1


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
 3
Bài 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4), C  7;  , D( −2; 2) .
 2
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Bài 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 5: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 2 MB = 0.
Đ/s: M(0; −17).
Bài 6: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng.
Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4). Tìm điểm D trên Oy để ABCD là hình thang.
Bài 8: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3; điểm C trên Ox để tam giác ABC đều.
Bài 9: [ĐVH]. Tìm điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y + 3
= 0.



1   1 
Đ/s: H  ;1 ; O  − ;1 .
2   4 

Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (0;5), C (2;4) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM + BM = CM
b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm E thuộc trục hoành để tam giác AEB cân tại E.
Đ/s: a) M (−1; 2)

b) D(3;0)

 23 
c) E  − ;0 
 2 

Bài 15: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;0), B (0;5), C (2;1) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OA + OB + OC = OM
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Tìm m để AG = a biết a = (m; 2 3)
c) Tính độ dài đường trung bình của ∆ABC song song với BC
Đ/s: a) M (3;6)

b) m = ±4

c) 5

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!



c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
Bài 5: [ĐVH]. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x – 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình
bình hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình vuông ABCD có tọa độ điểm A(2; 1); tâm I(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông và viết
phương trình các cạnh.

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là x + y + 2 = 0; tâm I(1; 1) và diện tích của hình
chữ nhật bằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật.

Bài 8: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
1
4
+
= 1.
2
OA OB 2

a) OA = 2OB.

b)

Đ/s: b) a = b = 1

c) a = b = 3

9
c) SOAB = .
2



Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
c) x + y – 5 = 0

Facebook: Lyhung95

2
3
d) a = ; b = .
3
2

Bài 10: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với đường ∆: 2x – y + 1 = 0 và cắt Ox, Oy tại A, B sao
cho
2
1
+
=1
2
OA OB 2

a) AB = 1

b) SOAB = 4.

c)

Đ/s: a) a = 2; b = 1

b) a = 4; b = 2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

02. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d1 : x + 2 y − 3 = 0; d 2 : 4 x + y − 5 = 0
b) d1 : x − 2 y − 3 = 0; d 2 : 2 x − 4 y − 5 = 0
c) d1 : x + 2 y − 3 = 0; d 2 : 2 x − y − 15 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Cho a 2 + b 2 ≠ 0 và 2 đường thẳng d1 : (a − b) x + y = 1; d 2 : (a 2 − b 2 ) x + ay = b
a) Tìm quan hệ giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
b) Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành.

 1 a
Đ/s: a) b ≠ 0; I  − ; 
 b b

b) a = 0

Bài 3: [ĐVH]. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)

b) A(5; 3), B(–2; –7)

c) A(3; 5), B(3; 8)


{

x = 1 − 2t
y = 3 + 4t

b) M(–1; 2), d ≡ Ox
e) M(0; 3), d :

c) M(4; 3), d ≡ Oy

x −1 y + 4
=
3
−2

Bài 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của
tam giác với:

a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)

b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)

c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)

d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao
của tam giác, với:


7 
d) M  ; 2  , N  ;3  , P(1; 4)
2 
2 

Bài 9: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau,
với:
a) M(–4; 10)

b) M(2; 1)

c) M(–3; –2)

d) M(2; –1)

Bài 10: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một
tam giác có diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2

b) M(2; 1), S = 4

c) M(–3; –2), S = 3

d) M(2; –1), S = 4

Bài 11: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và:
a) d1 : 3 x − 2 y + 10 = 0, d2 : 4 x + 3y − 7 = 0, d qua A(2;1)
b) d1 : 3 x − 5y + 2 = 0, d2 : 5x − 2 y + 4 = 0, d song song d3 : 2 x − y + 4 = 0
c) d1 : 3 x − 2 y + 5 = 0, d2 : 2 x + 4 y − 7 = 0, d vuoâng goùc d3 : 4 x − 3y + 5 = 0


Đ/s: 450
Bài 4: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (2;1), C (0;7) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Lập phương
trình OG với O là gốc tọa độ. Tính khoảng cách từ A tới OG.
2
Đ/s: d( A;OG ) =
10
Bài 5: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1) và hai đường trung tuyến BM : x + y − 4 = 0, CN : 2 x + 5 y − 9 .Tính
khoảng cách từ A tới đường thẳng qua BC.
2
Đ/s: d A/ BC =
5
Bài 6: [ĐVH]. Cho A(1;1), B (3; −2) và đường thẳng d : 2 x − 3 y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng ∆
qua A song song d. Tính khoảng cách từ B tới ∆ .
16
Đ/s: d : 2 x − 3 y + 4, d( B;∆ ) =
13

Bài 7: [ĐVH]. Cho d1 : 2 x − y + 4 = 0, d 2 : 3 x + 4 y + 8 = 0 .Gọi ∆ qua A vuông góc d1 , E là giao điểm của ∆
với d1 . Tính khoảng cách từ E tới đường thẳng d 2 .

Đ/s: ∆ : x + 2 y − 13 = 0, d( E ;d2 ) = 7
Bài 8: [ĐVH]. Cho 2 đường thẳng (d1 ) : 2 x − 3 y + 1 = 0; (d 2 ) : −4 x + 6 y − 3 = 0
a) CMR (d1) // (d2)
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
1
Đ/s: d =
52
Bài 9: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;5), C (2;7) . Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ
điểm A tới đường thẳng CM.
Đ/s: d A/CM = 1

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

04. BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU – TÍNH ĐỐI XỨNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 2) và d : x + y − 7 = 0 . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d.
Đ/s: A ' ( 3; 4 )
Bài 2: [ĐVH]. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC
a) A ( 0;3) ; B ( 3; 0 ) ; C ( −1; −1)
b) A ( −2;1) ; B ( 2; −3) ; C ( 5;0 ) .
Bài 3: [ĐVH]. Cho điểm M(1; 3) và đường thẳng d : x + 2 y + 1 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua điểm M.

Đ/s: d ' : x + 2 y − 15 = 0
Bài 4: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng( ∆ ) biết:
a) (d ) : x + 2 y − 3 = 0;(∆ ) : x − y = 0
b) (d ) : x + 2 y − 1 = 0;(∆ ) : − x − 2 y + 3 = 0
Đ/s: a) x + 1 = 0

b) x + 2 y − 5 = 0

Bài 5: [ĐVH]. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng
d với:

a) M(2; 1), d : 2 x + y − 3 = 0

b) M(3; – 1), d : 2 x + 5 y − 30 = 0


Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(2; −3) và tạo với ∆: x − 2y + 3 = 0 góc φ với cos φ =

1
.
10

Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua A(1; −3) và tạo với ∆: x + 3y + 2 = 0 góc 450
Đ/s: d: 2x + y +1 = 0
c) d đi qua M(−3; −1) và tạo với trục Ox góc 450
Đ/s: d: x + y +4 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(−1; −1) và tạo với ∆: 2x − 3y + 1 = 0 góc φ
với cos φ =

1
.
26

Đ/s: d: x + y +2 = 0
Bài 3: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua M(1; −1) và tạo với ∆: x − y + 1 = 0 góc φ với cos φ =

1
.
10

Đ/s: d: 2x + y −1 = 0

2

Đ/s: d : x − 3 y + 2 = 0
Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua O(0; 0) và cách đều hai điểm A(2; 2), B(4; 0)
Đ/s: x + y = 0 và x – 3y = 0
b) d đi qua OM(4; 2) và cách đều hai điểm A(3; 0), B(–5; 4)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Đ/s: x + 2y – 14 = 0 và y – 2 = 0
Bài 6: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(1; 1) và cách B(3; 6) một khoảng bằng 2.
Đ/s: x – 1 = 0 và 21x – 20y – 1 = 0
b) cách A(1; 1) một khoảng bằng 2 và cách B(2; 3) một khoảng bằng 4.
Đ/s: y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0
Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1;1), B (2; −1) . Lập phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách
từ B tới d bằng

1
.
10

Đ/s: d1 : 3 x + y − 4 = 0, d 2 :13 x + 9 y − 15 = 0
Bài 8: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:
a) M (2;5); N (3;1); r =

2
MA
=
, với A(0; 1) và B(3; −1).
MB
19

c) xM2 + 2 yM2 = 3.
Đ/s: a) M(1; −5)

b) M(−2; 1)

c) M(−1; −1)

Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0. tìm điểm M trên d sao cho
a) d ( M ; ∆ ) = 3 2 với ∆: x + y + 3 = 0.
b) d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 ) , với ∆1: x + 2y – 1 = 0; ∆1: 2x + y + 4 = 0;
Đ/s: a) M(2; 1) và M(–7; –2)

b) M(–1; 0) và M(–7; –2)

 x = 1 + 2t
Bài 3: [ĐVH]. Cho 2 điểm A(–1; 0), B(2; 3), đường thẳng d : 
. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho
 y = −3 − t
tam giác ABC vuông tại A.
x = 1− t
Bài 4: [ĐVH]. Cho 2 điểm M(–1; 4); N(5; –4), đường thẳng d : 
. Tìm tọa độ điểm A trên d sao
 y = 2 − 3t

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy có A(2; –1), B(1; –2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d:
x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng

3
.
2

Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1) , B (1;− 2) , trọng tâm G
của tam giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
27
.
2
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(–2; 0), B(2; 0) và
khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành bằng

1
. Tìm tọa độ đỉnh C.
3

Bài 12: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;7), C (−1;3) .Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH .

1 7
Đ/s: O  ; 
2 2


, A(2; 0), B(1; –4). Tìm trên d điểm G, trên
y = 3+ t
 y = 4 + 5u
d’ điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – 3y + 1 = 0, d2: 4x + y – 5 = 0. A là giao
điểm của d1 và d2. Tìm điểm B thuộc d1, điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5).
 x = −1 − 2t

Bài 3: [ĐVH]. Cho 2 điểm A(3; 2), B(3; –6), đường thẳng d : 
5 . Tìm tọa độ điểm M trên d sao
 y = − 2 + t
cho tam giác ABM cân tại M.

Bài 4: [ĐVH]. Cho hai điểm A(2; 1), B( –1; –3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0.
Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y − 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1),
B(−3; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.

Bài 6: [ĐVH]. Cho 4 điểm A(1; 0), B(–2; 4), C(–1; 4), D(3; 5). Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3x – y – 5 =
0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

Bài 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (−2;5) , đỉnh C nằm trên đường
thẳng x = 4, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2x – 3y + 6 = 0. Tính diện tích tam giác
ABC.

Bài 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y = 2x.
8 7
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 4y – 9 = 0; trọng tâm G  ;  . Tính diện tích tam giác
3 3

 27 59 
Đ/s: M1  ; −  , M 2  − ; − 
 19 19 
 19 19 

Bài 13: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(−2; −4), B (2;8), C (10; 2) .
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D thuộc trục tung sao cho diện tích ∆ABD bằng 2.
Đ/s: D1 (0;3), D2 (0;1)
Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(3;1), B (1; −3) .
Tìm tọa độ điểm C sao cho S ∆ABC = 3 và trọng tâm G thuộc trục tung.

Đ/s: C1 (−4; −16), C2 (−4; −10)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

07. LUYỆN TẬP VỀ PT ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 ,

d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B
sao cho 2 MA + MB = 0 .
Lời giải:
Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).


Lời giải:
Giả sử A(a;3a − 5) ∈ d1 , B(b;4 − b) ∈ d2 .
2 MA = 3MB (1)
Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên 
2 MA = −3MB (2)

5
 5 5

2(a − 1) = 3(b − 1)
+) (1) ⇔ 
⇔ a = 2 ⇒ A  ;  , B(2;2) . Suy ra d : x − y = 0 .
2(3a − 6) = 3(3 − b)
2 2
b = 2
2(a − 1) = −3(b − 1)
a = 1
+) (2) ⇔ 
⇔
⇒ A(1; −2), B(1;3) . Suy ra d : x − 1 = 0 .
2(3a − 6) = −3(3 − b)
b = 1
Vậy có d : x − y = 0 hoặc d : x − 1 = 0 .
Bài 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
1
2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với d một góc α có cosα =
.
10
Lời giải:


2a + 3b
2

2

 a = 5b
⇔ 5a2 − 24ab − 5b2 = 0 ⇔ 
5a = − b

13. a + b
+) Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 ⇒ Phương trình ∆ : 5 x + y − 11 = 0 .
+) Với 5a = −b . Chọn a = 1, b = −5 ⇒ Phương trình ∆ : x − 5y + 3 = 0 .
Bài 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x − y − 2 = 0 và điểm I(1;1) . Lập

phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng

0

45 .

Lời giải:
Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) .
Vì (d , ∆) = 450 nên

2a − b
a2 + b2 . 5


và VTCP u = (−3;2) . Giả sử B(1 − 3t; −2 + 2t ) ∈ ∆ .
 y = − 2 + 2t

 15
t = 13
1
AB.u
1
2
0
( AB, ∆) = 45 ⇒ cos( AB; u) =
⇔
=
⇔ 169t − 156t − 45 = 0 ⇔ 
.
AB. u
2
2
t = − 3
13

 32 4 
 22 32 
Vậy các điểm cần tìm là: B1  − ;  , B2  ; −  .
 13 13 
 13 13 
Bài 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 3y − 6 = 0 và điểm N(3; 4) .
15
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng
.

3
3 


Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0 . Tìm trên
đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
Lời giải:
Giả sử B(2b − 2; b), C (2c − 2; c) ∈ d .
2 6
2 5
5
Vì ∆ABC vuông ở B nên AB ⊥ d ⇔ AB.ud = 0 ⇔ B  ;  ⇒ AB =
⇒ BC =
5
5
 5 5
c = 1 ⇒ C (0;1)
5
1
2
BC =
125c − 300c + 180 =
⇔ 
4 7
7
c = ⇒ C  ; 
5
5
5
 5 5

t = 2
2

2
2
+) Với t = 1 ⇒ G(1; –5) ⇒ C(–2; –10)
+) Với t = 2 ⇒ G(2; –2) ⇒ C(1; –1)
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 và hai điểm
A(−1;2) , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2.
Lời giải:

AB = 10 , C (−2a + 3; a) ∈ d. Phương trình đường thẳng AB : x + 3y − 5 = 0 .
a−2
1
1
a = 6
AB.d (C , AB) = 2 ⇔
10.
=2 ⇔ 
2
2
 a = −2
10
+) Với a = 6 ta có C (−9;6)
+) Với a = −2 ta có C (7; −2) .
Bài 12: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng

S∆ ABC = 2 ⇔

d1 : x + 2 y − 7 = 0 , d2 : 5x + y − 8 = 0 . Tìm toạ độ điểm B ∈ d1, C ∈ d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G

 y = y A + yB + yC
 G
3
Vậy: B(3;2), C (2; −2) .
Bài 13: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường
thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

7 1
9
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H là hình chiếu của A trên ∆ ⇒ H  ; −  ⇒ AH =
2 2
2
1
Theo giả thiết: S∆ ABC = 18 ⇒ BC. AH = 18 ⇒ BC = 4 2 ⇒ HB = HC = 2 2 .
2

11
3
x − y − 4 = 0
x
=
;
y

3 5
 11 3 
Vậy B  ;  , C  ; −  hoặc B  ; −  , C  ;  .
 2 2 2 2
2 2
 2 2
Bài 14: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 4) . Đường thẳng ∆ qua
trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình 4 x − 6 y + 9 = 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường
thẳng d có phương trình: 2 x − 2 y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích
7
bằng
và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1.
2
Lời giải:
 40 31 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆, ta tính được A '  ;  ⇒ BC : 2 x − 3y + 1 = 0
 13 13 
5 
Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên M  ;2  .
2 
 3t − 1 
1
7 1 7
Giả sử C 
; t  ∈ (BC ) . Ta có S∆ ABC = d ( A; BC ).BC ⇔ =
.BC ⇔ BC = 13
2
2 2 13
 2


+) Nếu a = 1 thì b = 1 ⇒ AB = 4 (không thoả).
b −1
+) Nếu a ≠ 1 thì −3b + 1 =
(−3a − 3) ⇔ a = 3b − 2
a −1
2

AB = (b − a)2 + 3(a − b) + 4  = 2 2 ⇔ t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a − b ).
2
5
+) Với t = −2 ⇒ a − b = −2 ⇒ b = 0, a = −2 ⇒ ∆ : x + y + 1 = 0
−2
−2
4
2
⇒ a−b =
⇒ b = , a = ⇒ ∆ : 7x − y − 9 = 0
+) Với t =
5
5
5
5
⇔ 5t 2 + 12t + 4 = 0 ⇔ t = −2; t = −

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Gọi C (c;3c − 9) ∈ d2 và M là trung điểm của BC ⇒ M (m;1 − m) ∈ d1 .
 2m − c + 3 7 − 2m − 3c 
⇒ B(2m − c;11 − 2m − 3c) . Gọi I là trung điểm của AB, ta có I 
;
.


2
2
2m − c + 3 7 − 2m − 3c
Vì I ∈ (d2 ) nên 3.
−
− 9 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ M(2; −1)
2
2
⇒ Phương trình BC: x − y − 3 = 0 . C = BC ∩ d2 ⇒ C (3; 0) ⇒ B(1; −2) .

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường
trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi C (c; 2c + 3) và I (m;6 − m) là trung điểm của BC. Suy ra: B(2m − c; 9 − 2m − 2c) .
 2m − c + 5 11 − 2m − 2c 
Vì C’ là trung điểm của AB nên: C ' 
;
 ∈ CC '
2
2



Trung điểm M của AB có: x M =
; yM =
. M ∈ (CM ) ⇒
+
+1 = 0 .
2
2
2
2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 x − 3y − 7 = 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:  2 + x B 1 + yB
⇒ B(−2; −3) .
 2 + 2 + 1 = 0
 14 7 
 x − 3y − 7 = 0
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: 
⇒ H  ;− .
 5 5
3x + y − 7 = 0

BH =


Bài 7: [ĐVH]. Tam giác ABC, A(4; 6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương
trình: 2x – y + 13 = 0, 6x – 13y + 29 = 0. Tìm tọa độ của B, C.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

08. XỬ LÍ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM
 17

và phân giác trong BD. Biết H (−4;1), M  ;12  và BD có phương trình x + y − 5 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A
 5

của tam giác ABC.
Lời giải :
Đường thẳng ∆ qua H và vuông góc với BD có PT: x − y + 5 = 0 . ∆ ∩ BD = I ⇒ I (0;5)
Giả sử ∆ ∩ AB = H ' . ∆ BHH ' cân tại B ⇒ I là trung điểm của HH ' ⇒ H '(4;9) .
4

Phương trình AB: 5 x + y − 29 = 0 . B = AB ∩ BD ⇒ B(6; −1) ⇒ A  ;25 
5

Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình
đường phân giác trong (AD): x + 2 y − 5 = 0 , đường trung tuyến (AM): 4 x + 13y − 10 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh B.

 2
7 
Giả sử C  − + 2t; + t  ∈ ( BC ) .
3 
 3
2
2
2
2
t = 0 (loaïi vì C ≡ B)

8   10   8   10 
Ta có: IB = IC ⇔  2t −  +  t +  =   +   ⇔  4
3 
3   3  3 
t =

 5
 14 47 
Vậy: C  ;  .
 15 15 
Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương
trình d1: 3x – 4 y + 27 = 0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2 y – 5 = 0 . Tìm toạ độ điểm A.
Lời giải :

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


+) Vì I là trung điểm BB’ nên:  B '
⇒ B′ (4;3)
 yB ' = 2 yI − y B = 3

Phương trình BC:

+) Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
y − 3 = 0
 x = −5
+) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
⇔
⇒ A(−5;3)
3x − 4 y + 27 = 0
y = 3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường
cao CH lần lượt có phương trình x + y − 2 = 0 , x − 2 y + 5 = 0 . Điểm M(3; 0) thuộc đoạn AC thoả mãn
AB = 2 AM . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD ⇒ E(2; −1) .
Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH ⇒ ( AB) : 2 x + y − 3 = 0 .
2 x + y − 3 = 0
⇒ A(1;1) ⇒ PT ( AM ) : x + 2 y − 3 = 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
x + y − 2 = 0
Do AB = 2 AM nên E là trung điểm của AB ⇒ B(3; −3) .
 x + 2y − 3 = 0
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 
⇒ C(−1;2)
 x − 2y + 5 = 0
Vậy: A(1;1) , B(3; −3) , C(−1;2) .

 AI = BI = 5
 x + 5  +  y − 5  = 5
 x = − ; y = − 17

 


5
5

 3 19   9 17 
Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là:  ;  ,  − ; −  .
5 5   5 5 
Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân
giác trong BD: x + y − 2 = 0 và phương trình đường trung tuyến CE: x + 8y − 7 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C.
Lời giải :
 b +1 1+ b 
Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B(b;2 − b) ∈ BD ⇒ E 
;−
 ∈ CE ⇒ b = −3
2 
 2
⇒ B(−3;5) . Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua BD ⇒ A′ ∈ BC. Tìm được A′(5; 1)
 x + 8y − 7 = 0
⇒ Phương trình BC: x + 2 y − 7 = 0 ; C = CE ∩ BC : 
⇒ C (7; 0) .
 x + 2y − 7 = 0
Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


7.1 + 1(−2) + 25

13  
9
450
+) BC =  −4 +  +  3 +  =
, d ( A; BC ) =
=3 2.
2
2

4 
4
4
7 +1

1
1
450 45
d ( A; BC ).BC = .3 2.
= .
2
2
4
4
Ví dụ 9: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối B - 2010)

Suy ra: S ABC =

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có C(–4; 1) phân giác trong góc A có