Luyện Thi Quốc Gia
LUYỆN TẬP
Bài 1:
Cho hình chóp
SABC có đáy
ABC là tam giác
vuông tại B. SA
vuông (ABC).

Cho hình chóp SABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại B.
hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông với (ABC).

Cho tam giác
ABC vuông tại
B. Lấy điểm S
nằm ngoài
(ABC) sao cho
SA vuông
(ABC).

Cho tam giác ABC vuông tại B.
kẻ tia Ax vuông góc (ABC). Lấy
điểm S trên tia Ax.

1/ Góc hợp bởi
SB và mặt
(ABC)

Do SA  ( ABC )


Luyện Thi Quốc Gia
4/ Góc hợp bởi
SC và mặt (SAB)

 BC  AB
 BC   SAB 

BC

SA

 SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB).
.
 góc hợp bởi SC và (SAB) là góc CSB

5/ Góc hợp bởi
SB và mặt (SAC)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC

6/ Góc hợp bởi
(SBC) và mặt
(ABC)

 SBC    ABC   BC

 AB  BC
 SB  BC


(dựa vào câu 3)

SBC  B  IB  IS  IC (2)
Từ (1) và (2) suy ra

IA  IS  IC  IB
 I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm S,A,B,C. Với bán
1
kính R  SC .
2
Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát)

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
9/ Gọi M là trung
điểm của SB, N
là điểm trên SC
sao cho
NS=2NC.
Tính thể tích
khối AMNCB.

Ta có:

9/ Gọi G là trọng
tâm tam giác
SBC. Mp (P) qua

SB SC SI 3

Ta có:

VSAMN SM SN 4

.

VSABC
SB SC 9
4
VSAMN  VSABC
9
5
 VAMNCB  VSABC
9
10/ Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu
vuông góc của A
lên SB và SC.
Tính tỉ lệ thể tích
của chóp SABC
được chia bởi
(AHK).

SAB  A :
SH SH .SB
SA2




VSAHK 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


11/ Tính

d  A;  SBC  

Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên SB

 AH  SB

(C 3) : BC  ( SAB)  AH  AH  BC
 AH  ( SBC )
 d  A;  SBC    AH
Tính AH bằng các công thức sau:

1
1
1
SA2 . AB 2



AH


d  B;  SAC  

 BE  AC

 BE  ( SAC )
BE

SA

d  B;  SAC    BE

12/ Tính

(tính BE như các công thức C11)
14/ Tính

d  SA;BC 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

 AB  SA
 d  SA; BC   AB

AB

BC




AB / / CP, CP  ( SCP)
 d  AB; SC   d  AB;( SCP )   d  A;( SCP) 
Gọi H là hình chiếu của A lên SP.

AH  SP (1)
CP  AP
 CP  ( SAP)  AH

CP  SA

 AH  CP (2)
Từ (1), (2) AH  ( SCP)
 d  A;(SCP)   AH
16/ Tính

Ta có:

d  Q;  SBC   .

QA (SBC)  B

Q thuộc AB sao
cho AQ  nQB

d  Q;(SBC)  QB

d  A;(SBC)  QA
QB
 d  Q;(SBC)  

Luyện Thi Quốc Gia

AM  (SBC)  B
d  A;(SBC)  AB

2
d  M ;(SBC)  MB
1
 d  M ;(SBC)   .d  A;(SBC)  (2)
2


Từ (1), (2) suy ra

1
d  G;(SBC)   d  A;(SBC) 
3
Bài toán quay về C11.
Áp dụng thực tế

AB  a , BC  a 2 , AB  a 3
AB  BC  a , SB  a 3
AB  a , BC  a 2 , góc hợp bởi SB và (ABC) là 600 .
AB  a , AC  a 5 , góc hợp bởi SC và (SAB) là 300 .
1
AB  a , AC  a 5 , d  A;  SBC    a
2
Bài 2:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA  ( ABCD). O  AC  BD


6/ Góc hợp bởi (SBC)

SBC  ;  ABCD   SBA

và mặt (ABCD)





Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

















Luyện Thi Quốc Gia




 



Cách 2:

 AH  ( SBC )

 AD  ( SAB )
SBC  ;  SAB   
AH ;AD



10/ Góc hợp bởi
(SCD) và mặt (SAD)

 



Tương tự C9

SBC  ;  SAB  

 
AH ; CD

3
3
1
VSABC  VSABD  VSACD  VSBCD  VSABCD
2

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


13/ Xác định tâm và
bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp
SABCD

Luyện Thi Quốc Gia
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của SC.

SAC  A  IA  IS  IC (1)
SBC  B  IB  IS  IC (2)
SCD  D  ID  IS  IC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
1
SABCD với bán kính R  SC
2
14/ Tính


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD)

 d  B;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


18/ Tính

d  M ;  SCD   . Với
M thuộc AB.

19/ Tính

d  O;  SCD   .

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD) , M  AB

 d  M;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AO  ( SCD)  C

Vậy: d  P;( SCD)   d  A;( SCD) 
2


21/ Tính

d  G;  SCD   . Với
G là trọng tâm của
tam giác SAB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. M là trung điểm AB.

2
d  G;( SCD)   d  M;( SCD) 
3
d  M;( SCD)   d  A;( SCD ) 
 d  G;( SCD)  

2
AH
3

22/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SB; AD  .

d  SB; AD   AH

25/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SC;AD  .

AD / /( SCB)
 d  AD; SC   d  AD;(S CB ) 
 d  A;( SCB)   AH

26/ Tính

d  SB; CD  .

27/ Tính

d  BM ; CD  . Với M
là trung điểm SC.

d  SB; CD   AD

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AK.

CD / / AB  ( MAB)
 CD / /( MAB )
 d  CD; BM   d  CD;( MAB) 
 d  C ;( MAB) 
1
1

VSAHI SH SI

.
VSABC SB SC
SA2
SA2
 2
.

SA  AB 2 SA2  AC 2
 VSAHI  VSABC
 2VSAHI   2VSABC

29/ Gọi G là trong tâm
tam giác SBD. (P) qua
AG song song BD cắt
SB, SC, SD tại M, N,
Q.
Tính thể tích khối
SAMNQ.

 VSAHIK  VSABCD
VSAMN SM SN 1

.

VSABC
SB SC 3
1
 VSAMN  VSABC

4/ Góc hợp bởi SC và
mặt (SAB)
5/ Góc hợp bởi SC và
mặt (SAD)
6/ Góc hợp bởi (SBC)
và mặt (ABCD)
7/ Góc hợp bởi (SCD)
và mặt (ABCD)
8/ Góc hợp bởi (SBD)
và mặt (ABCD)
9/ Góc hợp bởi (SBC)
và mặt (SAB)



SB
;  ABCD   SBA





;  ABCD    SCA
 SC


;  ABCD    SDA
 SD

SC ;  SAB    CSB




Cách 2:

 AH  ( SBC )

 AD  ( SAB )
SBC  ;  SAB   
AH ;AD



10/ Góc hợp bởi
(SCD) và mặt (SAD)

Tương tự C9

SBC  ;  SAB  

 
AH ; CD



 
AH ;AB 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304

1
VSABCD  SA.S ABCD  SA. AB 2
3
3
1
VSABC  VSABD  VSACD  VSBCD  VSABCD
2

13/ Xác định tâm và
bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp
SABCD

Cách 1:
Gọi I là trung điểm của SC.

SAC  A  IA  IS  IC (1)
SBC  B  IB  IS  IC (2)
SCD  D  ID  IS  IC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
1
SABCD với bán kính R  SC
2
14/ Tính

d  A;  SBC  



d  A;  SBD    AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD)

 d  B;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

18/ Tính

d  M ;  SCD   . Với
M thuộc AB.

19/ Tính

d  O;  SCD   .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AB / /( SCD) , M  AB

 d  M;( SCD)   d  A;( SCD)   AH

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD.
Do AO  ( SCD)  C

d  A;( SCD)  AC


Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


21/ Tính

d  G;  SCD   . Với
G là trọng tâm của
tam giác SAB

Luyện Thi Quốc Gia
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
SD. M là trung điểm AB.

2
d  G;( SCD)   d  M;( SCD) 
3
d  M;( SCD)   d  A;( SCD) 
 d  G;( SCD)  

2
AH
3

22/ Tính

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB

d  SB; AD  .



AD / /( SCB)
 d  AD; SC   d  AD;(S CB) 
 d  A;( SCB)   AH

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304


Luyện Thi Quốc Gia
26/ Tính

d  SB; CD  .

27/ Tính

d  BM ; CD  . Với M
là trung điểm SC.

d  SB; CD   AD

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AK.

CD / / AB  ( MAB)
 CD / /( MAB )
 d  CD; BM   d  CD;( MAB) 
 d  C ;( MAB) 

28/ Gọi H, I, K lần

 VSAHI  VSABC


 2VSAHI   2VSABC
29/ Gọi G là trong tâm
tam giác SBD. (P) qua
AG song song BD cắt
SB, SC, SD tại M, N,
Q.
Tính thể tích khối
SAMNQ.

 VSAHIK  VSABCD
VSAMN SM SN 1

.

VSABC
SB SC 3
1
 VSAMN  VSABC
3
1
 2VSAMN  .2VSABC
3
1
 VSAMNQ  VSABCD
3

Áp dụng thực tế


 d  SB; AC 
 d  SC; AB 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304



;  ABC    SAO
 SA

SBC  ;  ABC    SMA

1
3
VSABC  SO.S ABC 
SO. AB 2
3
12
cách 1:
3V
d  A;  SBC    SABC
SSBC
cách 2:
gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên SM.
d  A;  SBC    3d  O;  SBC    3OH

gọi H là hình chiếu vuông góc của M

7/ Tính thể tích khối nón
ngoại tiếp chóp SABC.

chóp SABC nội tiếp trong hình nón
có bán kính R=OA; chiều cao h=SO
và đường sinh l=SA
1
Vnon  SO. .OA2
3

8/ Tính thể tích khối trụ
ngoại tiếp chóp SABC.

chóp SABC nội tiếp trong hình trụ có
bán kính R=OA; chiều cao h=SO

Vtru  SO. .OA2

9/ gọi E là trung điểm AB.
Tính d  EC; SB 

gọi P sao cho BECP là hinh bình
hành.
CE vuông AB nên BECP là hình chữ
nhật.
kể gọi K thuộc BP sao cho OK song
song EB.
gọi H là hình chiếu của O lên SK.
d  EC; SB   d  EC;  SBP  


Cạnh đáy bằng a , diện tích tam giác SAC bằng 4a

0

2

Cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ A đến (SBC) là a 3

Bài 5:
cho hình chóp tứ giác đều SABCD. M là trung điểm CD, O là tâm của ABCD.

1/ góc hợp bởi cạnh bên
và mặt đáy
2/ góc hợp bởi mặt bên
và mặt đáy
3/ thể tích khối chớp
SABC

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304



;  ABCD    SAO
 SA

SCD  ;  ABCD    SMO

1
1

 d  SB; AD 

 d  B;  SCD  

 ......

 2d  O;  SCD  
 2OH

6/ xác định tâm và bán
kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp SABCD

SO là trục của ABCD.
gọi N là trung điểm SA. dựng mp
trung trực của SA cắt SO tại I.
 IA  IB  IC  ID  IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp SABCD, bán kính R=IS.
để tính IS ta dùng:
cách 1:
IS NS
NSI  OSA 

SA SO
SA2
 R  IS 
2 SO
cách 2:
SN





;
AC ;  OBC    
ACO;  BC
;  OAB    BCO

.....

2/ góc hợp bởi
(ABC) và (OBC)

gọi E là hình chiếu vuông góc của O
lên BC.
ABC  ;  OBC   
AEO






3/ thể tích khối
OABC

4/ gọi H là hình
chiếu vuông góc
của O lên (ABC).


2



1
OA

2



1
OB

2



1
OC 2


Luyện Thi Quốc Gia
cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm AC và BD. Hình chiếu của S lên
(ABCD) là H thuộc AB sao cho AH=2HB.

1/ Tính thể tích khối
SABCD
2/ Tính

Kẻ d qua D song song HC.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên d.
J là hình chiếu vuông góc của H lên
SK.
d  HC ; SD   d  HC ;  SKD  
 d  H ;  SKD    HJ

Áp dụng thực tế

ABC  600 ; góc hợp bởi SC và (ABCD) là 450 .
Cạnh đáy bằng a , 

Thầy Võ Thanh Bình 0917.121.304
Zalo và face: 0917121304