SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015

NAM ĐỊNH

Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Cho hàm số y = x − 2m x + 2m − m (với m là tham số).
1) Khi m = 1, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tương ứng, biết rằng tiếp tuyến đi qua
điểm M (−1;0).
2) Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có chu vi
bằng 2(1 + 2).
Câu 2 (5,0 điểm).
x
x

1) Giải phương trình cos x − 3cos + 3  sin x + 3sin ÷ = 4.
2
2

4

2) Giải bất phương trình log 1 log 7
5


Câu 3 (2,0 điểm).
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T ) : 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x + 2 y − 1 = 0 và hai đường
thẳng d1 : x − y + 4 = 0 , d 2 : 6 x + 4 y − 1 = 0. Từ một điểm M trên d1 kẻ hai tiếp tuyến phân biệt
MA , MB tới đường tròn (T ), ( A , B là hai tiếp điểm), viết phương trình đường thẳng AB biết
rằng đường thẳng d 2 đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
2) Trong không gian toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(0;2;1) , B( −2;0;1);
biết tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 và có bán kính nhỏ nhất.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = a 2;
SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi E , F lần lượt là trung điểm SD và AD.
1) Chứng minh đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng ( BEF ) .
2) Gọi ( P ) là mặt phẳng qua B, E và vuông góc với mặt phẳng ( BEF ) . Tính theo a khoảng cách

(

)(

)

từ D đến mặt phẳng ( P ) .
Câu 5 (4,0 điểm).
2

x2 − 1 
1) Tính tích phân I = ∫  x + 3
÷dx.
x +x
1
2) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập ra tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên hai số trong các số được lập. Tính xác suất để trong hai số được chọn có ít nhất
một số lớn hơn 2015.

* Với x0 = ±1, tìm được phương trình tiếp tuyến là y = 0.

Điểm

0,5
0,5
0,5

0,5
1
32
32
x+ .
* Với x0 = − , tìm được phương trình tiếp tuyến là y =
3
27
27
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có chu vi

1.2
(2,0đ) bằng 2(1 + 2).
+ ∀x ∈ ¡ , y ' = 4 x3 − 4m 2 x.

 x = −m

+ y ' = 0 ⇔ x = 0
 x = m
+ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

0,75

1
3
3
x 1
x
⇔ cos x +
sin x + 3( sin − cos ) − 2 = 0
2
2
2
2 2
2
π
x π
⇔ cos( x − ) + 3sin( − ) − 2 = 0
3
2 6

0,25

0,5

0,5


x π

sin(
− ) =1


Phương trình có tất cả các nghiệm là: x =

0,5

0,5

4π
2π
+ k .4π ; x =
+ k .4π ; x = 2π + k .4π
3
3

2
2
2.2
Giải bất phương trình: log 1 log 7 ( 4 x + 1 + 2 x) − log 5 log 1 ( 4 x + 1 − 2 x) > 0 .
(1,0đ)
5
7
+ ∀x ∈ ¡ , ( 4 x 2 + 1 + 2 x)( 4 x 2 + 1 − 2 x) = 1 và 4 x 2 + 1 − 2 x > 0; 4 x 2 + 1 + 2 x > 0
2
2
Suy ra log 1 ( 4 x + 1 − 2 x) = log 7 ( 4 x + 1 + 2 x) , ∀x ∈ ¡
7

0,5

Do đó đ/k xác định của bất phương trình là log 7 ( 4 x 2 + 1 + 2 x) > 0 .
+ Với đ/k trên bất phương trình tương đương với:

2.3
 y 2 + x + y + x + 1 − 1 = 2 y x + 1 + y − 1.

(2,0đ)
Giải hệ phương trình 
 y2 + 5 + x + 2
2 y2 − 3 − 3 = 4

x ≥ 0

+ ĐK: 
3 (*)
y ≥
2

+ Với đk (*) phương trình (1) tương đương với:

)(

(

( y 2 − 2 y x + 1 + x + 1) + ( y − 1 − 2 y − 1.
⇔ ( y − x + 1) 2 + ( y − 1 −

(

)

x + 1 − 1 + x + 1 − 1) = 0


⇔ x > 5 (**)
+ Ta chỉ xét (3) với điều kiện 
 2x −1 − 3 > 0

+ Nếu x > 7 thì

(

x+6 + x+2

)(

) (

2x −1 − 3 >

Suy ra (3) không có nghiệm trên ( 7; +∞ ) .
+ Nếu 5 < x < 7 thì

(

)

11 + 7 ( 3 − 3)

tuyến phân biệt MA , MB tới đường tròn (T ) , ( A , B là hai tiếp điểm), viết phương trình
đường thẳng AB biết rằng đường thẳng d 2 đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

2

2

1 
1

+ Ta có 2 x + 2 y − 2 x + 2 y − 1 = 0 ⇔  x − ÷ +  y + ÷ = 1.
2 
2

1 1
Do đó đường tròn (T ) có tâm I ( ; − ) , bán kính R = 1 .
2 2
+ Gọi K là giao điểm của MI với đường tròn (T ) (K ở giữa M và I)
+ Chứng minh được K là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB.
1 1
+ Nhận thấy d1 cắt d 2 và d 2 đi qua tâm I ( ; − ) nên K nằm trên d 2 khi và chỉ
2 2
khi M = d1 ∩ d 2 .
2

2

3

x=−

0,25

0,25


3.1
(1,0đ)

Vậy phương trình đường thẳng AB là 4 x − 6 y − 3 = 0.

3.2
Trong không gian toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(0;2;1) ,
(1,0đ) B(−2;0;1) ; biết tâm thuộc mặt phẳng ( P) : x + y − z − 3 = 0 và có bán kính nhỏ nhất.
+ Mặt phẳng (Q) là trung trực của AB có phương trình x + y = 0.
0,5
+ Gọi I là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm.
x + y − z − 3 = 0
 y = −x
⇔
+ Có I ∈ ( P) ∩ (Q ) nên tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 
0,25
x + y = 0
 z = −3
Chọn I (t ; −t ; −3)
+ Ta có R = IA = 2(t + 1) 2 + 18 ≥ 3 2 ; R = 3 2 khi và chỉ khi t = −1.

0,25
Với t = −1, phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 3) 2 = 18.
4.1
). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là

thuộc SA, J thuộc AC).
+) E là trung điểm SD nên d ( D,( P)) = d ( S ,( P)).

0,5

0,5

0,5

1
a3 6
+) VS . ABCD = SA.S ABCD =
.
3
3
+) Gọi O = AC ∩ BD, G = BE ∩ SO suy ra G là trọng tâm tam giác SAC và IJ đi
qua G. Khi đó

SI SG SJ 2
=
=
=
SA SO SC 3

0,5


+)

VS . EIJ

. Trong tam giác SBD có BE =
2
2
4
3
3
+) VS .BJEI =

1 2a 3 3a a 2 3
; S BJEI = .
. =
2 3
2
2
+) d ( S ,( P)) =
5.1
(2,0đ)

0,5

3VS .BJEI 2a 2
2a 2
=
⇒ d ( D ,( P )) =
.
S BJEI
3
3



1

2 dx+
÷
3
x
= +∫ 
2 1 x+ 1
x
3
1
= + ln x +
2
x

0,5

0,5

0,5

2

3
5
+ ln .
0,5
2
4
1

=
.
n(Ω) 44850 14950

0,5


6.
Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 3 x + 2 y = 2 xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(2,0đ)
8 2 21
P = 2 ( x + y ) + 2 + + + 2 xy
x y
x
2 3
+) Do x > 0, y > 0 và 3 x + 2 y = 2 xy nên + = 2.
0,5
x y

8  
9 2 3

+) P =  x + x + 2 ÷+ 2  y + ÷+  + ÷+ 2 xy
y x y
x  

+) Do x > 0, y > 0 , áp dụng bất đẳng Côsi ta được:
x+x+

9

x = 2
+) Với 
thì P = 20 + 2 6 .
y = 3

0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 20 + 2 6.
Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình thì giám khảo cho
điểm tương đương.
--------------------HẾT--------------------