton sáng bậc cao. Với N>1, xung đầu vào hình thành một
soliton tối cơ bản bằng việc thu hẹp độ rộng của nó trong quá trình phát ra
nhiều cặp soliton tối.
Có thể tạo ra các cặp soliton tối bằng nhiều cách khác nhau như sử
dụng giao thoa kế Mach-Zender, chuyển đổi phi tuyến tín hiệu beat trong sợi
giảm tán sắc và chuyển đổi một tín hiệu mã NRZ thành tín hiệu RZ, sau đó
thành các soliton tối.
23
Do tính không đối xứng của các soliton tối xuất phát từ đáp ứng thời
gian của mạch điện tạo ra chúng làm hạn chế khoảng cách truyền dẫn. Vì vậy
chúng ít được sử dụng hơn các soliton sáng trong các hệ thống quang thực tế.
b) Soliton cơ bản
Phương trình NLS có thể có các lớp nghiệm soliton cho cả GVD bình
thường và dị thường, nhưng các soliton sáng chỉ được tìm thấy trong các
trường hợp tán sắc dị thường ( β 2 < 0 ). Soliton sáng được sử dụng hầu hết
trong các hệ thống truyền thông quang.
Thực hiện phép chuẩn hóa như trường hợp soliton tối với chú y là
β 2 < 0 nên phương trình sóng có dạng:
i
∂u 1 ∂ 2 u
2
+
+u u =0
2
24
2
∂V
2
4
⇔
= 2 KV − V + C
∂t
(1.2.6)
= 0 và Lim ∂V = 0 nên C = 0. Tại đỉnh soliton có V = 1 và
Vì ta có: LimV
τ →∞
τ →∞
∂τ
∂V
= 0 suy ra (2K – 1) = 0 suy ra K = 1/2:
∂τ
2
1
∂V
2
4
⇒φ = ξ ⇒
= V −V
chính là thuộc tính quan trọng của soliton cơ bản, làm cho nó trở nên ly tưởng
với các hệ thống truyền thông quang.
Hình 1.2. Lan truyền của các soliton bậc nhất trong sợi quang
25
c) Soliton bậc cao
Ta giả thiết hàm đầu vào có dạng:
u ( 0,τ ) = N sec h(τ )
(1.2.8)
Trong đó bậc soliton N là số nguyên, đối với các soliton bậc hai (N =
2), phân bố trường thu được từ phương trình sau:
N
u ( ξ ,τ ) = −2∑ λ*jψ 2* j
j =1
ψ
*
2j
N
λ*j λk
chu kì ξ0 = π / 2 , trong thực tế chu kì này xảy ra cho tất cả các soliton bậc cao.
Sử dụng định nghĩa ξ = z / LD các chu kì soliton z0 trong đơn vị thực trở thành:
π
π T02
z0 = LD =
2
2 β2
(1.2.12)
Chu kì tiến hóa của soliton bậc 4 qua hai chu kì soliton được thể hiện
trong hình 1.3. Khi xung lan truyền dọc theo sợi, đầu tiên nó kết hợp với phần
chiều rộng ban đầu của nó, chia tách thành hai xung khác biệt tại z 0 = 2 và
sau đó sát nhập một lần nữa để khôi phục hình dạng ban đầu vào cuối chu kì
soliton tại z = z 0 . Mô hình này lặp đi lặp nhiều lần qua từng phần của chiều
dài z 0 . Xét đối với phương trình NLS đã chuẩn hóa thì từ công thức (1.2.12)
chúng ta suy ra chu kỳ của soliton bậc cao bằng π/2.
Copyright: Tài liệu đại học ©