Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Chuyên đề:CÁC PHÉP TÍNH TRONG Q.
I .Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng
b
a
với a, b
∈
Z; b
≠
0.
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Các phép toán trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
Nếu
)0,,,(;
≠∈==
mZmba
m
b
y
m
a
x
Thì
m
ba
m
b
m
a

.
..;
====
* Nếu
1 .
; ( 0) : . .
.
a c a d a d
x y y thì x y x
b d y b c b c
= = ≠ = = =
Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu
):( yxhay
y
x
Chú ý:
+) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép
cộng và phép nhân trong Z
+) Với x
∈
Q thì




<−
≥
=
0
0

1
0
* . 0
0
x
x y
y
=

= ⇔

=

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 1: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí
a)
14
17
9
4
7
5
18
17
125
11
++−−
b)
1
2

18
17
7
5
14
17
125
11
=−+=






−−






−+
b)
11114
4
1
4
3
3

Bài 2: Thực hiện phép tính một cách thích hợp.
a)
7 2 4 3 3 2 3
7 4 3
5 3 5 8 5 3 8
     
+ − − + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
b)
1 1 3 1 2 7 4
2 9 5 2006 7 18 35
       
− + − − − + − − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.
c)
1 3 3 1 1 1 2
3 4 5 2007 36 15 9
− + + − + −
d)
1 1 1 1
.....
1.2 2.3 3.4 2006.2007
+ + + +
Hướng dẫn
a) 6; b)
1
2006

 
   
− − − − −
 ÷  ÷
 
   
 
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
       
− − − + − + − − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
     
− + − − − − − +
 ÷  ÷  ÷
     
e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
     
+ − − − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     

 ÷  ÷
   
k)
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
   
− − − +
 ÷  ÷
   
l)
2 8 1 2 5 1
12. : 3 . .3
7 9 2 7 18 2
 
− + −
 ÷
 

Hướng dẫn
2
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
 
−
 
− − −
 ÷

 
   
− − − − −
 ÷  ÷
 
   
 
=
5
7
-
7
5
-
1
2
+
2 1
7 10
 
− −
 ÷
 
=
5
7
-
7
5
-

3
7
- 2 =
4
1
7
−
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
       
− − − + − + − − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
=
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
− + − + + + −
=
3 2 4 1 1 7 1
5 7 35 2 9 18 71
   
+ + − + + +
 ÷  ÷
   
=
21 10 4 9 2 7 1
35 18 71
+ + + +
− +

5 5 5 5
− + +
e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
     
+ − − − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
=
+ − − + + − − − +
1 2 1 73 5 2 1
5 2 8
5 9 23 35 6 7 18

=
( )
   
− − + − − − +
 ÷  ÷
   
1 73 2 1 2 5 1
5 2 8 + +
5 35 7 18 9 6 23
=
   
+ − − − +
 ÷  ÷
   

   
1 3 1 3 2 1 1
-
3 5 15 4 9 36 64
=
+ + + +
   
+
 ÷  ÷
   
5 9 1 27 8 1 1
-
15 36 64
=
+
1
1 - 1
64
=
1
64
g)
5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
     
− − − + + + − + − −
 ÷  ÷  ÷
     
=

:5,02,1
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×






1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×






−




×
*
Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu
PP giải: Áp dụng quy tắc chuyển vế
Bài 1: Tìm x, biết:






−−=






−−
13
11
28
15
42
5
13
11
x
;
Hướng dẫn

15 5
x
28 42
= − +

5
x
12
= −
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:
a)
1
x + 4 12
2
= −
; b)
3 1
+ :x 3
4 4
= −
;
c)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
10 11 12 13 14
+ + + + +
= +
d)
x 4 x 3 x 2 x 1
+

−
= − − =
1 15 1 4 1
x : .
4 4 4 15 15
−
   
= = − = −
 ÷  ÷
   
c)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
10 11 12 13 14
+ + + + +
= +
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ + 0
10 11 12 13 14
+ + + + +
− − =
d)
x 4 x 3 x 2 x 1
+
2000 2001 2002 2003
+ + + +
= +
x 4 x 3 x 2 x 1
1 1 1 1
2000 2001 2002 2003

 
Vì
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
> > > >
Do đó x + 1 = 0 nên x = -1.
x 2004 x 2004 x 2004 x 2004
+ =
2000 2001 2002 2003
+ + + +
+
x 2004 x 2004 x 2004 x 2004
+ 0
2000 2001 2002 2003
+ + + +
− − =
( )
1 1 1 1
x 2004 + 0
2000 2001 2002 2003
 
+ − − =
 ÷
 
Do đó x + 2004 = 0 nên x = -2004
* Dạng 4: Các bài tập về giá trị tuyết đối của số hữu tỉ.
PP giải: Cần nắm vững định nghĩa về giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ.

x
= x nếu x

Bài 1: Tìm x , biết.
a)
25,1
=−
x
b)
0
2
1
4
3
=−+
x
c)
15,275,3
15
4
−−=−−+
x

Hướng dẫn
a) x = 3,5 hoặc x = - 0,5 ; b) x = -1/4 hoặc x = -5/4.
c)
15,275,3
15
4
−−=−−+
x

4

---------------------------------------------------------------
Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I. Kiến thức cơ bản:
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
5
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu x
n
, là tích của n thừa số x (n là số tự
nhiên lớn hơn 1): x
n
=
. . ...
n
x x x x
14 2 43
( x ∈ Q, n ∈ N, n > 1)
Quy ước: x
1
= x; x
0
= 1; (x ≠ 0)
Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng
( )
, , 0
a
a b Z b
b
∈ ≠
, ta có:

n
m m n
x x
=

Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.
4. Luỹ thừa của môt tích – luỹ thừa của một thương.
( )
. .
n
n n
x y x y
=

( )
: :
n
n n
x y x y
=
(y ≠ 0)
Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa.
Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.
II. Bài tập vận dụng:
* Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
PP giải:
Cần nắm vững định nghĩa: x
n
=
. . ...

1 ;
4
 
−
 ÷
 
d)
( )
4
0,1 ;−
e)
0
1
2
 
−
 ÷
 
f)
2
1
3
2
 
 ÷
 
g)
( )
3
2,5 h)

1 ;
4 16
 
− =
 ÷
 
d)
( )
4
0,1 0,0001;− =
e)
0
1
1
2
 
− =
 ÷
 
f)
2
1 49
3
2 4
 
=
 ÷
 
g)
( )

27 3
343 7
 
− = −
 ÷
 
c)
4
0,0001 (0,1)=
Bài 3: Điền số thích hợp vào ô vuông:
a)
5
243 =
b)
3
64
343
− =
c)
2
0,25 =
Hướng dẫn
a)
5
243 3=
b)
3
64 4
343 7
− = −

m
= a
n
thì m = n
Bài 1: Tính.
a) a
5
.a
7
b) 25
3
: 5
2
; c)
3
1
3
 
−
 ÷
 
.
1
3
 
−
 ÷
 
d)
( ) ( )

2
= 5
4
;
c)
3
1
3
 
−
 ÷
 
.
1
3
 
−
 ÷
 
=
4
1 1
3 81
 
− =
 ÷
 
d)
( ) ( ) ( )
2 3 5

2
b)
14
12
8
4
c)
1
5
7
( 1)
5
7
n
n
n
+
 
−
 ÷
 
≥
 
−
 ÷
 
Hướng dẫn
a)
( )
( )

 
   
− −
 ÷  ÷
   
n n
n n
n
Bài 3: So sánh.
a) 2
225
và 3
150
b) 2
91
và 5
35
c) 10
20
và 9
10

d)
( ) ( )
30 50
5 và 3− −
e) 64
8
và 16
12


2
225
< 3
150
b) Ta có: 2
91
> 2
90
=
( ) ( )
18 18
5 18 18 2 36 35
2 32 25 5 5 5= > = = >

và 5
35
Vậy 2
91
> 5
35
c) Ta có: 10
20
= 100
10
> 9
10

12
=
( )
12
2 24
4 4=
Vậy 64
8
= 16
12

f) Ta có:
10
10 50 5 10
1 1 1 1
;
16 2 2 32
 
       
= =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
Vì
10 10
1 1

16 32

 
 ÷
 

c)
2
2 5
2
3 .2 .
3
 
 ÷
 
d)
2
2
1 1
. .9
3 3
 
 ÷
 
Hướng dẫn

3 2
1
a) 9.3 . .3
81

=

2
2 5
2
3 .2 .
3
 
 ÷
 
=
2
2 5 7
2
2
3 .2 . 2
3
=
d)
2
2
1 1
. .9
3 3
 
 ÷
 
=
4
2
1 1
. .3 3

− =
 ÷
 

d)
2
1 1
x
2 16
 
+ =
 ÷
 
e)
( )
2
x 2 1− =
f)
( )
3
2x 1 8− = −
Hướng dẫn
a)
2 5
2 2
.
3 3
   
− = −
 ÷  ÷

⇔
3 3
1 1
: 1
3 3
   
= − = −
 ÷  ÷
   
x
x 1⇔ = −
c)
2
1
x 0
2
 
− =
 ÷
 1
x 0
2
1
x
2
⇔ − =
⇔ =

3
x
4

= −



= −


e)
( )
2
x 2 1− =

⇔
x 2 1
x 2 1
− =


− = −

⇔
x 3
x 1
=



+ =
 ÷
 

Hướng dẫn

3 3 3
1 1 1 1
a) x x
2 27 2 3
     
− = ⇔ − =
 ÷  ÷  ÷
     ⇔
1 1
x
2 3
 
− =
 ÷
 ⇔

1 1 5
x

3
1 1
3 3
 
− = −
 ÷
 
b)
5 7
4 4
.x
5 5
   
=
 ÷  ÷
   
c)
2
1 1
x
5 25
 
+ =
 ÷
 
d)
( )
3
3x 1 27+ = −
Hướng dẫn

7 5 2
4 4 4 16
x :
5 5 5 25
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
c)
2
1 1
x
5 25
 
+ =
 ÷
 

⇔
1 1
x
5 5
1 1
x
5 5

+ =




4
x
3
= −
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
a) 2.16
n
2 4≥ >
b) 9.27
n
3 243≤ ≤
.
Hướng dẫn
a) 2.16
n
2 4≥ >

⇔
2
5

≥
2
n
> 2
2

⇒
2 < n
≤

18
= 2
17
(2
4
– 2) = 2
17
.14
M
14.
Bài 6: Tìm n biết rằng:
a)
n
81
3
3
=
b)
n
64
8
( 2)
= −
−
Hướng dẫn
a)
4
4 n
n n
81 3

Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I.Kiến thức cơ bản:
- HS nhắc lại các kiến thức cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ.
II. Bài tập vận dụng:
* Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.
PP giải:
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một
thương:
( )
. .
n
n n
x y x y
=

( )
: :
n
n n
x y x y
=
(y ≠ 0)
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa
( )
.
n
m m n
x x
=
Bài 1: Tính.

2
e) 2
2
.4
3
f)
5
5
5
5
1
⋅






g)
3
3
10
5
1
⋅






1
2
1






⋅






l)
3
3
40
120
m)
4
4
130
390

n) 27
3
:9

( )
3
2,5 15,625=

d) 25
3
: 5
2
= 5
6
: 5
2
=5
4
e) 2
2
.4
3
= 2
2
.2
6
= 2
8
f)
5
5
1
5 1
5

3
 
× =
 ÷
 
k)
3 2 7
1 1 1
2 4 2
     
× =
 ÷  ÷  ÷
     
l)
3
3
3
3
120 120
3
40 40
 
= =
 ÷
 
m)
4
4
4
390

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
7
7
1
.3 ;
3
 
−
 ÷
 
b) (0,125)
3
.512 c)
2
2
90
15
d)
4
4
790
79
Hướng dẫn
a)
( ) ( )
( )
7 7
7
7

10000
79 79
 
= =
 ÷
 
Bài 3: Thực hiện tính.
a)
( ) ( ) ( )
3 20 0
2
2 2 1 2− + + − + − b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3
3 5 2
     
− − + −
     
d)
( )
( )
( )
0
2 2
2
4
1
2 8. 2 : 2 .4 2
2

= -2
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3
3 5 2
     
− − + −
     
=
( )
2
2 2
9 25 8− + −

= 81 – 625 + 64 = -480
d)
( )
( )
( )
0
2 2
2
4
1
2 8. 2 : 2 .4 2
2
−
 
+ − − + −

20
và 9999
10
.
Hướng dẫn
Cách 1: Ta có: 9999
10
= (99.101)
10
= 99
10
.101
10
> 99
10
.99
10
= 99
20
. Do đó 99
20
<
9999
10

Cách 2: 9999
10
> 9900
10
= (99.100)

Hướng dẫn
a) 12
8
. 9
12
= (2
3
.3)
8
.(3
2
)
12

= 2
16
3
8
.3
24
= 2
16
.3
32
(1)

18
16
= (2.3
2

2
)
10
.5
30
= 3
20
. 5
10
.5
30
= 3
20
.5
40
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 75
20
= 45
10
. 5
30
Bài 6: Chứng minh rằng 10
6
– 5
7
chia hết cho 59.
Hướng dẫn
12
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

3
1
4. 32 : 2 .
16
 
 ÷
 
c)
2
2 5
3
5 .3 .
5
 
 ÷
 
d)
2
2
1 1
. .49
7 7
 
 ÷
 
Hướng dẫn
a)
3 2
1
25.5 . .5

2 5
3
5 .3 .
5
 
 ÷
 
=
2
2 5 7
2
3
5 .3 . 3
5
=
d)
2
2
1 1
. .49
7 7
 
 ÷
 
=
4
3
1
.7 7
7

3
= −
−
d)
n n 5
1
.2 4.2 9.2
2
+ =
Hướng dẫn
a) 27
n
: 3
n
= 9

⇒
3
3n
: 3
n
= 3
2

⇒
3
2n
= 3
2


( )
n
81
243
3
= −
−
⇒

( )
4
5
n
( 3)
( 3)
3
−
= −
−

⇒
4-n = 5
⇒
n = -1
d)
n n 5
1
.2 4.2 9.2
2
+ =

 
=
 ÷
 

Hướng dẫn
13
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
m
1 1
2 32
 
=
 ÷
 
m 5⇒ =
b)
n
343 7
125 5
 
=
 ÷
 

n 3⇒ =

Bài 10: Tìm số nguyên n, biết rằng .
a)

−
= −
⇒
n = 7 c) 8
n
: 2
n
= 4
⇒
n = 1
Bài 11: Tìm số nguyên n, biết rằng.
a)
n
1 1
3 81
 
=
 ÷
 
b)
n
512 8
343 7
− −
 
=
 ÷
 
c)
n

− −
 
=
 ÷
 

⇒
3 n
8 8
n 3
7 7
− −
   
= ⇒ =
 ÷  ÷
   

c)
n
3 81
4 256
−
 
=
 ÷
 
⇒
n 4
3 3
n 4

a) x
3
= 343 b) (x – 2,5)
4
= (x – 2,5)
2
Hướng dẫn
a) x
3
= 343
Ta có : 343 = 7
3
. Do đó x
3
= 7
3
nên x = 7.
b) (x – 2,5)
4
= (x – 2,5)
2
Nếu x = 2,5 ta có 0
4
= 0
2
(hiển nhiên đúng)
Nếu x
≠
2,5, chia cả hai vế cho (x – 2,5)
2

3 8 5 3 8
5
x
3 x 3 .3 3
3
= ⇒ = =
Vậy x = {-3; 3}
* Dạng 7: Tìm giái trị của biểu thức.
PP giải:
- Cần thực hiện đúng thứ tự của các phép tính: Lũy thừa
→
Nhân
→
Chia
→
Cộng
→
Trừ. Nếu có dấu ngoặc cần làm theo thứ tự: ( )
→
[]
→
{}.
- Áp dụng các qui tắc của phép tính và các tính chất của các phép tính đó.
Bài 14: Tính giá trị biểu thức.
a)
10 10
10
45 .5
75
b)

 
b)
( )
( )
5
5
5 4
6
0,8
1 0,8 5
. .2 5.2 80
0,4 0,4 2
0,4
 
= = = =
 ÷
 
c)
( )
15 4 15 8 15 8
3 5
3
3 3 3 3 9
9
2 .9 2 .3 2 .3
2 .3
6 .8 2 .3 .2
2.3 .2
= = =
d)

).2
3
b)
1 0 2
2
1 3 1
: 2
3 5 2
−
     
− − − +
 ÷  ÷  ÷
     
Biết rằng với x
≠
0 và n
∈
N
+
thì x
-n
=
n
1
x

Hướng dẫn
a) (2
-1
+ 3

 
 ÷
 
=
5
6
.6 + 4 = 9
b)
1 0 2
1 3 1
: 2
3 5 2
−
     
− − − +
 ÷  ÷  ÷
     
2
= 1:
1
3
 
 ÷
 
-1 +
1
: 4
4
= - 3 – 1 +
1

n n+
d) 1+n
2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
g)
( 3)
2
n n+
h)
( 1)( 2)
2
n n+ +
i)
+ +
( 1)( 2)
3
n n n
Bài 2: Tính:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n

Hướng dẫn:
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bài 7: Tính:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bài 8: Tính:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bài 9: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
17
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
A = 1

A = 2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
Hướng dẫn:
A = 2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49
2
+50
2
)
Bài 12: Tính:
A = 1
2
+3
2
+5

2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49
2
+50
2
)
Bài 13: Tính:
A = 1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+...+99

+3.4
2
+...+98.99
2
Hướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
18
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
A = (1
2
+3
2
+5
2
+...+97
2
+99
2
)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (2

(98+1)+100
2
(99+1)
A = (1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+...+98.99
2
+99.100
2
)+(1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(1
2
+2
2
+3
2

A = 2
3
+4
3
+6
3
+...+98
3
+100
3
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
A = 1
3
+3
3
+5
3
+...+97
3
+99
3
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 1
3
-2
3
+3
3

thì
bcad
=
Tính chất 2: Nếu
bcad
=
và a, b, c, d
0
≠
thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d
c
b
a
=
,
d
b
c
a
=
,
a
c
b
d
=
,
a

e
d
c
b
a
==
suy ra:
...
=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
==

kkkkyx

Do đó:
84.2
==
x

124.3
==
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
5
20
3232
==
+
+
==
yxyx
Do đó:
84
2
=⇒=
x

Do đó:
8
3
12.2
==
x
KL:
12,8
==
yx
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
43
yx
=
,
53
zy
=
và
632
=+−
zyx
Giải:
Từ giả thiết:
12943
yxyx
=⇒=
(1)

201253

363
12
=⇒=
y
y
21
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

603
20
=⇒= z
z
KL:
60,36,27
===
zyx
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
k
zyx
===
20129
( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:

5
3
53
z
y

=⇒=⇒=+−⇒=+−
z
z
z
zz
zyx
Suy ra:
36
5
60.3
==
y
,
27
20
60.9
==
x
KL:
60,36,27
===
zyx
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
=
và
40.
=
yx

+ Với
2
−=
k
ta có:
4)2.(2
−=−=
x

10)2.(5
−=−=
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
−=−=
yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
0
≠
22
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Nhân cả hai vế của
52
yx
=

4
−=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
−=
−
=⇒=
−
y
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
−=−=
yx
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
==

32
yx
=
và
54
=
xy

e)
35
yx
=
và
4
22
=−
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
−+
=
++
=

2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54
=
xy

e)
35
yx
=
và
4
22
=−
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y

và
5032
=−+
zyx
c)
zyx 532
==
và
95
=−+
zyx
d)
532
zyx
==
và
810
=
xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x
zy
++
=
−+
=

=
−
zyx
và
5032
=−+
zyx
23
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
c)
zyx 532
==
và
95
=−+
zyx
d)
532
zyx
==
và
810
=
xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x

=
+
Bài 6 : Tìm x, y biết rằng:

x
yyy
6
61
24
41
18
21
+
=
+
=
+
Bài 7: Cho
0
≠+++
dcba
và
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a

1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
+ + +
= = = = =
+ + + + + + + + + + +
( Vì
0
≠+++
dcba
)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)
x 7
y 3
=
và 5x – 2y = 87; b)
x y
19 21
=
và 2x – y = 34;
b)
3 3 3
x y z
8 64 216
= =
và x

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:
a b c
, ,
b c c a a b
+ + +
. Biết a+b+c
0
≠
.Tìm giá trị của mỗi tỉ
số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

( )
[ ]
( )
[ ]
0)1(22.2
22
=++−+−
abababdccdabab
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải:
( ) ( )
2 2
2 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab
 
− + − + + = 

=
ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
B
A
và
D
C
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
)0(
≠=
n
nb
na
b
a
+)
nn
d
c
b
a
d
c
b
a

+
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có:
bdbcadacdcba
−+−=−+
))((
(1)

bdbcadacdcba
−−+=+−
))((
(2)
25