SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC
PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG
NĂM HỌC 2015-2016
Đề thi môn : Toán
Ngày thi: /1/2016
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(5,0 điểm):
1. Cho biểu thức:

A=

x +1
x −2

+

2 x
x +2

+

2+5 x
.
4− x


x +y

2

+

2
+ 4 xy .
xy

- - - Hết - - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………………. Số báo danh: ……………………
Chữ ký của giám thị 1: …………………………………………………………….……
Chữ ký của giám thị 2: …………………………………………………….……………
Trang 1/4


HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016
Nội dung

Bài
1
(5đ) a) Rút gọn A =

x +1
x −2

+



Điểm

2+5 x
.
4− x

(*)

0,50

−2 − 5 x
( x + 2)( x − 2)

3 x ( x − 2)
( x + 2)( x − 2)

=

=

( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x
( x + 2)( x − 2)

3 x

0,50
0,75

x +2

2
 y 2 − y + x 2 = 2 xy − x
1.Giải
hệ
phương
trình:
 2
(5đ)
2

2 x + x − y + y − 3 = 0

(1)
(2)

(1)

Pt (1) ⇔ ( y 2 − 2 xy + x 2 ) − ( y − x ) = 0 ⇔ ( y − x )2 − ( y − x ) = 0

0,50

y = x
⇔ ( y − x )( y − x − 1) = 0 ⇔ 
y = x +1
x = 1⇒ y = 1
2
+) y = x thế vào (2) ta được x + 2 x − 3 = 0 ⇔  x = −3 ⇒ y = −3

0,25


 −2 m < 0
x + x < 0
⇔ 1 2
⇔ 2
 x1 x2 > 0
m − 1 > 0
m > 0

⇔   m < −1 ⇔ m > 1
  m > 1
Suy ra m ≤ 1 thì pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm.

0,50
0,50

0,50
3
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK;
(5đ) BE; CD cắt nhau ở H ( K ∈ BC , E ∈ AC , D ∈ AB ) .
Vẽ đúng hình nền cho 0,5 điểm
x
A

N

E

D
H
B

3. Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE
+) tứ giác BDHK nội tiếp ⇒ ·DKH = ·DBH

(1)

+) tứ giác BDEC nội tiếp ⇒ ·DBH = ·ECH

(2)

+) tứ giác KHEC nội tiếp ⇒ ·EKH = ·ECH
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ·DKA = ·EKA ( do H ∈ KA )
Suy ra KA là phân giác của góc ·DKE .
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
+) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
1
⇒ ·CAx = ·CBA (= sd»AC )
2
·
·
Lại có CBA = DEA ( cùng bù góc ·DEC )
⇒ ·CAx = ·DEA ⇒ Ax//DE

mà Ax ⊥ OA ⇒ DE ⊥ OA (4)
+ Mặt khác: Trung điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC
mà N là trung điểm của dây DE ( DE không đi qua tâm M)
⇒ MN ⊥ DE

(5)



Gọi I là trung điểm của AC, khi đó MI và NI lần lượt là đường trung bình của tam
1
2

0,50

1
2

giác ABC và ACD nên MI = AB và NI = CD
1
⇒ MI + NI = ( AB + CD ) ⇒ AB + CD = 2( MI + NI )
2
Mặt khác: Tam giác MNI có MN < MI + NI ⇒ 2 MN < 2( MI + NI ) = AB + CD
Vậy AB + CD > 2 MN

0,25
0,50

5
Bài 5(3,0 điểm):
(3đ) 1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) chia hết cho 6.
0,25
Đặt M = (a3 + b3 + c3 ) − (a + b + c) = (a3 − a) + (b3 − b) + (c3 − c)
Ta có : a3 − a = a(a − 1)(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên a(a − 1)(a + 1) chia hết cho 6.
Tương tự : (b3 − b) và (c3 − c) chia hết cho 6
Vậy M chia hết cho 6.
2. Cho x , y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =


Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y =

0,25

2
+ 4 xy .
xy

+ 4 xy ÷+
÷+ 
Ta có P =  2 2 +
2 xy ÷
 4 xy
x +y
  4 xy
≥

0,50

1
2

0,50
0,25

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 tại x = y =

1
2