Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

A.MỞ ĐẦU
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế cho ta thấy môn toán là nền tảng và công cụ thực tế cho các môn
khoa học tự nhiên. Nó chiếm một vai trò quan trọng trong học tập ở bậc phổ
thông.
Toán học như một kho tài nguyên vô cùng phong phú, giỏi Toán là niềm
mơ ước của nhiều người và biết bao thế hệ học sinh. Việc giúp học sinh hiểu
,yêu môn toán của người giáo viên có vai trò rất quan trọng,chúng ta phải đầu
tư suy nghĩ, phân dạng toán,đề ra những phương pháp giải phù hợp cho từng
loại toán và từng đối tượng học sinh .
Là học sinh khi tiếp cận với môn toán thì tất yếu phải hình thành một kỹ
năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa
là đã khẳng định được mình vận dụng lý thuyết vào bài tập một cách có tư duy,
sáng tạo. Đối với chương trình toán 6 được viết trong SGK thì lượng kiến thức
không nhiều nhưng bài tập áp dụng đối với mỗi kiến thức thì khá phong phú và
đa dạng trong đó có dạng toán chia hết. Thực tế cho thấy,dạng toán chia hết
được bắt gặp xuyên suốt chương trình toán THCS. Chính vì thế là một giáo viên
chúng ta cần rèn cho các em kỹ năng giải dạng toán này khi kiến thức còn là nền
tảng đó là dạng toán chia hết trong chương trình toán 6. Trong quá trình giảng
dạy tôi nhận thấy học sinh mình còn rất yếu dạng toán này nếu biết giải thì sự
lập luận chưa chặt chẽ. Nếu ở lớp 6 các em không làm quen với lập luận chặt
chẽ thì lên lớp trên các em cảm thấy kiến thức chỉ là áp đặt,từ đó không tạo ra
sự tò mò, hứng thú đối với môn học. Vì vậy chúng ta cần có giải pháp lâu dài
rèn các em biết giải toán từ những phép biến đổi cơ bản. Có như thế toán học
mới thực sự lôi cuốn các em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức, hơn nữa toán
lại là môn chủ đạo. Chính vì lẻ đó tôi đã nghiên cứu đề tài “Rèn kỹ năng giải
toán chia hết cho học sinh lớp 6”
II/MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
1/18

điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều.

2/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ năng giải toán chia hết ở lớp 6 để làm hành trang
kiến thức vững chắc cho các em gặp lại dạng toán này ở các lớp trên.
II/ NỘI DUNG
Hệ thống hóa lý thuyết chia hết và bài tập vận dụng tương ứng, từ dạng cơ
bản nhất đến tương đối và khó hơn. Trong quá trình giải nhiều dạng bài tập là
đã hình thành khắc sâu cho các em kỹ năng giải các dạng toán chia hết.Giáo
viên nêu ra các dấu hiệu chia hết hay là các phương pháp chứng minh chia hết
trong SGK ngoài ra bổ sung thêm một số phương pháp cần thiết nhất để vận
dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau.
1. LÝ THUẾT:
a) Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, môt tích
-Nếu a Mm và bMm thì a + b Mm , a – b Mm , a.bMm
- Nếu a Mm thì a n Mm(n ∈ N )
- Nếu a Mm và bMn thì a.bMm.n đặc biệt a Mb thì a n Mb n
b) SKG toán 6 giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 ở đây giáo viên
cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 11,25 và 125.
Mục đích đưa thêm các dấu hiệu là để khi vận dụng vào bài tập học sinh không
bị lúng túng ngay cả khi lên các lớp trên (7, 8, 9)
Chia hết cho
2
3
4(hoặc 25)


Ngay từ khi lớp 6 giáo viên cũng có thể giới thiệu sơ lược về nguyên tắc
Đirichlê có nội dung được phát biểu dưới dạng một bài toán:
“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (n> m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn
hai con thỏ”.
d) Phương pháp chứng minh phản chứng:
Muốn chứng minh khẳng định P đúng có 3 bước:
- Giả sử P sai
- Nhờ tính chất đã biết từ giả sử sai suy ra điều vô lí
- Vậy điều giả sử là sai , chứng tỏ P đúng.
e) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n
Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n
khi đó a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b
Nếu (m,n) khác 1 thì ta biểu diễn a = a 1.a2 rồi chứng minh a1 chia hết cho
m, a2 chia hết cho n hoặc ngược lại. khi đó a 1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết
cho b
2.CÁC DẠNG TOÁN:
Để giúp học sinh dễ tiếp cận và hình thành kĩ năng giải toán loại này tôi sẽ
đưa ra các dạng toán từ cơ bản nhất đến mở rộng hơn như sau
a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * để được số chia hết cho một số.
Bài toán 1: Điền vào * để số 17 *
a) chia hết cho 2
b) chia hết cho 5
c) chia hết cho cả 2 và 5

4/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Đây là dạng toán hết sức cơ bản. khi gặp dạng toán này thì đương nhiên giáo

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6
⇔ 9 + a M9
⇔ a M9
⇔ a ∈ { 0;9}
⇔a=9

(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)
Vậy a= 9; b= 0 thì a72b chia hết cho đồng thời 2,3,5,9
Bài toán 4: Tìm chữ số a, b sao cho 87abM9 và a – b = 4
Lập luận

87 ab M9 ⇔ 8 + 7 + a + b M9
⇔ 15 + a + b
⇔ a + b ∈ { 3;12}

Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a –b = 4 và a + b = 12
ta tìm được a = 8; b = 4
Bài toán 5: cho số 76a 23
a) Tìm a để 76a 23M9
b) Trong các số vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số 76a 23M11
không ?
Hướng dẫn
a) Tính tổng các chữ số của 76a 23 ta được a+18
76a 23 chia hết cho 9 khi a + 18M9 do đó a ∈ { 0;9}

b) với a = 0 thì số 76023 có
(7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 M11
Tương tự với a = 9 ta có
(7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 M 11
Vậy a= 9 thì 76a 23M11

 x ∈ { 1;3;5;7;9}
⇔
 y ∈ { 0; 4;8}

Bài toán 8:Tìm các chữ số a và b sao cho 24a68b chia hết cho 45
Ta có 45=9.5 mà (9,5)=1
Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết
cho 5 và 9
Vì 24a68b chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5
+ Trường hợp 1: b = 0 ta có số 24a680
Để số 24a680 chia hết cho 9 thì (2+4+a+6+8+0) M9hay a+20 M9
Suy ra a=7 ta có số 247680.
+ Trường hợp 2 : b=5 ta có số 24a685
Để 24a685 M9 thì (2+4+a+6+8+5) M9 hay a+25M9
7/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Suy ra a=2 ta có số 242685
Vậy để 24a68b M45 thì ta có thể thay a=7 ; b=0 hoặc a=2 ; b=5
Bài toán 9: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8
vì aaaaa96 M8 ⇔ a96 M8 ⇔ 100a + 96 M8 suy ra 100a M8
vậy a là số chẵn ⇒ a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
vì aaaaa96 M3 ⇔ (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) M3 ⇔ 5a + 15 M3
mà 15 M3

⇒

5a M3

Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3
N chia hết cho 5
Ta có: 7.9.11.13 M 3( vì 9M3 )
2.3.4.7 M 3 (vì 3 M 3)
7.9.11.13 + 2.3.4.7 M3
Vậy M chia hết cho 3
Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ sô tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
Vậy N chia hết cho 5
Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40
Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho 8
b) A chia hết cho 5
Hướng dẫn
a) Dựa vào tính chất chia hết của một tổng ta lập luận
2.4.6.8.10 M8 ( vì tích có chứa thừa số 8)
40M8

⇒ 2.4.6.8.10 + 40M8

Vậy A chia hết cho 8
b) Tương tự 2.4.6.8.10M5 ( vì 10 chia hết cho 5)
40M5
⇒ 2.4.6.8.10 + 40M5

Bài toán 15: Chứng minh rằng 995 − 984 + 973 − 962 M2 và 5
Hướng dẫn: Theo đề bài ta suy ra chữ số tận cùng (CSTC) của từng lũy thừa
trong bài
995 – 984 + 973 – 962 =…9 - …6 +…3 – …6 =… 0
Biểu thức đã cho có giá trị chứa CSTC là 0 nên chia hết cho 2 và 5
9/18


= 3k+3 M 3
10/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3.
Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Bài toán 18: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia
hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2
Tống của chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 M 3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Tương tự tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 6 M 4(vì 6 M4)
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Bài toán 19: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (n ∈ N)
Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1)
= 4.n.(n+1)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán
16)
Vì thế 4.n.(n+1) M 8
Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài toán 20: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n +4 ((n∈ N)
Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2)
= 8.n.(n+1).(n+2)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán
16)
Ta có n.(n+1).(n+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo bài

Giải tiếp như bài toán 18
f) Dạng 6: Tìm điều kiện để một biểu thức chia hết cho một số, chia hết cho
một biểu thức
Bài toán 22: Chứng minh rằng Nếu a M m, b M m, a+b+c M m thì cM m.
Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử c M m
Ta có a Mm, bMm nên a + b + c M m (tính chất 2 sgk toán 6 tr 35).
12/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Điều này trái với đề bài a + b + c Mm
Vậy điều giả sử sai.Suy ra c Mm
Đối với bài này, khi dạy giáo viên không nhất thiết khắc sâu phần chứng minh.
Yêu cầu học sinh chỉ cần vận dụng kiến thức đã được chứng minh vào bài tập
cụ thể nào đó là được.
Bài toán 23:Tìn n ∈ N để:
a) n+4 M n
b) 3n + 7 M n
c) 27- 5n M n
Giải:
 n + 4Mn
 nMn

a) 

⇒ 4 M n ( theo bài toán 22)

Vậy n ∈ { 1; 2; 4}

-1
-4

1
-2

2
-1
13/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Vậy n∈ { −5; −4; −2; −1}
b) n+3 M n2 – 7
⇒ (n+3) (n-3) M n2 -7
⇒ n2 - 9 M n2 -7
⇒ 2 M n2 -7 ⇒ n2 – 7 là ước của 2 , ta có bảng sau:

n2 -7
-2
2
n
5
n
/
Vậy n∈ { −3;3}

-1
6


%

khá

%

14

41,2

12

35,3

21

61,8

10

29,4

34

năm
Cuối

Giỏi



Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Kết quả trên cho thấy việc vận dụng phương pháp trên vào giảng dạy toán
giúp học sinh có kết quả cao trong học tập.
*HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI.
Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết
khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp
toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích…để giải quyết triệt để các
dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”
Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một
bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà
của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và
điểm thi HKII vừa qua đồng thời kỹ năng giải toán chia hết đạt cao hơn so với
trước khi thử nghiệm. đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn
Toán.

C. KẾT LUẬN
I/. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
1/ Đối với giáo viên:
-Để rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cần lưu ý
một số nội dung như sau:
-Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờ học
nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học.
15/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

- Lồng ghép nhiều dạng bài tập chia hết vào các tiết luyện tập , tự chọn.

Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

quá khó giáo viên nào cũng có thể thực hiện được trong quá trình soạn giảng và
lên lớp.
- Để trang bị cho học sinh một kiến thức cơ bản vững chắc và quan trọng
là các em tự tin không còn phải sợ môn toán, đây chính là tiền đề để các em học
tốt môn toán ở các lớp trên.
III/. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu tiếp đề tài này ở các năm sau nhằm
ngày càng hoàn thiện hơn về phương pháp giảng dạy của bản thân và nhằm góp
phần nâng cao chất lượng bộ môn toán nói chung.
Trên đây là phần trình bày kinh nghiệm giảng dạy về “ Rèn kỹ năng giải
toán chia hết cho học sinh lớp 6” mà tôi đã áp dụng hướng dẫn học sinh trong
năm học này mặc dù có mang lại kết quả khả quan. Tuy nhiên chắc chắn còn
những giải pháp khác để học sinh học tốt hơn mà bản thân cần phải học hỏi .
Nhưng do thời gian và khả năng còn nhiều hạn chế nên rất mong sự đóng góp ý
kiến của quý đồng nghiệp để đề tài đạt hiệu quả hơn trong tương lai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD
2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD

17/18


Rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản
GD
4/ Sách giáo khoa toán 6 tập 1

2
2. Nội dung:..............................................................................................................
2
C. KẾT LUẬN:…………………………………………………………………
15
1.
Bài
học
kinh
nghiệm:
.......................................................................................................................
15
2.
Hướng
phổ
biến,
áp
dụng
đề
tài:
.......................................................................................................................
16
3.
Hướng
nghiên
cứu
trong
thời
gian
tới: