SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN – Lớp: 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề thi gồm 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

2x −1
có đồ thị là (H ), điểm A ( 2;5 ) và đường thẳng (∆)
x +1
y = − x + m (với m là tham số)
1) Chứng minh ( ∆ ) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi B, C là giao điểm của ( ∆ ) và (H). Chứng minh AB = AC với mọi m. Tìm các giá trị
của m để tam giác ABC đều.
Câu 2. (5 điểm)
5π 

1) Giải phương trình cos x − 2cos 2 x = 2sin x.cos  2 x −
÷.
6 

 y3 + 3 y = ( x + 5) x + 2

2) Giải hệ phương trình  2
.
2
2

x 2 ln 2 x + ( x + 1) ln x + 1
dx .
x ln x ( x ln x + 1)

2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không
lớn hơn 2503?
Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện x + 2 y − z ≥ 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x
y
x + 2y
+
+
.
10 y + z x + y + z 2 x + 3 y

Họ và tên thí sinh:…………………………….Họ, tên chữ ký GT1:…………………………………..
Só báo danh:…………………………………..Họ, tên chữ ký GT2:…………………………………..

1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT


 x1 x2 = −m − 1
Ta có AB =

( x1 − 2 )

2

+ ( − x1 + m − 5 ) , AC =
2

( x2 − 2 )

2

+ ( − x2 + m − 5 )

( x1 − 2 ) + ( − x1 + m − 5) = ( x2 − 2 ) + ( − x2 + m − 5 )
⇔ ( x1 − x2 ) ( 2 ( x1 + x2 ) − 2m + 6 ) = 0 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − 2m + 6 ( do x1 ≠ x2 )
AB = AC ⇔

2

2

2

0,5
0,5

2

 m = −5
Vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = 1, m = −5 .
2.1
5π 

÷
(2,5) cos x − 2cos 2 x = 2sin x.cos  2 x −
6 


(

⇔ cos x − 2cos 2 x = sin x − 3 cos 2 x + sin 2 x

(

)

cos 2 x = 0
⇔
cos x + 3 sin x = 2
π
π
cos 2 x = 0 ⇔ x = + k
4
2

0,25
0,5


 y3 + 3 y = ( x + 5) x + 2
(2,5) 
2
2
2
2 x + 16 = 3 2 y + y x − 2 x + 4

(

Điều kiện x ≥ −2, y ∈ ¡ .

)

0,5

0,25

( 1)
( 2)

0,5

( 1) ⇔ y 3 + 3 y = ( x + 2 ) + 3 x + 2
3
Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡
f ' ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ¡ , suy ra f ( t ) đồng biến trên ¡
( 1) ⇔ f ( y ) = f ( x + 2 ) ⇔ y = x + 2
3

(

)

13; 5 + 13 , 3 − 13; 5 − 13 .

3.1
(1,0)

Tọa độ D, E là nghiệm của hệ
2
2
 x + y − 6 x + y + 3 = 0
 2
2
 x + y − 3x − 4 = 0
⇒ 3x − y − 7 = 0

0,5

0,5
0,25

Do tọa độ D, E cùng thỏa mãn phương
trình trên và D khác E nên phương
trình đường thẳng DE là 3 x − y − 7 = 0
(1)

Chứng minh AI ⊥ DE .
·
Tứ giác BCED nội tiếp nên ·ABC = AED
·

x + 3y +1 = 0

⇔  x = 7
Tọa độ A là nghiệm của hệ  2
2

 x + y − 3x − 4 = 0
2
 

3
 y = −
2

Do tam giác ABC nhọn nên I nằm trong tam giác ABC vậy A ( −1;0 ) .
r
3.2
(P) có 1 vecto pháp tuyến là n = ( 2; −1;2 )
uuuur
(2,0)
Gọi M ( x0 ; y0 ; z0 ) suy ra AM = ( x0 − 1; y0 − 3; z0 − 2 ) .

4.
(3,0)

0,25
0,25
0,25

 x = 2t + 1


Gọi K là hình chiếu của H trên BD suy ra K là trung điểm BD và SK ⊥ BD.
·
Suy ra góc giữa (SBD) và (ABC) bằng SKH
.
Ta có HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK =

1
a 3
AB =
2
2

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

4


SH = HK .tan α =


=
+
⇒ HJ =
2
2
2
HJ
HI
HS
14
3
3a
a 6
Vậy VSABC =
và d ( SC ; AD ) =
.
14
4
e2
e2
e2
5.1


ln x + 1
ln x + 1
dx = dx +
dx
(1,5) I = 1 +
÷

∫

∫

0,25

0,25
0,25

e2

Ta có

∫ dx = e

2

−e

0,25

e

e2

J=

∫
e


Coi P là hàm của z và x, y là tham số ta có
(2,0
x
y
P '( z ) = −
−
< 0, ∀z ∈ ( 0; x + 2 y ]
2
2
)

0,25

2 e2

Suy ra J =

∫
e

2 e2

Vậy I = e 2 − e + ln

( 10 y + z )

( x + y + z)

0,25
0,5

+
với t ∈ ( 0; +∞ ) .
y
t + 12 2t + 3
12
3
f '( t ) =
−
2
2
( t + 12 ) ( 2t + 3)

Đặt t =

f '( t ) = 0 ⇔

12

=

( 2t + 3)
Bảng biến thiên của hàm số f ( t )
t

f '( t )

( t + 12 )

3


7

6
7
Dấu bằng xảy ra khi x = 2 y, z = 4 y .
6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , tại x = 2 y, z = 4 y .
7
Vậy P ≥

0,25

Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo
thống nhất chia điểm thành phần tương ứng.
--------------------HẾT-----------------

6