Mục lục
I. Hội tụ ngẫu nhiên và định lý giới hạn ................................................................3
1. Định nghĩa: ......................................................................................................3
1.1

Hội tụ ở mọi nơi (e) ...................................................................................3

1.2

Luật của 1 số lớn (Bernoulli) ...................................................................5

2. Các định lý giới hạn trung tâm .....................................................................7
2.1

Định lý Berry-Esseén: ............................................................................10

2.2

Kết quả của các định lý giới hạn trung tâm. .......................................11

II. Quá trình ngẫu nhiên – Ứng dụng ...................................................................12
1. Định nghĩa .....................................................................................................12
1.1 Bình đẳng:................................................................................................12
1.2 Thống kê quá trình Stochasic ................................................................13
1.3 Tƣơng quan tự động:..............................................................................14
1.4 Trƣờng hợp không đồng nhất. ..............................................................15
1.5 Thuộc tính chung ....................................................................................17
1.6

Tƣơng quan và hiệp phƣơng sai. ..........................................................17


Định nghĩa. ..............................................................................................23

3.2

Hệ thống tuyến tính. ...............................................................................28

3.3 Quá trình phức tạp .................................................................................32
3.4

Tích hợp quang phổ. ..............................................................................33

3.5 Véc tơ quang phổ. ...................................................................................34
3.6 TÍNH CHẤT CỦA CÁC MỐI TƢƠNG QUAN. .................................35
3.6.1

Điều kiện đủ. ........................................................................................35

3.6.2

Hệ quả. .................................................................................................36

3.6.3

Tƣơng quan chéo. ................................................................................37

4. Quá trình kĩ thuật số ....................................................................................38
4.1

Định nghĩa ..............................................................................................38


(8-101)

Ở phía trên, {xn x} bao gồm tất cả kết quả xn( )
Hội tụ trọng MS Chuỗi xn có xu hướng đến biến ngẫu nhiên x trong ý nghĩa MS
nếu
E{|xn x|2} 0 khi n

(8-102)

Cái này được gọi là giới hạn trung bình và nó thường được viết dưới dạng
l.i.m. xn=x khi n
 Tính hội tụ trong xác suất (p): Xác suất P{|x-xn|> } của sự kiện {|x-xn|> } là
một chuỗi các con số tùy thuộc vào . Nếu chuỗi này có xu hướng dần đến 0:
P{|x-xn|> } 0 n

(8-103)
3


Cho bất kì >0 thì chúng ta nói rằng chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên
x trong xác suất. Cái này được gọi là hội tụ ngẫu nhiên.
 Hội tụ trong phân phối (d): Chúng ta kí hiệu Fn(x) và F(x) là phân phối của
biến ngẫu nhiên xn và x. Nếu
Fn(x) F(x) n

(8-104)

Với mọi điểm x liên tục của F(x) thì chúng ta nói rằng chuỗi xn có xu hướng dần
đến biến ngẫu nhiên x trong phân phối. Chúng ta lưu ý rằng trong trường hợp này
chuỗi xn( ) ko cần phải hội tụ tại bất kì nào.


(8-106)

Chúng ta sẽ thiết lập lại kết quả này như là giới hạn của một chuỗi các biến ngẫu
nhiên.Với mục đích này chúng ta giới thiệu các biến ngẫu nhiên
xi = {
Chúng ta sẽ thấy các mẫu có nghĩa là
̅̅̅
Của các biến ngẫu nhiên có xu hướng dần đến xác suất p khi n
Chứng minh Như chúng ta đã biết
E{xi} = E{̅̅̅} = p
Hơn nữa, pq = p(1-p) 1/4. Do đó (xem 5-57)
P{|̅̅̅

|< } 1-

→

Bởi vì ̅̅̅ = k/n nếu A xảy ra k lần.
 Luật mạnh của số lớn (Borel)
5

.


Nó có thể được chỉ ra rằng ̅̅̅ có xu hướng đến p không chỉ là xác suất mà còn
là xác suất 1. Kết quả này, do Borel, được gọi là luật mạnh của số lớn. Sẽ không
được chứng minh.
 Định lý Markoff.
Chúng ta có được chuỗi xi của các biến ngẫu nhiên và chúng ta thành lập mẫu

| ̅

|

| ̅

̅ |

| ̅

Giá trị kì vọng của hai bên ta được:
E{ ̅

}

{ ̅
̅

}
̅

Và (8-108) từ (8-107).
 Hệ quả (điều kiện Tchebycheff)
Nếu biến ngẫu nhiên xi là ko tương quan và
→

(8-109)

Thì
∑ { }

(8-110)

Khi n tăng. Hơn nữa nếu biến ngẫu nhiên xi là liên tục, mật độ f(x) của x tiếp cận
một mật độ bình thường (Hình 8-5a).
f(x)

(8-111)

√

Định lí quan trọng này có thể được nêu như một giới hạn: nếu z=(x- )/ thì
Fz(z)→

G(z)

fz(z)→

√

Nói chung và cho các trường hợp liên tục.
Ví dụ 8-17. Nếu biến ngẫu nhiên xi là độc lập và phân phối giống nhau với mật độ
fi(x) như trong hình 8-8a. thì f(x) bao gồm 3 parabol (xem ví dụ 8-12) và N(0,1/4)
là ước lượng chuẩn. Kể từ khi f(x) đều và m4=13/80 (see Prob.8-4), kết quả (8-117)

7


√

(


(8-119)

Phương trình (8-119) cho thấy với nhỏ và n lớn, hàm
| |
( Hình 8-9a). Điều đó cũng cho hàm mũ
(8-123). Từ đó sẽ có

là không đáng kể khi
nếu

(8-120)
8

như trong


Thỏa mãn với (8-111)

Tính chính xác của định lý nói rằng biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

Có xu hướng dần đến N(0,1) khi n
→

;

(8-121)

√



khi n

và kết quả (8-121)

Sau đây là một tập hợp đầy đủ các điều kiện:
→

(a)

(8-123)

(b) Tồn tại một số >2 và K hữu hạn liên tục như vậy mà
∫

với mọi I

(8-124)

Những điều kiện này không phải là chung nhất. Tuy nhiên chúng bao gồm một loạt
các ứng dụng. Ví dụ, (8-123) được thỏa mãn nếu tồn tại một hằng số >0 thỏa mãn
với mọi i. Điều kiện (8-124) được thỏa mãn nếu tất cả các mật độ f(x) là 0
bên ngoài một khoảng hữu hạn (-c,c) bất kể lớn thế nào.
 Mạng tinh thể: Các lí do trên cũng có thể được áp dụng với biến ngẫu nhiên
rời rạc. Tuy nhiên trong trường hợp này các hàm
là từng thời kì (hình 89b) và kết quả của chúng có giá trị đáng kể chỉ trong một vùng nhỏ gần các
điểm
. Sử dụng xấp xỉ (8-112) trong vùng này, chúng ta có được
∑


10


Cuối cùng, chúng ta lưu ý rằng trong khi (8-128) thiết lập chỉ đơn thuần là sự hội
tụ trong phân phối của ̅ cho một biến ngẫu nhiên bình thường, (8-127) lại cung
cấp một ràng buộc đô lệch của F(x).
2.2 Kết quả của các định lý giới hạn trung tâm.
Với n biến ngẫu nhiên đọc lập xi:
y = x1x2…xn

xi>0

 Định lý. Với n lớn, mật độ của y là khoảng:
{

√

}

(8-129)

Trong đó
∑ {

}

∑

Chứng minh. Biến ngẫu nhiên
z = lny = lnx1 +…+ lnxn


}


II. Quá trình ngẫu nhiên – Ứng dụng
1. Định nghĩa
Chúng ta hãy nhớ lại,một RVx là một quy tắc gán ghép cho mọi kết quả của
mọi thực nghiệm một số x( .Một quá trình ngẫu nhiên x(t) là quy tắc gán cho
từng một chức năng x(t .Do đó,một quá trình tập hợp các chức năng thời gian
phụ thuộc vào các tham số,hoặc tương đương với chức năng của t và .Miền là
tập hợp các kết quả thực nghiệm và miền của t là tập hợp R các số thực
Nếu R là trục thực x(t) là quá trình thời gian liên tục.Nếu R là tập hợp các số
nguyên x(t) là quá trình rời rạc.Như vậy một quá trình thời gian rời rạc là chuỗi các
biến ngẫu nhiên và nó sẽ được ký hiệu là x (như trong phần 8-4) hoặc để tránh
những chỉ số tăng gấp đôi x[n]
Chúng ta sẽ nói rằng x(t) là quá trình rời rạc nếu giá trị của nó đếm được.Ngược
lại nó là một quá trình liên tục
Hầu hết các kết quả trong cuộc điều tra này sẽ được trình bày dưới hình thức
quá trình thời gian liên tục”chủ đề liên quan đến quy trình thời gian rời rạc sẽ được
giới thiệu bằng minh họa lý thuyết chung hoặc khi phần thời gian rời rạc của nó
không phải là hiển nhiên
Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu x(t) để đại diện cho quá trình ngẫu nhiên,như
trong trường hợp của các biến ngẫu nhiên,sự phụ thuộc vào Do đó x(t) có những
sự giải thích sau đây:
a. Đó là gia đình(hoặc một quần thể) của các chức năng x(t, ).Trong cách giải
thích này t và là các biến
b. Đây là một chức năng thời gian duy nhất(hoặc một mẫu của quá trình nhất
định).Trong trường hợp này t là một biến và được cố định
c. Nếu t là cố định và có thể thay đổi,x(t) là một biến ngẫu nhiên tương đương
với trạng thái của quá trình được đưa ra tại một thời điểm t


Chức năng này phụ thuộc vào t và nó tương đương với xác suất của các sự kiện
x(t)
bao gồm tất cả kết quả như nó,tại thời điểm t cụ thể,mẫu x(t, của quá
trình nhất định không vượt quá số x.Chức năng F(x,t) được gọi là sự phân bố lệnh
đầu tiên của quá trình x(t).Dẫn xuất của nó đối với x:
F(x,t)=
Phân phối bậc hai của tiến trình x(t) là việc phân chia
{

F(
RVs x(
f(

và x(

}

.Mật độ tương đương

=

Tự tính bậc hai:đối với việc xác định đúng mối quan hệ thống kê của một quá trình
ngẫu nhiên,kiến thức của chức năng F(
) là cần thiết cho mỗi
.Tuy nhiên đối với nhiều ứng dụng chỉ có một số trung bình được sử dụng đặc

13



}

Chúng ta kết luận sử dụng một lần nữa tuyến tính giá trị kỳ vọng rằng
E{ }

∫ ∫

{

}

∫ ∫

Ví dụ 10-4 chúng ta quyết định tương tác tự động R(

) của quá trình

X(t)=r
Trong đó RVs với r và

là đơn vị độc lập và ở dưới dạng bất định

Sử dụng danh tính lượng giác đơn giản ta có
E{

}

{ } {

(

Là một Poisson RV với tham số λt
14

) của độ dài t=


P{ (

(10-13)

P nếu khoảng (
độc lập

) và (

) không chồng chéo thì RVs (

Sử dụng các điểm

chúng ta hình thành quá trình ngẫu nhiên:

và (

X(t)= (0,t)
Để cụ thể t,x(t) là một Poisson RV với tham số λt.Do đó
E{x(t)}= (t)=λt
Chúng ta chỉ ra rằng tương quan động tương đương
= {

R(


{

} {

}

.

Sử dụng nhận dạng
x(

=x(

]

Chúng ta kết luận từ công thức trên và (10-15) rằng
R(
Và 10-14 kết quả
1.4 Trƣờng hợp không đồng nhất.
Nếu các điểm t,có mật độ không đồng đều (t) như trong (3-54) thì kết quả vẫn
được chứng minh là sản phẩm
được thay thế bằng việc tách rời (t)
từ đến
E{x(t)}=∫

(10-16)
15



Để quyết định R(
chúng ta lưu ý rằng,nếu x(
lượng các điểm trong khoảng (
là số chẵn.Do đó
P{x(

=1|x(

}=

x(

=

|

t=|

=1}=

Bởi vì x(
R(

nếu số

} chúng ta được

Nhân với P{x(
P{x(


|


1.5 Thuộc tính chung
Các tính chất thống kê của quá trình ngẫu nhiên thực sự x(t) được quyết định
hoàn toàn trong phân phối thứ n-trật tự của nó
{

F(

}

10-20)

Thống kê tổng hợp của hai quá trình thực sự x(t) và y(t) được quyết định dưới sự
phân bố của RVs
Quá trình phức tạp z(t)=x(t)+jy(t) được thể hiện trong thống kê của quá trình thực
x(t)và y(t)
Một quá trình hector (quá trình n-chiều) là một tập hợp của quá trình ngẫu nhiên
1.6Tƣơng quan và hiệp phƣơng sai.
Tự tương quan của 1 tiến trình x(t) phức tạp,theo định nghĩa giá trị trung bình
của sản phẩm x(t)x*( .Chức năng này sẽ biểu thị bằng R(
hoặc
hoặc
.Do đó
}

=E{x(t)x*(

(10-21)


{| ∑

| }

∑

Hiệp phương sai tự động C(
RVs x( và x(

{

}

của một quá trình x(t) là hiệp phương sai của

17


C(

= R(

- (

*(

(10-25)

Trên đó (t)=E{x(t)} là trung bình của x(t)


∫ ∫

(10-28)

Sự tương quan chéo của hai quá trình x(t) và y(t) là chức năng
{

}

(10-29)

Tương tự
(10-30)
Là hợp phương sai chéo
Hai quá trình x(t) và y(t) được gọi là trực giao nếu
với mọi

(10-31)

Chúng được gọi là không tương quan chéo nếu
(10-32)
Quá trình phụ thuộc nhìn chung các giá trị x( và x(
của quá trình ngẫu nhiên
x(t) là thống kê phụ thuộc cho bất kỳ và .Tuy nhiên trong hầu hết các trường
hợp sự phụ thuộc này giảm khi |
|
.Điều này dẫn đến các khái niệm sau
đây:một quá trình ngẫu nhiên x(t) được gọi là một phụ thuộc vào tất cả các giá trị
x(t) cho t< và cho t> +a phụ thuộc lẫn nhau.Từ đó


(10-34)

Nếu RVs
và v( không chỉ không tương quan nhưng cũng độc lập thì v(t) sẽ
được gọi là tiếng ồn trắng nghiêm.Trừ phi có quy định khác,nó sẽ cho rằng giá trị
trung bình của một quá trình tiếng ồn trắng là giống nhau
Ví dụ 10-9:giả dụ rằng v(t) là một quá trình trắng và
X(t)=∫

(10-35)

Thêm (10-34) vào (10-35) chúng ta có
E{

(t)}=∫ ∫

=∫

(10-36)

Bởi vì
∫

với 0


Nghịch đảo của nó f(

là sự phân bổ hạng n của x(t)

Định lý tồn tại cho một chức năng tùy ý (t) và một p.d chức năng C(
) chúng
ta có thể xây dựng một quá trình bình thường với trung bình (t) và hợp phương
sai tự động C(
) .Điều này sau nếu chúng ta sử dụng trong (10-37) (t) chức
năng (t) và C(
) nghịch đảo của các chức năng đặc trưng kết quả là mật độ bởi
vì chức năng C(
) là pd theo giả thiết
1.9Quá trình điểm và quá trình đổi mới.
Một quá trình điểm là một tập hợp các điểm ngẫu nhiên t trên trục thời gian.Với
tất cả quá trình điểm chúng ta có thể kết hợp một quá trình ngẫu nhiên x(t) bằng số
lượng điểm t trong khoảng (0,t).Một ví dụ là quá trình Poisson.Mỗi điểm quá trình
t chúng ta có thể kết hợp chuỗi các RVs
Trong đó t là điểm ngẫu nhiên đầu tiên bên phải của gốc.Trình tự này được gọi là
một quá trình đổi mới.Một ví dụ là lịch sử ra đời của bóng đèn được thay thế ngay
sau khi họ thất bại.Trong trường hợp này z là tổng thời gian bóng đèn thứ i là trong
hoạt động và t là thời gian của sự thất bại của nó
Dó đó chúng ta đã thành lập tương ứng giữa ba khái niệm sau đây
(a) Là quá trình điểm
(b) Quá trình ngẫu nhiên rời rạc x(t) ngày càng tăng trong các bước đơn vị
tại các điểm quá trình đổi mới của .
1.10 Quá trình bất động:
20


}
(10-42)
Bởi vì là khoảng cách từ t đến t+ ,chức năng R( ) có thể được viết dưới dạng
R(

{ (

)

(

)}

(10-43)

Chú ý rằng
E{|
| }
Do đó trung bình của quá trình bất động là độc lập của t và nó bằng R(0)
2. Các hệ với đầu vào là ngẫu nhiên
Cho một quá trình ngẫu nhiên x(t), chúng ta chỉ định một số nguyên tắc cho mỗi
mẫu x(t, ζi) một hàm y(t, ζi). Chúng ta đã tạo ra 1 quá trình:
Y(t) = T[x(t)]
Quá trình y(t) được hình thành có thể coi là đầu ra của hệ thống với đầu vào là quá
trình x(t), Thông qua toán tử T thể hiện mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ.
Chúng ta xem xét 2 trường hợp đặc biệt sau:
21


2.1 Hệ không nhớ


(10-78)

Khi
Ngày nay hầu hết các hệ đều quy định bởi công thức trên.
b. Định lý cơ bản: cho tất cả hệ tuyến tính
E{L[x(t)]} = L[E{x(t)}]

22

(10-79)


Nói cách khác, thái trị trung bình ηy(t) của đầu ra bằng đáp úng của giá trị trung
bình ηx(t) của đầu vào:
ηy(t) = L[ηx(t)]

(10-80)

Nếu ta viết tách rời như một giới hạn của một tổng ta được công thức:
{

}

∫

{

(10-81)



, thực


{

}:

∫

(10-120)

Từ

nó kéo theo

là một hàm thực của .

Từ công thức biến đổi ngược Fourier, nó kéo theo
∫

(10-121)

∫

∫

| |

√


Phổ năng lượng chéo của hai quá trình
tương quan chéo của chúng
{

là biến đổi Fourier
}:

và

của

∫
∫

(10-123)

Nói chung thì hàm
là phức tạp ngay cả khi cả hai quá trình
thực. Trong tất cả các trường hợp

và

là

(10-124)
Bởi vì

{


(10-125)
Hàm

được gọi là phổ hiệp phương sai của

.

Ví dụ 10-23. Chúng tôi thể hiện trong (10-100) rằng sự tự tương quan của các xung
Poisson
∑

∑

25