TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
THÁNG 04 NĂM 2016

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 10
NĂM HỌC : 2015 – 2016
Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1. (2.0 điểm) Cho phương trình : x3  3 m  1 x2  2  m2  4m  1 x  4m  m  1  0
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Câu 2. (1.5 điểm) Giải phương trình :

x  1  7  x  x 2  6 x  13


3x  y
 2x  y
 x  2  .
y

Câu 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 
 y 2 . 3x  y  2 x 2  y 2  4 x

y

Câu 4. (1.5 điểm) Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M,
1
1
N sao cho AM  AB , BN  BC . Gọi I là giao của AN và CM. Chứng minh BI vuông
3
3
góc với CM.

x  2
 2
 x   3m  1 x  2m  m  2   0
x  m 1
2
   m  1
 2  
 x  2m



Câu 2

 2



1  m  1  2 
1

m 
ĐK bài toán 1  2m  2  
2
 m  1  2m
m  1

Giải phương trình : x  1  7  x  x 2  6 x  13 *
ĐK : 1  x  7
Cách 1 :
VT *  1. x  1  1. 7  x  1  1 x  1  7  x   4

  x  1  2  x  3  tm 

 7x 2
Cách 3 : Liên hợp 2 lần



x 1  4  7  y  4 7  y  4  0
2


Câu 3


3x  y
 2x  y
1
 x  2  .
y

Giải hệ phương trình : 
 y 2 . 3x  y  2 x 2  y 2  4 x 2
 

y

3x  y
0
ĐK : y  0,
y

2

1

4.
.




y
y
y y
 y

 a  2b  1  3a  2a  1

2
 1  3a  2a  4ab  1
  a  2b  1 . 1  3a  2a 2  2a  4ab
  a  2b  1





1  3a  2a  0

 a  1  2b


 y 4

2

y  2  x  o

8
14
y   x 

11
11
Thử lại chỉ có  x; y    0;2  thỏa mãn
1  3a  4a 2

1  3a  2a  
 a 1 x  y
a  0
Thay vào 1 được 2  x  2   x  x  4  y  4
Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    0;2  ,  x; y    4;4 

1.5


Câu 4

Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N
1
1
sao cho AM  AB , BN  BC . Gọi I là giao của AN và CM. Chứng minh

3
3
3

 

Phương trình CM : 3 x  5 y  3  0 ; AN : 3 x  2 y  3  0

Câu 5


 3 2 3
 3 x  5y  3  0
Tọa độ I là nghiệm của hệ 
 I  ;


 7 7 
 3 x  2y  3  0
3 5 3
1 
5
,
IB

Ta có CM   ; 
 ;


7


D

C

Gọi P là điểm đối xứng với D qua A. Do BA  AD  AP nên DBP
vuông tại B, DBC vuông tại B, suy ra P, B, C thẳng hàng. Vì
EP  ED  EF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp PDF
 AED  DFP  DEBF nội tiếp  DEF  DBF  900
 DE  EF
Phương trình DE : x  2 y  6  0  D  2;2 
DE 2  AD2  AE 2  10 AE 2  AE 2  2
A a;8  3a  , AE 2  2  A1;5

EB  2 EA  B  4;2 

Câu 6

DC  2 AB  C  4; 4 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  6 . Tìm giá trị lớn nhất
abc  5ab  9bc  8ca 
của biểu thức : Q 
 4a  3b  5b  4c  3c  5a 
1.0
 x, y , z  0
3
4
5

Đặt x  , y  , z    3 4 5

2 
 


2  x  y y  z z  x 


1 1 1 3 3 2 2 
       
8 x y y z z x 
1 3 4 5  1
3
      .6 
8 x y z  8
4
3
Q
16

3 5
Dấu = xảy ra khi  x; y; z    2;2;2    a; b; c    ;2; 
2 2
3
Vậy maxQ 
đạt được khi  a; b; c    2;2;2 
16